Конус

Конус
Конус
	Прямой круглый конус с радиусом основания r , высотой h , наклонной высотой c и углом θ .
Тип	Солидная фигура
Лица	1 круглая грань и 1 коническая поверхность
Эйлер чар.	2
Группа симметрии	О (2)
Площадь поверхности	π р 2 + π рℓ
Объем	( π р 2 ч )/3

Двойной конус (не показан бесконечно вытянутым)

Конус называемой — это трехмерная геометрическая форма , которая плавно сужается от плоского основания (часто, но не обязательно круглого) к точке, вершиной или вершиной .

Конус формируется набором отрезков , полупрямых или линий, соединяющих общую точку (вершину) со всеми точками основания, находящегося в плоскости , не содержащей вершину. В зависимости от автора, основание может быть ограничено кругом , любой одномерной квадратичной формой на плоскости, любой замкнутой одномерной фигурой или любым из вышеперечисленных плюс всеми заключенными в них точками. Если заключенные точки включены в основу, конус представляет собой сплошной объект ; в противном случае это двумерный объект в трехмерном пространстве. В случае твердого объекта граница, образованная этими линиями или частичными линиями, называется боковой поверхностью ; если боковая поверхность неограничена, то это коническая поверхность .

В случае отрезков конус не выходит за пределы основания, а в случае полупрямых — бесконечно далеко. В случае линий конус простирается бесконечно далеко в обе стороны от вершины, и в этом случае его иногда называют двойным конусом . Любая половина двойного конуса на одной стороне вершины называется покровом .

Ось круговую конуса — это прямая линия (если она есть), проходящая через вершину, относительно которой основание (и весь конус) имеет симметрию .

В обычном использовании в элементарной геометрии конусы считаются прямоугольными , где круговой означает, что основание представляет собой круг , а прямой означает, что ось проходит через центр основания под прямым углом к его плоскости. ^[1] Если конус прямоугольный, то пересечение плоскости с боковой поверхностью представляет собой коническое сечение . Однако в целом основа может быть любой формы. ^[2] и вершина может лежать где угодно (хотя обычно предполагается, что основание ограничено и, следовательно, имеет конечную площадь и что вершина лежит вне плоскости основания). Противопоставлением правых конусов являются косые конусы, у которых ось проходит через центр основания неперпендикулярно. ^[3]

Конус с многоугольным основанием называется пирамидой .

В зависимости от контекста «конус» может также означать выпуклый конус или проективный конус .

Конусы также могут быть обобщены на более высокие измерения .

Дополнительная терминология

Периметр основания конуса называется «директрисой», а каждый из отрезков между направляющей и вершиной является «образующей» или «образующей линией» боковой поверхности. (О связи между этим смыслом термина «директриса» и директрисой конического сечения см. Сферы Одуванчика .)

«Радиус основания» круглого конуса — это радиус его основания; часто это называют просто радиусом конуса. Апертура ; прямого кругового конуса — это максимальный угол между двумя образующими линиями если образующая составляет угол θ к оси, апертура равна 2 θ . В оптике угол θ называют половиной угла конуса, чтобы отличить его от апертуры.

Конус, часть которого, включая его вершину, отрезана плоскостью, называется усеченным конусом ; если плоскость усечения параллельна основанию конуса, это называется усеченной конусом . ^[1] – Эллиптический конус это конус с эллиптическим основанием. ^[1] — Обобщенный конус это поверхность, созданная набором линий, проходящих через вершину и каждую точку на границе (см. также визуальную оболочку ).

Измерения и уравнения

Объем

Объем $V$ любого конического тела равна трети произведения площади основания $A_{B}$ и высота $h$ ^[4]

V={\frac {1}{3}}A_{B}h.

В современной математике эту формулу можно легко вычислить с помощью математического анализа — с точностью до масштабирования это интеграл $\int x^{2}\,dx={\tfrac {1}{3}}x^{3}$ Без использования исчисления формулу можно доказать, сравнив конус с пирамидой и применив принцип Кавальери , в частности, сравнив конус с правильной квадратной пирамидой (в вертикальном масштабе), которая составляет одну треть куба. Эта формула не может быть доказана без использования таких бесконечно малых аргументов – в отличие от двумерных формул для площади многогранника, хотя и аналогичных площади круга – и, следовательно, до появления исчисления допускались менее строгие доказательства, когда древние греки использовали метод истощение . По сути, это содержание третьей проблемы Гильберта - точнее, не все многогранные пирамиды конгруэнтны ножницам (их можно разрезать на конечные части и переставить в другие), и поэтому объем не может быть вычислен исключительно с использованием аргумента разложения. ^[5]

Центр масс

Центр масс конического тела с одинаковой плотностью находится на четверти пути от центра основания до вершины, на прямой линии, соединяющей их.

