Тетраэдрально-октаэдрические соты
Переменные кубические соты | |
---|---|
Тип | Равномерные соты |
Семья | Альтернативные гиперкубические соты Симплектические соты |
Индексирование [1] | Дж 21,31,51 , А 2 В 9 , Г 1 |
Символы Шлефли | ч{4,3,4} {3 [4] } хт 0.3 {4,3,4} ч{4,4}ч{∞} ht 0,2 {4,4}h{∞} ч{∞}ч{∞}ч{∞} с{∞}с{∞}с{∞} |
Диаграммы Кокстера | = = = = |
Клетки | {3,3} {3,4} |
Лица | треугольник {3} |
Краевая фигура | [{3,3}.{3,4}] 2 ( прямоугольник ) |
Вершинная фигура | ( кубооктаэдр ) |
Группа симметрии | Фм 3 м (225) |
Группа Коксетера | , [4,3 1,1 ] |
Двойной | Додекаэдрилл ромбические додекаэдрические соты Клетка: |
Характеристики | вершинно-транзитивные , реберно-транзитивные , квазирегулярные соты |
Тетраэдрально -октаэдрические соты , чередующиеся кубические соты представляют собой квазирегулярную, заполняющую пространство мозаику (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве . Он состоит из чередующихся правильных октаэдров и тетраэдров в соотношении 1:2.
Другие названия включают полукубические соты , полукубические ячейки или тетрагональные дисфеноидальные ячейки . Джон Хортон Конвей называет эту соту тетраоктаэдрилом , а ее двойник — додекаэдрилом .
Р. Бакминстер Фуллер объединяет два слова октаэдр и тетраэдр в октетную ферму, ромбоэдр, состоящий из одного октаэдра (или двух квадратных пирамид) и двух противоположных тетраэдров.
Он вершинно-транзитивен и имеет 8 тетраэдров и 6 октаэдров вокруг каждой вершины . Он транзитивен по ребрам , на каждом ребре чередуются 2 тетраэдра и 2 октаэдра.
Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными ячейками более высокой размерности или ячейками , чтобы не было пробелов. Это пример более общего математического разбиения или мозаики в любом количестве измерений.
Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как и выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, чтобы сформировать однородную соту в сферическом пространстве.
Это часть бесконечного семейства однородных сот, называемых чередующимися гиперкубическими сотами , образованных как чередование гиперкубических сот и состоящих из полугиперкуба и перекрестных многогранных граней. Он также является частью другого бесконечного семейства однородных сот, называемых симплексическими сотами .
В этом случае трехмерного пространства кубические соты чередуются, сводя кубические ячейки к тетраэдрам, а удаленные вершины создают октаэдрические пустоты. По существу, его можно представить расширенным символом Шлефли h{4,3,4}, содержащим половину вершин кубических сот {4,3,4}.
Существуют похожие соты, называемые спиральными тетраэдрально-октаэдрическими сотами , слои которых повернуты на 60 градусов, поэтому половина ребер имеет соседние, а не чередующиеся тетраэдры и октаэдры.
Симметрию тетраэдрально-октаэдрических сот можно удвоить, разместив тетраэдры на октаэдрических ячейках, создав неоднородную соту, состоящую из тетраэдров и октаэдров (как треугольные антипризмы). Его вершинная фигура представляет собой усеченный триакис-тетраэдр третьего порядка . Эти соты представляют собой двойные соты триакиса с усеченными тетраэдрическими ячейками.
Декартовы координаты
[ редактировать ]Для чередующихся кубических сот с краями, параллельными осям, и с длиной ребра, равной 1, декартовы координаты вершин таковы: (Для всех целых значений: i , j , k с i + j + k четным )
- (я, дж, к)
Симметрия
[ редактировать ]Имеются две светоотражающие конструкции и множество чередующихся кубических сот ; примеры:
Симметрия | , [4,3 1,1 ] = ½ , [1 + ,4,3,4] | , [3 [4] ] = ½ , [1 + ,4,3 1,1 ] | [[(4,3,4,2 + )]] | [(4,3,4,2 + )] |
---|---|---|---|---|
Космическая группа | Фм 3 м (225) | Ф 4 3м (216) | Я 4 3м (217) | П 4 3м (215) |
Изображение | ||||
Виды тетраэдров | 1 | 2 | 3 | 4 |
Коксетер диаграмма | = | = = |
Чередованные кусочки кубических сот
[ редактировать ]Перемежающиеся кубические соты можно разрезать на секции, где внутри октаэдра создаются новые квадратные грани. Каждый срез будет содержать квадратные пирамиды, обращенные вверх и вниз, и тетраэдры, расположенные на их ребрах. Второе направление среза не требует новых граней и включает чередование тетраэдра и октаэдра. Эти плитные соты представляют собой чешуйчатые соты, а не однородные, поскольку имеют неоднородные ячейки.
