Кусок

Чтобы узнать о других значениях, см. Frustum (значения) .

Набор пирамидальных право -n -усеченных усеченных углов
Примеры: правые пятиугольные и усеченные квадраты. ( п = 5 и п = 4 )
Лица	n равнобедренных трапеций , 2 правильных n -угольника
Края	33н
Вершины	2 н
Группа симметрии	C n v , [1, n ], (* nn )
Двойной многогранник	асимметричная бипирамида
Характеристики	выпуклый
Сеть
Пример: за вычетом правого усеченного треугольника ( n = 3 )

В геометрии — усеченный конус ( лат. «кусочек»); ( мн.: frusta или frustums ) — это часть твердого тела (обычно пирамиды или конуса ), которая лежит между двумя параллельными плоскостями, разрезающими твердое тело. В случае пирамиды грани основания многоугольные , а боковые грани трапециевидные . Правильный усеченный конус — это правильная пирамида или прямой конус, усеченный перпендикулярно ее оси; в противном случае это косая усеченная пирамида . В усеченном конусе или усеченной пирамиде плоскость усечения не обязательно параллельна основанию конуса, как в усеченном конусе.Если все его ребра сделать одинаковой длины, то усеченная пирамида станет призмой (возможно, наклонной и/или с неровными основаниями).

Элементы, особые случаи и связанные концепции

Квадратный кусок

Правильный октаэдр можно увеличить на трех гранях, чтобы создать усеченный треугольник.

Ось усеченного конуса — это ось исходного конуса или пирамиды. Усеченная пирамида является круглой, если она имеет круглые основания; правильно, если ось перпендикулярна обоим основаниям, и наклонна в противном случае.

Высота усеченного конуса — это расстояние по перпендикуляру между плоскостями двух оснований.

Конусы и пирамиды можно рассматривать как вырожденные случаи фрусты, когда одна из секущих плоскостей проходит через вершину ( так что соответствующее основание сводится к точке). Пирамидальные фрусты — подкласс призматоидов .

Две усеченные пирамиды с двумя конгруэнтными основаниями, соединенные в этих конгруэнтных основаниях, образуют бифрустум .

Формулы

Объем

Формула объема усеченной пирамиды-квадрата была введена древнеегипетскими математиками в так называемом Московском математическом папирусе , написанном при XIII династии ( ок. 1850 г. до н. э. ):

$V={\frac {h}{3}}\left(a^{2}+ab+b^{2}\right),$

где a и b — длины основания и верхней стороны, а h — высота.

Египтянам была известна правильная формула объема такой усеченной квадратной пирамиды, но доказательства этого уравнения в московском папирусе не приведено.

Объем усеченного конуса или пирамиды — это объем твердого тела до отсечения его «вершины» за вычетом объема этой «вершины»:

$V={\frac {h_{1}B_{1}-h_{2}B_{2}}{3}},$

где B ₁ и B ₂ — площади основания и верхней части, а h ₁ и h ₂ — высоты перпендикуляров от вершины к базовой и верхней плоскостям.

Учитывая, что

${\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}={\frac {\sqrt {B_{1}B_{2}}}{h_{1}h_{2}}}=\alpha ,$

формулу объема можно выразить как треть произведения этой пропорциональности, $\alpha$, и только разности кубов высот h ₁ и h ₂ :

$V={\frac {h_{1}\alpha h_{1}^{2}-h_{2}\alpha h_{2}^{2}}{3}}=\alpha {\frac {h_{1}^{3}-h_{2}^{3}}{3}}.$

Используя тождество a ³ − б ³ знак равно ( а - б )( а ² + аб + б ² ) , получим:

$V=(h_{1}-h_{2})\alpha {\frac {h_{1}^{2}+h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}}{3}},$

где h ₁ − h ₂ = h — высота усеченной пирамиды.

Распространение $\alpha$ и подставив из его определения среднее героновское значение площадей B ₁ и B _2, получим:

${\frac {B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}}{3}};$

альтернативная формула поэтому:

$V={\frac {h}{3}}\left(B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}\right).$

Цапля Александрийская известна тем, что вывел эту формулу и вместе с ней встретил воображаемую единицу : квадратный корень из отрицательного.

В частности:

• Объем усеченного круглого конуса равен:

$V={\frac {\pi h}{3}}\left(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}\right),$

где r ₁ и r ₂ основания и вершины — радиусы .

• Объем усеченной пирамиды, основаниями которой являются правильные n -угольники, равен:

$V={\frac {nh}{12}}\left(a_{1}^{2}+a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}\right)\cot {\frac {\pi }{n}},$

где a ₁ и a ₂ — длины нижней и верхней сторон.

Pyramidal frustum

Площадь поверхности

Коническая деталь

3D-модель усеченного конуса.

Для правильного кругового усеченного конуса наклонная высота $s$ является

$\displaystyle s={\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}},$

площадь боковой поверхности равна

$\displaystyle \pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s,$

а общая площадь поверхности

$\displaystyle \pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right)s+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right),$

где r ₁ и r ₂ — радиусы основания и вершины соответственно.

Примеры

Шоколадные конфеты марки Rolo имеют форму правильного круглого усеченного конуса, но не плоские сверху.

• На оборотной стороне (реверсе) однодолларовой банкноты Соединенных Штатов изображена усеченная пирамида на реверсе Большой печати Соединенных Штатов , увенчанная Оком Провидения .
• Зиккураты , ступенчатые пирамиды и некоторые древние курганы коренных американцев также образуют усеченную форму одной или нескольких пирамид с добавлением дополнительных элементов, таких как лестницы.
• Китайские пирамиды .
• Центр Джона Хэнкока в Чикаго , штат Иллинойс, представляет собой усеченную пирамиду, основания которой представляют собой прямоугольники.
• Монумент Вашингтона представляет собой узкую усеченную пирамиду с квадратным основанием, увенчанную небольшой пирамидой.
• Усеченная пирамида обзора в 3D-компьютерной графике виртуальной фото- или видеокамеры, представляет собой поле обзора смоделированное в виде усеченной пирамиды.
• В английском переводе Станислава Лема сборника рассказов «Кибериада » в стихотворении « Любовь и тензорная алгебра» утверждается, что «каждый усеченный конус стремится быть конусом».
• Ведра и типичные абажуры — повседневные примеры усеченных конусов.
• Стаканы для питья и некоторые космические капсулы также являются примерами.

• 

  Звуковая ловушка , Неринга, Литва

  Деревянная конструкция или статуя Sound Catcher в Литве.
• сыр Валансе
• Роло конфеты

См. также

• Сферическая деталь

Внешние ссылки

• Вывод формулы объема усеченных пирамид и конуса (Mathalino.com)
• Вайсштейн, Эрик В. «Усеченная пирамида» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Усеченный конус» . Математический мир .
• Бумажные модели усеченных пирамид (усеченных пирамид)
• Бумажная модель усеченного конуса (усеченного конуса)
• Конструкторские бумажные модели усеченного конуса (усеченных конусов)