Правый круглый конус

Объем

Для круглого конуса радиусом r и высотой h основанием является круг площадью $\pi r^{2}$ и поэтому формула объема становится ^[6]

V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.

Высота наклона

Наклонная высота прямого кругового конуса — это расстояние от любой точки окружности его основания до вершины через отрезок линии, проходящий вдоль поверхности конуса. Это дано ${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ , где $r$ - радиус основания и $h$ это высота. Это можно доказать с помощью теоремы Пифагора .

Площадь поверхности

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса равна $LSA=\pi r\ell$ где $r$ - радиус круга в нижней части конуса и $\ell$ - наклонная высота конуса. ^[4] Площадь поверхности нижнего круга конуса такая же, как и у любого круга. $\pi r^{2}$ . Таким образом, общую площадь поверхности прямого кругового конуса можно выразить следующим образом:

Радиус и высота

\pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}

(площадь основания плюс площадь боковой поверхности; термин

{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}

это наклонная высота)

\pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)

где

r

это радиус и

h

это высота.

Радиус и наклонная высота

\pi r^{2}+\pi r\ell

\pi r(r+\ell )

где

r

это радиус и

\ell

это наклонная высота.

Окружность и наклонная высота

{\frac {c^{2}}{4\pi }}+{\frac {c\ell }{2}}

\left({\frac {c}{2}}\right)\left({\frac {c}{2\pi }}+\ell \right)

где

c

это окружность и

\ell

это наклонная высота.

Угол и высота вершины

\pi h^{2}\tan {\frac {\theta }{2}}\left(\tan {\frac {\theta }{2}}+\sec {\frac {\theta }{2}}\right)

-{\frac {\pi h^{2}\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta }{2}}-1}}

где

\theta

угол при вершине и

h

это высота.

Круговой сектор

Круглый сектор получается разворачиванием поверхности одного покрова конуса:

радиус R

R={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}

длина дуги L

L=c=2\pi r

центральный угол φ в радианах

\varphi ={\frac {L}{R}}={\frac {2\pi r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}

Форма уравнения

Поверхность конуса можно параметризовать как

f(\theta ,h)=(h\cos \theta ,h\sin \theta ,h),

где $\theta \in [0,2\pi )$ - угол «вокруг» конуса, а $h\in \mathbb {R}$ - это «высота» вдоль конуса.

Правильный сплошной круглый конус высотой $h$ и диафрагма $2\theta$ , ось которого $z$ координатной оси, вершина которой является началом координат, параметрически описывается как

F(s,t,u)=\left(u\tan s\cos t,u\tan s\sin t,u\right)

где $s,t,u$ диапазон более $[0,\theta )$ , $[0,2\pi )$ , и $[0,h]$ , соответственно.

В неявной форме одно и то же тело определяется неравенствами

\{F(x,y,z)\leq 0,z\geq 0,z\leq h\},

где

F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2}.\,

В более общем смысле, прямой круговой конус с вершиной в начале координат и осью, параллельной вектору. $d$ , и диафрагма $2\theta$ , задаётся неявным векторным уравнением $F(u)=0$ где

F(u)=(u\cdot d)^{2}-(d\cdot d)(u\cdot u)(\cos \theta )^{2}

F(u)=u\cdot d-|d||u|\cos \theta

где $u=(x,y,z)$ , и $u\cdot d$ обозначает скалярное произведение .

Эллиптический конус

В декартовой системе координат эллиптический конус является центром уравнения вида ^[7]

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=z^{2}.

Это аффинный образ единичного правоциркульного конуса с уравнением $x^{2}+y^{2}=z^{2}\ .$ Из того факта, что аффинным образом конического сечения является однотипное коническое сечение (эллипс, парабола,...), получаем:

Любое плоское сечение эллиптического конуса является коническим сечением.

Очевидно, что любой прямой круговой конус содержит окружности. Это также верно, но менее очевидно в общем случае (см. круговой раздел ).

Пересечение эллиптического конуса с концентрической сферой представляет собой сферический конус .

