Структурная динамика

Структурная динамика — это тип структурного анализа , который охватывает поведение конструкции , подвергающейся динамической (действиям с высоким ускорением) нагрузке. К динамическим нагрузкам относятся люди, ветер, волны, движение транспорта, землетрясения и взрывы. Любая конструкция может подвергаться динамическим нагрузкам. Динамический анализ можно использовать для поиска динамических смещений , временной диаграммы и модального анализа .

Структурный анализ в основном занимается выяснением поведения физической конструкции под воздействием силы. Это действие может иметь форму нагрузки из-за веса вещей, таких как люди, мебель, ветер, снег и т. д., или какого-либо другого вида возбуждения, например землетрясения, сотрясения земли из-за взрыва поблизости и т. д. По сути, все эти нагрузки являются динамическими, включая собственный вес конструкции, поскольку в какой-то момент времени этих нагрузок не было. Различие делается между динамическим и статическим анализом на основе того, имеет ли приложенное воздействие достаточное ускорение по сравнению с собственной частотой конструкции. Если нагрузка прикладывается достаточно медленно, силы инерции ( первый закон движения Ньютона ) можно игнорировать и анализ можно упростить до статического анализа.

Статическая . нагрузка – это нагрузка, которая изменяется очень медленно Динамическая нагрузка – это нагрузка, которая изменяется со временем довольно быстро по сравнению с собственной частотой конструкции. Если он меняется медленно, реакцию конструкции можно определить с помощью статического анализа, но если он меняется быстро (относительно способности конструкции реагировать), реакцию необходимо определить с помощью динамического анализа.

Динамический анализ простых конструкций можно выполнять вручную, но для сложных конструкций можно использовать анализ методом конечных элементов для расчета форм и частот колебаний.

Перемещения

Динамическая нагрузка может оказывать значительно больший эффект, чем статическая нагрузка той же величины из-за неспособности конструкции быстро реагировать на нагрузку (прогибая). Увеличение эффекта динамической нагрузки определяется коэффициентом динамического усиления (DAF) или коэффициентом динамической нагрузки (DLF):

${\text{DAF}}={\text{DLF}}={\frac {u_{\max }}{u_{\text{static}}}}$

где u — прогиб конструкции из-за приложенной нагрузки.

Графики зависимости динамических коэффициентов усиления от безразмерного времени нарастания ( t _r / T ) существуют для стандартных функций нагрузки (объяснение времени нарастания см. в анализе временной динамики ниже). Следовательно, DAF для данной нагрузки можно прочитать по графику, статический прогиб можно легко рассчитать для простых конструкций и найти динамический прогиб.

Анализ временной истории

Полная временная история покажет реакцию конструкции с течением времени во время и после приложения нагрузки. Чтобы найти полную временную историю реакции конструкции, вы должны решить уравнение движения конструкции .

Пример

Single degree of freedom system: simple mass spring model

Простая одной степенью свободы система ( масса , M на пружине жесткости с k например ) имеет следующее уравнение движения:

$M{\ddot {x}}+kx=F(t)$

где ${\ddot {x}}$ – ускорение (двойная производная смещения), а x – смещение.

Если нагрузка F ( t ) является ступенчатой ​​функцией Хевисайда (внезапное приложение постоянной нагрузки), решение уравнения движения:

$x={\frac {F_{0}}{k}}[1-\cos(\omega t)]$

где $\omega ={\sqrt {\frac {k}{M}}}$ и основная собственная частота, $f={\frac {\omega }{2\pi }}$.

Статическое отклонение системы с одной степенью свободы равно:

$x_{\text{static}}={\frac {F_{0}}{k}}$

поэтому мы можем написать, объединив приведенные выше формулы:

$x=x_{\text{static}}[1-\cos(\omega t)]$

Это дает (теоретическую) временную историю конструкции из-за нагрузки F(t), при этом делается ложное предположение об отсутствии демпфирования .

Хотя это слишком упрощенно для применения к реальной конструкции, ступенчатая функция Хевисайда является разумной моделью для приложения многих реальных нагрузок, таких как внезапное добавление предмета мебели или удаление опоры из только что отлитого бетона. пол. Однако в действительности нагрузки никогда не применяются мгновенно – они накапливаются в течение определенного периода времени (на самом деле он может быть очень коротким). Это время называется временем нарастания .

По мере увеличения числа степеней свободы конструкции очень быстро становится слишком сложно рассчитывать временную историю вручную — реальные конструкции анализируются с использованием программного обеспечения для нелинейного анализа методом конечных элементов .

