Вибрация пластин

Информацию о строительной машине см. Виброплита .

Режим вибрации зажатой квадратной пластины

Вибрация пластин является частным случаем более общей проблемы механических колебаний . Уравнения, описывающие движение пластин, проще, чем уравнения для обычных трехмерных объектов, поскольку один из размеров пластины намного меньше двух других. Это позволяет теории двумерных пластин дать превосходное приближение к реальному трехмерному движению пластинчатого объекта.

Существует несколько теорий, описывающих движение плит. Наиболее распространенной является теория Кирхгофа-Лява. и Уфлянд-Миндлин. Последняя теория подробно обсуждается Элишаковым . Решения основных уравнений, предсказанных этими теориями, могут дать нам представление о поведении пластинчатых объектов как в свободных , так и в вынужденных условиях. Это включает в себяраспространение волн и исследование стоячих волн и режимов колебаний в пластинах. Тема колебаний пластин рассмотрена в книгах Лейссы, Гонткевич, Рао, Соедель, Yu, Горман и Рао.

Тарелки Кирхгофа-Любви

Основная статья: Теория пластин Кирхгофа – Лява § Динамика пластин Кирхгофа – Лява

Основные уравнения динамики пластины Кирхгофа-Лява:

${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }\end{aligned}}$

где $u_{\alpha }$ – перемещения средней поверхности пластины в плоскости, $w$ - поперечное (внеплоскостное) смещение средней поверхности пластины, $q$ — приложенная поперечная нагрузка, направленная на $x_{3}$ (вверх), а результирующие силы и моменты определяются как

$N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\quad {\text{and}}\quad M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\,.$

Обратите внимание, что толщина пластины $2h$ и что результаты определяются как средневзвешенные значения напряжений в плоскости. $\sigma _{\alpha \beta }$. Производные в основных уравнениях определяются как

${\dot {u}}_{i}:={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}:={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }:={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }:={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}$

где латинские индексы идут от 1 до 3, а греческие индексы — от 1 до 2. Подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. $x_{3}$ координаты находятся вне плоскости, а координаты $x_{1}$ и $x_{2}$ находятся в плоскости.Для пластины одинаковой толщины толщиной $2h$ и однородная массовая плотность $\rho$

$J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2\rho h\quad {\text{and}}\quad J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}\rho h^{3}\,.$

Изотропные пластины Кирхгофа – Лява.

Основная статья: Теория пластин Кирхгофа – Лява § Изотропные пластины

Для изотропной и однородной пластины соотношения напряжение-деформация имеют вид

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.$

где $\varepsilon _{\alpha \beta }$ являются плоскостными деформациями и $\nu$ – коэффициент Пуассона материала. Соотношения деформации-перемещениядля пластин Кирхгофа-Лява

$\varepsilon _{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })-x_{3}\,w_{,\alpha \beta }\,.$

Следовательно, результирующие моменты, соответствующие этим напряжениям, равны

${\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}\\w_{,22}\\w_{,12}\end{bmatrix}}$

Если пренебречь перемещениями в плоскости $u_{\alpha \beta }$, основные уравнения сводятся к

$D\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=q(x,t)-2\rho h{\ddot {w}}\,$

где $D$ – изгибная жесткость пластины. Для пластины одинаковой толщины $2h$,

$D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.$

Приведенное выше уравнение также можно записать в альтернативной записи:

$\mu \Delta \Delta w-{\hat {q}}+\rho w_{tt}=0\,.$

В механике твердого тела пластину часто моделируют как двумерное упругое тело, потенциальная энергия которого зависит от того, как она изгибается из плоской конфигурации, а не от того, как она растягивается (что происходит в случае мембраны, такой как барабанный барабан). ). В таких ситуациях вибрирующую пластину можно смоделировать аналогично вибрационному барабану . Однако полученное уравнение в частных производных для вертикального смещения w пластины из ее положения равновесия имеет четвертый порядок, включающий квадрат лапласиана w , а не второй порядок, и его качественное поведение фундаментально отличается от поведения круглой мембраны. барабан.

Свободные колебания изотропных пластин.

Для свободных колебаний внешняя сила q равна нулю, и основное уравнение изотропной пластины сводится к

$D\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-2\rho h{\ddot {w}}$

или

$\mu \Delta \Delta w+\rho w_{tt}=0\,.$

Это соотношение можно получить альтернативным способом, учитывая кривизну пластины. Плотность потенциальной энергии пластины зависит от того, как пластина деформируется, и, следовательно, от средней кривизны и гауссовой кривизны пластины. Для малых деформаций средняя кривизна выражается через w , вертикальное смещение пластины от кинетического равновесия, как Δ w , лапласиан w , а гауссова кривизна представляет собой оператор Монжа – Ампера w _xx w _yy − w ²
_ху . Таким образом, полная потенциальная энергия пластины Ω имеет вид

$U=\int _{\Omega }[(\Delta w)^{2}+(1-\mu )(w_{xx}w_{yy}-w_{xy}^{2})]\,dx\,dy$

кроме общей несущественной константы нормализации. Здесь μ — константа, зависящая от свойств материала.

