Тензорное произведение квадратичных форм

В математике тензорное произведение квадратичных форм легче всего понять, если рассматривать квадратичные формы как квадратичные пространства . Если R — коммутативное кольцо , где 2 обратимо , и если $(V_{1},q_{1})$ и $(V_{2},q_{2})$ — два квадратичных пространства над R , то их тензорное произведение $(V_{1}\otimes V_{2},q_{1}\otimes q_{2})$ — квадратичное пространство, базовым R - модулем которого является тензорное произведение $V_{1}\otimes V_{2}$ -модулей R и чья квадратичная форма является квадратичной формой, ассоциированной с тензорным произведением билинейных форм, ассоциированных с $q_{1}$ и $q_{2}$.

В частности, форма $q_{1}\otimes q_{2}$ удовлетворяет

$(q_{1}\otimes q_{2})(v_{1}\otimes v_{2})=q_{1}(v_{1})q_{2}(v_{2})\quad \forall v_{1}\in V_{1},\ v_{2}\in V_{2}$

(что, однако, однозначно характеризует его). Отсюда следует, что если квадратичные формы диагонализуемы (что всегда возможно, если 2 обратимо в R ), т. е.

$q_{1}\cong \langle a_{1},...,a_{n}\rangle$

$q_{2}\cong \langle b_{1},...,b_{m}\rangle$

тогда тензорное произведение имеет диагонализацию

$q_{1}\otimes q_{2}\cong \langle a_{1}b_{1},a_{1}b_{2},...a_{1}b_{m},a_{2}b_{1},...,a_{2}b_{m},...,a_{n}b_{1},...a_{n}b_{m}\rangle .$