Модальный анализ с использованием FEM
Целью модального анализа в строительной механике является определение формы и частоты собственных колебаний объекта или конструкции во время свободной вибрации . Для выполнения этого анализа обычно используется метод конечных элементов (МКЭ), поскольку, как и другие расчеты с использованием МКЭ, анализируемый объект может иметь произвольную форму, а результатырасчеты приемлемы. Типы уравнений, которые возникают в результате модального анализа, аналогичны тем, которые наблюдаются в собственных системах . Физическая интерпретация собственных значений и собственных векторов , возникающих в результате решения системы, такова:они представляют частоты и соответствующие формы колебаний. Иногда единственными желаемыми модами являются самые низкие частоты, поскольку они могут быть наиболее заметными модами, при которых объект будет вибрировать, доминируя над всеми более высокими частотами.режимы.
Также возможно протестировать физический объект, чтобы определить его собственные частоты и формы колебаний. Это называется экспериментальным модальным анализом . Результаты физических испытаний можно использовать для калибровки модели методом конечных элементов, чтобы определить, были ли принятые в ее основе допущения верными (например, были использованы правильные свойства материала и граничные условия).
собственная система FEA
[ редактировать ]Для самой основной задачи, связанной с линейно упругим материалом, подчиняющимся закону Гука ,матричные . уравнения принимают форму динамической трехмерной пружинно-массовой системы Обобщенное уравнение движения имеет вид: [1]
![{\displaystyle [M][{\ddot {U}}]+[C][{\dot {U}}]+[K][U]=[F]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5abf6eea7254faedda4fd5cd60b468018651e5b)
где это массовая матрица, это вторая производная по времени от смещения (т.е. ускорение), это скорость, – матрица демпфирования, – матрица жесткости, а – вектор силы. Общая проблема с ненулевым затуханием представляет собой квадратичную проблему собственных значений . Однако для вибрационного модального анализа затухание обычно игнорируется, оставляя только 1-й и 3-й члены в левой части:
![{\displaystyle [M]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ca74e595b2281c0aef1897ecafa282d1f182e2)
![{\displaystyle [{\dot {U}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4edee54c6ea65e9c1d02f9e9457c19d510d3fa8c)
![{\displaystyle [U]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcafec2837abe11b2e45cbf3c1ec3c68913a93c4)
![{\displaystyle [{\dot {U}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f90385490a8861eb05f8b8a02a915eb61ce4af)
![{\displaystyle [С]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/798adf333080234dd9da202633a4d63c4ea091aa)
![{\displaystyle [K]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b6c25071903364b1b51e69ffa99ec95f6d122d5)
![{\displaystyle [F]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2495ec47ff372dabec343f9ef436e1bc8622d055)
![{\displaystyle [M][{\ddot {U}}]+[K][U]=[0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba0628e81d98d87942accd77befd981a6ccdc4cf)
Это общая форма собственной системы, встречающаяся в структурныхпроектирование с использованием FEM . Для представления решений конструкции со свободными колебаниями предполагается гармоническое движение. [2] Это предположение означает, что принимается равным ,где является собственным значением (с единицами обратного квадрата времени, например, ).Используя это, уравнение сводится к: [3]
![{\displaystyle \лямбда [U]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7e5fc2618f57b173396e29f4e5d9d399b1f0cee)
![{\displaystyle [M][U]\lambda +[K][U]=[0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47115c319bee6d958bc6ac4eab80105c74c66e4d)
Напротив, уравнение для статических задач выглядит следующим образом:
![{\displaystyle [K][U]=[F]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/387d37076048195483725eba0cddcc9b14b61a15)
что ожидается, когда все члены, имеющие производную по времени, равны нулю.
Сравнение с линейной алгеброй
[ редактировать ]В линейной алгебре чаще встречается стандартная форма собственной системы, которая естьвыражается как:
![{\displaystyle [A][x]=[x]\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6cc02b192ec5e73eceb5cfd676486440debe07a)
Оба уравнения можно рассматривать как одно и то же, потому что, если общее уравнение имеет видумноженное на обратную массу, ,оно примет форму последнего. [4] Поскольку желательны низшие моды, решение системыболее вероятно, включает в себя эквивалент умножения на обратную жесткость, , процесс, называемый обратной итерацией . [5] Когда это будет сделано, полученные собственные значения , относятся к оригиналу следующим образом:
![{\displaystyle [M]^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3eb7314f3fed6296d404de8a83e6c1c78a2b7b5)
![{\displaystyle [K]^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a7471cd3ba744fb645e83dd31cf364ac9fe8f4)
но собственные векторы одинаковы.
См. также
[ редактировать ]- Метод конечных элементов
- Метод конечных элементов в строительной механике
- Модальный анализ
- Сейсмический анализ
- Структурная динамика
- Собственная система
- Собственная мода
- Квадратичная проблема собственных значений
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Клаф, Рэй В. и Джозеф Пензиен, Динамика структур , 2-е изд.,Издательская компания McGraw-Hill, Нью-Йорк, 1993 г., стр. 173.
- ^ Бат, Клаус Юрген, Процедуры конечных элементов , 2-е изд., Prentice-Hall Inc., Нью-Джерси, 1996, стр. 786.
- ^ Клаф, Рэй В. и Джозеф Пензиен, Динамика структур , 2-е изд.,Издательская компания McGraw-Hill, Нью-Йорк, 1993 г., стр. 201.
- ^ Томсон, Уильям Т., Теория вибрации с приложениями , 3-е изд., Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, 1988, стр. 165
- ^ Хьюз, Томас-младший, Метод конечных элементов , Prentice-Hall Inc.,Энглвуд Клиффс, 1987, стр. 582–584.