основа Шевалле

В математике базис Шевалле для простой комплексной алгебры Ли — это базис, построенный Клодом Шевалле, обладающий тем свойством, что все структурные константы являются целыми числами. Шевалле использовал эти базисы для построения аналогов групп Ли над конечными полями , называемых группами Шевалле . Базис Шевалле — это базис Картана-Вейля , но с другой нормировкой.

Генераторы группы Ли разбиваются на генераторы H и E, индексированные простыми корнями и их отрицательными числами. $\pm \alpha _{i}$ . Базис Картана-Вейля можно записать как

[H_{i},H_{j}]=0

[H_{i},E_{\alpha }]=\alpha _{i}E_{\alpha }

Определение корня или кокорня двойного $\alpha$ как

\alpha ^{\vee }={\frac {2\alpha }{(\alpha ,\alpha )}}

где $(\cdot ,\cdot )$ является евклидовым внутренним продуктом. Можно выполнить изменение базиса, чтобы определить

H_{\alpha _{i}}=(\alpha _{i}^{\vee },H)

Целые числа Картана :

A_{ij}=(\alpha _{i},\alpha _{j}^{\vee })

Результирующие отношения между образующими следующие:

[H_{\alpha _{i}},H_{\alpha _{j}}]=0

[H_{\alpha _{i}},E_{\alpha _{j}}]=A_{ji}E_{\alpha _{j}}

[E_{-\alpha _{i}},E_{\alpha _{i}}]=H_{\alpha _{i}}

[E_{\beta },E_{\gamma }]=\pm (p+1)E_{\beta +\gamma }

где в последнем соотношении $p$ — наибольшее положительное целое число такое, что $\gamma -p\beta$ является корнем, и мы считаем $E_{\beta +\gamma }=0$ если $\beta +\gamma$ не является корнем.

Для определения знака в последнем соотношении фиксируется порядок корней, учитывающий сложение, т. е. если $\beta \prec \gamma$ затем $\beta +\alpha \prec \gamma +\alpha$ при условии, что все четыре являются корнями. Затем мы вызываем $(\beta ,\gamma )$ экстраспециальную пару корней, если они одновременно положительны и $\beta$ является минимальным среди всех $\beta _{0}$ которые встречаются в парах положительных корней $(\beta _{0},\gamma _{0})$ удовлетворяющий $\beta _{0}+\gamma _{0}=\beta +\gamma$ . Знак в последнем соотношении может быть выбран произвольно всякий раз, когда $(\beta ,\gamma )$ является экстраспециальной парой корней. Затем это определяет знаки для всех оставшихся пар корней.