Демпфирование

Любая реальная конструкция будет рассеивать энергию (в основном за счет трения). Это можно смоделировать, изменив DAF.

${\text{DAF}}=1+e^{-c\pi }$

где $c={\frac {\text{damping coefficient}}{\text{critical damping coefficient}}}$ и обычно составляет 2–10% в зависимости от типа конструкции:

• Болтовая сталь ~6%
• Железобетон ~5%
• Сварная сталь ~2%
• Кирпичная кладка ~10%

Методы увеличения демпфирования

Одним из широко используемых способов увеличения демпфирования является прикрепление к вибрирующей конструкции слоя материала с высоким коэффициентом демпфирования, например резины.

Модальный анализ

Модальный анализ рассчитывает частотные режимы или собственные частоты данной системы, но не обязательно ее постоянную историю реакции на данный входной сигнал. Собственная частота системы зависит только от жесткости конструкции и массы , которая участвует в конструкции (включая собственный вес). Это не зависит от функции нагрузки.

Полезно знать модальные частоты конструкции, поскольку это позволяет гарантировать, что частота любой приложенной периодической нагрузки не будет совпадать с модальной частотой и, следовательно, вызывать резонанс , который приводит к большим колебаниям .

Метод:

1. Найдите собственные моды (форму конструкции) и собственные частоты.
2. Рассчитайте реакцию каждого режима
3. При необходимости наложите реакцию каждого режима, чтобы найти полную модальную реакцию на заданную нагрузку.

Энергетический метод

Частоту различных форм колебаний системы можно рассчитать вручную энергетическим методом . Для заданной формы режима системы с несколькими степенями свободы вы можете найти «эквивалентную» массу, жесткость и приложенную силу для системы с одной степенью свободы. Для простых структур основные формы мод можно найти путем проверки, но это не консервативный метод. Принцип Рэлея гласит:

«Частота ω произвольной формы вибрации, рассчитанная энергетическим методом, всегда больше или равна основной частоте ω _n ».

Для предполагаемой формы моды ${\bar {u}}(x)$, структурной системы массы M; изгибная жесткость, EI ( модуль Юнга , E , умноженный на второй момент площади , I ); и приложенная сила F ( x ):

${\text{Equivalent mass, }}M_{\text{eq}}=\int M{\bar {u}}^{2}\,du$

${\text{Equivalent stiffness, }}k_{\text{eq}}=\int EI\left({\frac {d^{2}{\bar {u}}}{dx^{2}}}\right)^{2}\,dx$

${\text{Equivalent force, }}F_{\text{eq}}=\int F{\bar {u}}\,dx$

тогда, как указано выше:

$\omega ={\sqrt {\frac {k_{\text{eq}}}{M_{\text{eq}}}}}$

Модальный ответ

Полный модальный отклик на данную нагрузку F ( x , t ) равен $v(x,t)=\sum u_{n}(x,t)$. Суммирование может осуществляться одним из трех распространенных методов:

• Наложите полные временные диаграммы каждого режима (отнимает много времени, но точно)
• Наложите максимальные амплитуды каждой моды (быстро, но консервативно).
• Наложите квадратный корень из суммы квадратов (хорошая оценка для хорошо разделенных частот, но небезопасно для близко расположенных частот)

Совместить отдельные модальные отклики вручную, рассчитав их энергетическим методом:

Предполагая, что время нарастания t _r известно ( T = 2 π / ω ), можно прочитать DAF из стандартного графика. Статическое смещение можно рассчитать с помощью $u_{\text{static}}={\frac {F_{1,{\text{eq}}}}{k_{1,{\text{eq}}}}}$. Динамическое смещение для выбранного режима и приложенной силы можно затем найти по формуле:

$u_{\max }=u_{\text{static}}{\text{DAF}}$

участия

Для реальных систем часто существует масса, участвующая в силовой функции (например, масса земли при землетрясении ) и масса, участвующая в эффектах инерции (масса самой конструкции, M _eq ). Модальный коэффициент участия Γ представляет собой сравнение этих двух масс. Для системы с одной степенью свободы Γ = 1.

$\Gamma ={\frac {\sum M_{n}{\bar {u}}_{n}}{\sum M_{n}{\bar {u}}_{n}^{2}}}$

Внешние ссылки

• Лаборатория структурной динамики и вибрации Университета Макгилла
• Функция частотной характеристики от модальных параметров
• Учебные пособия по структурной динамике и сценарии Matlab
• AIAA Exploring Structural Dynamics ( http://www.exploringstructuraldynamics.org/ ) – Структурная динамика в аэрокосмической технике: интерактивные демонстрации, видео и интервью с практикующими инженерами