Проекция путем складывания
[ редактировать ]Перемежающиеся кубические соты можно ортогонально спроецировать на плоские квадратные плитки с помощью операции геометрического сгиба , которая отображает одну пару зеркал друг в друга. Проекция чередующихся кубических сот квадратной мозаики создает две смещенные копии расположения вершин на плоскости:
Коксетер группа | ||
---|---|---|
Коксетер диаграмма | ||
Изображение | ||
Имя | чередующиеся кубические соты | квадратная плитка |
Решетка A3/D3
[ редактировать ]Его расположение вершин представляет собой A 3 решетку или D 3 решетку . [2] [3] Эта решетка известна в кристаллографии как гранецентрированная кубическая решетка , а также кубическая плотноупакованная решетка , поскольку ее вершины являются центрами плотной упаковки с равными сферами, которая достигает максимально возможной средней плотности. Тетраэдрально-октаэдрические соты представляют собой трехмерный случай симплектических сот . Его ячейка Вороного представляет собой ромбический додекаэдр , двойственный вершинной фигуре кубооктаэдра для сот октаэдра.
Д +
Упаковка 3 может быть построена объединением двух решеток D 3 (или A 3 ). Д +
n упаковка представляет собой лишь решетку четных размеров. Число поцелуев — 2. 2 =4, (2 n-1 для n<8, 240 для n=8 и 2n(n-1) для n>8). [4]
- ∪
А *
3 или Д *
3 решетка (также называемая A 4
3 или Д 4
3 ) может быть построено объединением всех четырех решеток А 3 и идентично расположению вершин дисфеноидных тетраэдрических сот , двойных сот однородных битусеченных кубических сот : [5] Это также телоцентрированный куб , объединение двух кубических сот в двойных положениях.
- ∪ ∪ ∪ = двойственное = ∪ .
Поцелуйное число D *
3 решетка это 8 [6] а его мозаика Вороного представляет собой усеченные кубические соты , , содержащий все усеченные октаэдрические ячейки Вороного , . [7]
Связанные соты
[ редактировать ]Соты C3
[ редактировать ][4,3,4], генерирует Группа Кокстера 15 комбинаций однородных сот, 9 из которых имеют четкую геометрию, включая чередующиеся кубические соты. Расширенные кубические соты (также известные как сморщенные тессерактические соты) геометрически идентичны кубическим сотам.
Соты C3 |
---|
Соты B3
[ редактировать ][4,3 1,1 ], генерирует Группа Кокстера 9 комбинаций однородных сот, 4 из которых имеют четкую геометрию, включая чередующиеся кубические соты.
Соты B3 |
---|
Соты А3
[ редактировать ]Эти соты являются одними из пяти различных однородных сот. [8] построенный Группа Кокстера . Симметрию можно помножить на симметрию колец в диаграммах Кокстера – Дынкина :
Соты А3 |
---|
Квазирегулярные соты
[ редактировать ]Квазирегулярная полихора и соты: h{4,p,q} |
---|
Кантические кубические соты
[ редактировать ]Кантические кубические соты | |
---|---|
Тип | Равномерные соты |
Символ Шлефли | ч 2 {4,3,4} |
Диаграммы Кокстера | = = |
Клетки | т{3,4} г{4,3} т{3,3} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6} |
Вершинная фигура | прямоугольная пирамида |
Группы Кокстера | [4,3 1,1 ], [3 [4] ], |
Группа симметрии | Фм 3 м (225) |
Двойной | полусплюснутый октаэдрилл Клетка: |
Характеристики | вершинно-транзитивный |
Кантические кубические соты , кантические кубические соты или усеченные полукубические соты представляют собой однородную мозаику , заполняющую пространство (или соты ) в евклидовом трехмерном пространстве. Он состоит из усеченных октаэдров , кубооктаэдров и усеченных тетраэдров в соотношении 1:1:2. Его вершинная фигура представляет собой прямоугольную пирамиду .
Джон Хортон Конвей называет эти соты усеченным тетраоктаэдрилом , а его двойной полусплюснутый октаэдрилл .
Симметрия
[ редактировать ]Он имеет две разные однородные конструкции. Построение можно увидеть с поочередно окрашенными усеченными тетраэдрами .