Проективная геометрия

В проективной геометрии цилиндр — это просто конус , вершина которого обращена в бесконечность. ^[8] Интуитивно, если оставить основание неподвижным и принять предел, когда вершина уходит в бесконечность, получится цилиндр, угол стороны которого увеличивается как арктанс , в пределе образуя прямой угол . Это полезно при определении вырожденных коник , которые требуют рассмотрения цилиндрических коник .

По мнению ГБ Хальстеда , конус генерируется аналогично конике Штейнера, только с использованием проективности и осевых карандашей (не в перспективе), а не проективных диапазонов, используемых для коники Штейнера:

«Если два копунктуальных непрямых осевых пучка проективны, но не перспективны, то места пересечения коррелирующих плоскостей образуют «коническую поверхность второго порядка», или «конус». ^[9]

Обобщения

Определение конуса можно распространить на более высокие измерения; см. выпуклый конус . В этом случае говорят, что выпуклое множество C в действительном векторном пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ является конусом (с вершиной в начале координат), если для каждого вектора x в C и каждого неотрицательного действительного числа a вектор ax находится в C . ^[2] В этом контексте аналоги круглых конусов обычно не являются чем-то особенным; на самом деле часто интересуются многогранными конусами .

Еще более общим понятием является топологический конус , который определяется в произвольных топологических пространствах.

См. также

Примечания

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Джеймс, Колорадо ; Джеймс, Гленн (31 июля 1992 г.). Математический словарь . Springer Science & Business Media. стр. 74–75. ISBN 9780412990410 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Грюнбаум, Выпуклые многогранники , второе издание, с. 23.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Конус» . Математический мир .
^ Перейти обратно: ^а ^б Александр, Дэниел С.; Кеберляйн, Джералин М. (1 января 2014 г.). Элементарная геометрия для студентов . Cengage Обучение. ISBN 9781285965901 .
^ Хартсхорн, Робин (11 ноября 2013 г.). Геометрия: Евклид и не только . Springer Science & Business Media. Глава 27. ISBN 9780387226767 .
^ Бланк, Брайан Э.; Кранц, Стивен Джордж (1 января 2006 г.). Исчисление: одна переменная . Springer Science & Business Media. Глава 8. ISBN 9781931914598 .
^ Проттер и Морри (1970 , стр. 583)
^ Даулинг, Линней Вэйланд (1 января 1917 г.). Проективная геометрия . Книжная компания McGraw-Hill, Incorporated.
^ ГБ Холстед (1906) Синтетическая проективная геометрия , страница 20

Ссылки

Проттер, Мюррей Х.; Морри, Чарльз Б. младший (1970), Колледжское исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , LCCN 76087042

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Конус» . Математический мир .
Вайсштейн, Эрик В. «Двойной конус» . Математический мир .
Вайсштейн, Эрик В. «Обобщенный конус» . Математический мир .
Интерактивный вращающийся конус из Maths Is Fun
Бумажная модель конуса
Площадь боковой поверхности косого конуса
Cut a Cone Интерактивная демонстрация пересечения конуса плоскостью.

[:1-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Джеймс, Колорадо ; Джеймс, Гленн (31 июля 1992 г.). Математический словарь . Springer Science & Business Media. стр. 74–75. ISBN 9780412990410 .

[grunbaum-2] Перейти обратно: ^а ^б Грюнбаум, Выпуклые многогранники , второе издание, с. 23.

[MathWorld-3] Вайсштейн, Эрик В. «Конус» . Математический мир .

[:0-4] Перейти обратно: ^а ^б Александр, Дэниел С.; Кеберляйн, Джералин М. (1 января 2014 г.). Элементарная геометрия для студентов . Cengage Обучение. ISBN 9781285965901 .

[5] Хартсхорн, Робин (11 ноября 2013 г.). Геометрия: Евклид и не только . Springer Science & Business Media. Глава 27. ISBN 9780387226767 .

[6] Бланк, Брайан Э.; Кранц, Стивен Джордж (1 января 2006 г.). Исчисление: одна переменная . Springer Science & Business Media. Глава 8. ISBN 9781931914598 .

[7] Проттер и Морри (1970 , стр. 583)

[8] Даулинг, Линней Вэйланд (1 января 1917 г.). Проективная геометрия . Книжная компания McGraw-Hill, Incorporated.

[9] ГБ Холстед (1906) Синтетическая проективная геометрия , страница 20

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]