Симметрия | [4,3 1,1 ], =<[3 [4] ]> | [3 [4] ], |
---|---|---|
Космическая группа | Фм 3 м (225) | Ф 4 3м (216) |
Раскраска | ||
Коксетер | = | = |
Вершинная фигура |
Связанные соты
[ редактировать ]Это связано с зубчатыми кубическими сотами . Ромбокубооктаэдры редуцируются до усеченных октаэдров, а кубы — до усеченных тетраэдров.
зубчатый кубический | Кантик кубический |
, , рр{4,3} , р{4,3} , {4,3} | , , т{3,4} , г{4,3} , т{3,3} |
Рунические кубические соты
[ редактировать ]Рунические кубические соты | |
---|---|
Тип | Равномерные соты |
Символ Шлефли | ч 3 {4,3,4} |
Диаграммы Кокстера | = |
Клетки | рр{4,3} {4,3} {3,3} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} |
Вершинная фигура | треугольная деталь |
Группа Коксетера | , [4,3 1,1 ] |
Группа симметрии | Фм 3 м (225) |
Двойной | четверть кубиля Клетка: |
Характеристики | вершинно-транзитивный |
Рунические кубические соты или рунические кубические ячейки — это однородная мозаика (или соты ), заполняющая пространство, в евклидовом трехмерном пространстве. Он состоит из ромбокубооктаэдров , кубов и тетраэдров в соотношении 1:1:2. Его вершинная фигура представляет собой усеченный треугольник с тетраэдром на одном конце, кубом на противоположном конце и тремя ромбокубооктаэдрами вокруг трапециевидных сторон.
Джон Хортон Конвей называет эти соты 3-RCO-трилью , а ее двойную четверть кубилью .
Четверть кубиль
[ редактировать ]Двойник рунических кубических сот называется четвертью кубиля с диаграммой Коксетера. , с гранями в 2 из 4 гиперплоскостей , [4,3 1,1 ] фундаментальная область симметрии.
Ячейки можно рассматривать как 1/4 рассеченного куба, используя 4 вершины и центр. Вокруг 6 ребер существуют четыре клетки, а вокруг 3 ребер — 3 клетки.
Связанные соты
[ редактировать ]Он похож на сужающиеся кубические соты , в которых четверть кубов чередуются с тетраэдрами, а половина расширяется в ромбокубооктаэдры.
Ранцинированный кубический | Руничский кубический = |
{4,3} , {4,3} , {4,3} , {4,3} , , , | ч{4,3} , рр{4,3} , {4,3} , , |
Эти соты можно разделить на усеченные квадратные плоскости плитки, используя центры восьмиугольников ромбокубооктаэдров, создавая квадратные купола . Эти чешуйчатые соты представлены диаграммой Кокстера. и символ s 3 {2,4,4} с симметрией обозначений Кокстера [2 + ,4,4].
Рансикантические кубические соты
[ редактировать ]Рансикантические кубические соты | |
---|---|
Тип | Равномерные соты |
Символ Шлефли | ч 2,3 {4,3,4} |
Диаграммы Кокстера | = |
Клетки | тр{4,3} т{4,3} т{3,3} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6} восьмиугольник {8} |
Вершинная фигура | зеркальная клиновидная кость |
Группа Коксетера | , [4,3 1,1 ] |
Группа симметрии | Фм 3 м (225) |
Двойной | половина пирамидиллы Клетка: |
Характеристики | вершинно-транзитивный |
Рунцикантические кубические соты или рункикантические кубические ячейки представляют собой однородную мозаику (или соты ), заполняющую пространство, в евклидовом трехмерном пространстве. Он составлен из усеченных кубооктаэдров , усеченных кубов и усеченных тетраэдров в соотношении 1:1:2, с зеркальной клиновидной вершинной фигурой . Это связано с кубическими сотами с ранцикантелляцией .
Джон Хортон Конвей называет эти соты f-tCO-trill , а их двойную полупирамидиллю .
Половина пирамидиллы
[ редактировать ]Двойник кубических сот с усеченными краями называется полупирамидиллей с диаграммой Кокстера . . Грани существуют в 3 из 4 гиперплоскостей [4,3 1,1 ], Группа Кокстера.
Ячейки представляют собой неправильные пирамиды и могут рассматриваться как 1/12 куба или 1/24 ромбододекаэдра , каждая из которых имеет три угла и центр куба.
Родственные косые апейроэдры
[ редактировать ]Существует родственный однородный косой апейроэдр с таким же расположением вершин , но удалены треугольники и квадраты. Его можно рассматривать как усеченные тетраэдры и усеченные кубы, сложенные вместе.
Связанные соты
[ редактировать ]Рансикантический куб | Ранцикантеллярный кубический |
Закручивающиеся тетраэдрически-октаэдрические соты
[ редактировать ]Закручивающиеся тетраэдрически-октаэдрические соты | |
---|---|
Тип | выпуклые однородные соты |
Диаграммы Кокстера | |
Символы Шлефли | ч{4,3,4}:г ч{6,3}ч{∞} с{3,6}ч{∞} с{3 [3] }ч{∞} |
Клетки | {3,3} {3,4} |
Лица | треугольник {3} |
Вершинная фигура | треугольный ортобикупол G3.4.3.4 |
Космическая группа | Р6 3 /ммц (194) [3,6,2 + ,∞] |
Двойной | трапезо-ромбические додекаэдрические соты |
Характеристики | вершинно-транзитивный |
Вращающиеся тетраэдрально-октаэдрические соты или вращающиеся чередующиеся кубические соты представляют собой заполняющую пространство мозаику (или соты ) в евклидовом трехмерном пространстве, состоящую из октаэдров и тетраэдров в соотношении 1:2.
Он вершинно-однороден , вокруг каждой вершины находится 8 тетраэдров и 6 октаэдров.
Он не является однородным по краям . Все ребра имеют по 2 тетраэдра и 2 октаэдра, но некоторые чередуются, а некоторые парные.
Это можно увидеть как отражающие слои этого сотового слоя:
Строительство путем вращения
[ редактировать ]Это менее симметричная версия другой соты, тетраэдро-октаэдрической соты, в которой каждое ребро окружено чередующимися тетраэдрами и октаэдрами. Оба можно рассматривать как состоящие из слоев толщиной в одну клетку, внутри которых строго чередуются два типа клеток. Поскольку грани на плоскостях, разделяющих эти слои, образуют правильный узор из треугольников , соседние слои можно расположить так, чтобы каждый октаэдр в одном слое встречался с тетраэдром в следующем слое, или так, чтобы каждая ячейка встречалась с ячейкой своего вида ( граница слоя, таким образом, становится плоскостью отражения ). Последняя форма называется циркулярной .
Вершинная фигура называется треугольным ортобикуполом по сравнению с тетраэдрально-октаэдрическими сотами, вершинная фигура которого кубооктаэдр в более низкой симметрии называется треугольным гиробикуполом , поэтому префикс гиро- используется наоборот.
Соты | Вращающийся тет-окт | Светоотражающий тет-окт |
---|---|---|
Изображение | ||
Имя | треугольный ортобикупол | треугольный гирокупол |
Вершинная фигура | ||
Симметрия | Д 3ч , заказ 12 | Д 3д , заказать 12 (Ох , заказ 48) |
Строительство попеременно
[ редактировать ]Геометрию также можно построить с помощью операции чередования , примененной к шестиугольным призматическим сотам . Ячейки шестиугольной призмы превращаются в октаэдры , а пустоты образуют треугольные бипирамиды , которые можно разделить на пары тетраэдров этой соты. Такие соты с бипирамидами называются дитетраэдрически-октаэдрическими сотами . Существует 3 диаграммы Кокстера-Динкина , которые можно рассматривать как октаэдры 1, 2 или 3 цветов:
Гироудлиненные чередующиеся кубические соты
[ редактировать ]Гироудлиненные чередующиеся кубические соты | |
---|---|
Тип | Равномерные соты |
Символ Шлефли | ч{4,3,4}:ge {3,6}ч 1 {∞} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | {3,3} {3,4} (3.4.4) |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} |
Вершинная фигура | |
Космическая группа | Р6 3 /ммц (194) [3,6,2 + ,∞] |
Характеристики | вершинно-транзитивный |
Гироудлиненные чередующиеся кубические соты или удлиненные треугольные антипризматические ячейки ) , заполняющую пространство, представляют собой мозаику (или соты в евклидовом трехмерном пространстве . Он состоит из октаэдров , треугольных призм и тетраэдров в соотношении 1:2:2.
Он вершинно-транзитивен, вокруг каждой вершины расположены 3 октаэдра, 4 тетраэдра и 6 треугольных призм.
Это один из 28 выпуклых однородных сот .
Удлиненные чередующиеся кубические соты имеют одинаковое расположение ячеек в каждой вершине, но общее расположение различается. В вытянутой форме каждая призма встречается с тетраэдром на одной из треугольных граней и октаэдром на другой; в гировытянутой форме призма встречает такой же вид дельтаэдра на каждом конце .
Удлиненные чередующиеся кубические соты
[ редактировать ]Удлиненные чередующиеся кубические соты | |
---|---|
Тип | Равномерные соты |
Символ Шлефли | ч{4,3,4}:е {3,6}г 1 {∞} |
Клетки | {3,3} {3,4} (3.4.4) |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} |
Вершинная фигура | треугольный купол, соединенный с равнобедренной шестиугольной пирамидой |
Группа симметрии | [6,(3,2 + ,∞,2 + )] ? |
Характеристики | вершинно-транзитивный |
Удлиненные чередующиеся кубические соты или удлиненные треугольные гиропризматические ячейки представляют собой заполняющую пространство мозаику (или соты ) в евклидовом трехмерном пространстве . Он состоит из октаэдров , треугольных призм и тетраэдров в соотношении 1:2:2.
Он вершинно-транзитивен, вокруг каждой вершины расположены 3 октаэдра, 4 тетраэдра и 6 треугольных призм. Каждая призма на одном конце пересекается с октаэдром, а на другом — с тетраэдром.
Это один из 28 выпуклых однородных сот .
Он имеет закрученную форму, называемую гироудлиненными чередующимися кубическими сотами , с одинаковым расположением ячеек в каждой вершине.
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Для перекрестных ссылок им даны списочные индексы Андреини (1-22), Уильямса (1-2,9-19), Джонсона (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51). -52, 61-65) и Грюнбаум (1-28).
- ^ «Решетка Д3» .
- ^ «Решетка А3» .
- ^ Конвей (1998), с. 119
- ^ «Решетка Д3» .
- ^ Конвей (1998), с. 120
- ^ Конвей (1998), с. 466
- ^ [1] , OEIS последовательность A000029 6-1 случаев, пропуск одного с нулевыми отметками
Ссылки
[ редактировать ]- Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей , ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 21, Наименование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, Архитектурные и катоптрические мозаики, стр. 292–298, включает все непризматические формы)
- Георгий Ольшевский, Равномерные паноплоидные тетракомбы , Рукопись (2006) (Полный список из 11 выпуклых однородных мозаик, 28 выпуклых однородных сот и 143 выпуклых однородных тетракомб)
- Бранко Грюнбаум , Равномерные разбиения трехмерного пространства. Геомбинаторика 4 (1994), 49–56.
- Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
- Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-Х .
- Кричлоу, Кейт (1970). Порядок в космосе: справочник по дизайну . Викинг Пресс. ISBN 0-500-34033-1 .
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380–407, МР 2,10] (1.9 Равномерные заполнения пробелов)
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
- А. Андреини , О правильных и полуправильных сетях многогранников и о соответствующих корреляционных сетях , Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
- ДМИ Соммервилль , Введение в геометрию n измерений. Нью-Йорк, EP Dutton, 1930. 196 стр. (издание Dover Publications, 1958). Глава X: Правильные многогранники.
- Конвей Дж. Х., Слоан Н. Дж. Х. (1998). Сферические упаковки, решетки и группы (3-е изд.). Спрингер. ISBN 0-387-98585-9 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Архитектурный дизайн, выполненный с использованием тетраэдров и правильных квадратов на основе пирамид. (2003). Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine.
- Клитцинг, Ричард. «3D евклидовы соты x3o3o *b4o - октет - O21» .
- Равномерные соты в 3-мерном пространстве: 11 октетов
Космос | Семья | / / | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
И 2 | Равномерная укладка плитки | {3 [3] } | д 3 | HD 3 | квартал 3 | Шестиугольный |
И 3 | Равномерные выпуклые соты | {3 [4] } | д 4 | HD 4 | 4 квартала | |
И 4 | Униформа 4-сотовая | {3 [5] } | д 5 | hδ 5 | qδ 5 | 24-ячеистые соты |
И 5 | Униформа 5-сотовая | {3 [6] } | д 6 | HD 6 | qδ 6 | |
И 6 | Униформа 6-сотовая | {3 [7] } | д 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
И 7 | Униформа 7-сотовая | {3 [8] } | д 8 | hδ 8 | 8 кварталов | 1 33 • 3 31 |
И 8 | Униформа 8-сотовая | {3 [9] } | д 9 | HD 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
И 9 | Униформа 9-сотовая | {3 [10] } | д 10 | HD 10 | 10 кварталов | |
И 10 | Униформа 10-сотовая | {3 [11] } | д 11 | HD 11 | qδ 11 | |
И п -1 | Равномерный ( n -1)- сотовый | {3 [н] } | δ н | hδ н | qδ н | 1 лиц 2 • 2 лиц 1 • лиц 21 |