Кинетическая энергия задается интегралом вида

$T={\frac {\rho }{2}}\int _{\Omega }w_{t}^{2}\,dx\,dy.$

Принцип Гамильтона утверждает, что является стационарной точкой относительно изменений полной энергии T + U. w Полученное уравнение в частных производных имеет вид

$\rho w_{tt}+\mu \Delta \Delta w=0.\,$

Круглые тарелки

Для свободно вибрирующих круглых пластин: $w=w(r,t)$, а лапласиан в цилиндрических координатах имеет вид

$\nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)\,.$

Следовательно, основное уравнение свободных колебаний круглой пластины толщиной $2h$ является

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left[r{\frac {\partial }{\partial r}}\left\{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)\right\}\right]=-{\frac {2\rho h}{D}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,.$

Расширенный,

${\frac {\partial ^{4}w}{\partial r^{4}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial ^{3}w}{\partial r^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {\partial w}{\partial r}}=-{\frac {2\rho h}{D}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,.$

Для решения этого уравнения воспользуемся идеей разделения переменных и примем решение вида

$w(r,t)=W(r)F(t)\,.$

Подстановка этого предполагаемого решения в основное уравнение дает нам

${\frac {1}{\beta W}}\left[{\frac {d^{4}W}{dr^{4}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d^{3}W}{dr^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}W}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {dW}{dr}}\right]=-{\frac {1}{F}}{\cfrac {d^{2}F}{dt^{2}}}=\omega ^{2}$

где $\omega ^{2}$ является константой и $\beta :=2\rho h/D$. Решение правого уравнения есть

$F(t)={\text{Re}}[Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t}]\,.$

Левое уравнение можно записать как

${\frac {d^{4}W}{dr^{4}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d^{3}W}{dr^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}W}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}{\cfrac {dW}{dr}}=\lambda ^{4}W$

где $\lambda ^{4}:=\beta \omega ^{2}$. Общее решение этой проблемы собственных значений , котороеподходящий для тарелок имеет вид

$W(r)=C_{1}J_{0}(\lambda r)+C_{2}I_{0}(\lambda r)$

где $J_{0}$ порядка 0 – функция Бесселя первого рода и $I_{0}$ порядка 0 — модифицированная функция Бесселя первого рода . Константы $C_{1}$ и $C_{2}$ определяются из граничных условий. Для пластины радиуса $a$ с зажатой окружностью граничные условия таковы:

$W(r)=0\quad {\text{and}}\quad {\cfrac {dW}{dr}}=0\quad {\text{at}}\quad r=a\,.$

Из этих граничных условий находим, что

$J_{0}(\lambda a)I_{1}(\lambda a)+I_{0}(\lambda a)J_{1}(\lambda a)=0\,.$

Мы можем решить это уравнение для $\lambda _{n}$ (а корней бесконечное количество) и отсюда найдите модальные частоты $\omega _{n}=\lambda _{n}^{2}/{\sqrt {\beta }}$. Мы также можем выразить перемещение в виде

$w(r,t)=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}\left[J_{0}(\lambda _{n}r)-{\frac {J_{0}(\lambda _{n}a)}{I_{0}(\lambda _{n}a)}}I_{0}(\lambda _{n}r)\right][A_{n}e^{i\omega _{n}t}+B_{n}e^{-i\omega _{n}t}]\,.$

Для заданной частоты $\omega _{n}$ первый член суммы в приведенном выше уравнении дает форму моды. Мы можем найти значениеиз $C_{n}$ используя соответствующее граничное условие при $r=0$ и коэффициенты $A_{n}$ и $B_{n}$ из начальных условий, воспользовавшись ортогональностью компонент Фурье.

• 
  режим n = 1
• 
  режим n = 2

Прямоугольные пластины

Режим вибрации прямоугольной пластины.

Рассмотрим прямоугольную пластину, размеры которой $a\times b$ в $(x_{1},x_{2})$-плоскость и толщина $2h$ в $x_{3}$-направление. Мы стремимся найти формы свободных колебаний пластины.

Предположим, что поле смещений имеет вид

$w(x_{1},x_{2},t)=W(x_{1},x_{2})F(t)\,.$

Затем,

$\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222}=\left[{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{2}^{4}}}\right]F(t)$

и

${\ddot {w}}=W(x_{1},x_{2}){\frac {d^{2}F}{dt^{2}}}\,.$

Подстановка их в основное уравнение дает

${\frac {D}{2\rho hW}}\left[{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{2}^{4}}}\right]=-{\frac {1}{F}}{\frac {d^{2}F}{dt^{2}}}=\omega ^{2}$

где $\omega ^{2}$ является константой, поскольку левая часть не зависит от $t$ а правая часть не зависит от $x_{1},x_{2}$. Тогда с правой стороны мы имеем

$F(t)=Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t}\,.$

С левой стороны,

${\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{2}^{4}}}={\frac {2\rho h\omega ^{2}}{D}}W=:\lambda ^{4}W$

где

$\lambda ^{2}=\omega {\sqrt {\frac {2\rho h}{D}}}\,.$

Поскольку приведенное выше уравнение представляет собой бигармоническую проблему собственных значений, мы ищем разложение Фурьерешения вида

$W_{mn}(x_{1},x_{2})=\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}\,.$

Мы можем проверить и увидеть, что это решение удовлетворяет граничным условиям для свободно колеблющегосяпрямоугольная пластина со свободно опертыми краями:

${\begin{aligned}w(x_{1},x_{2},t)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{1}=0,a\quad {\text{and}}\quad x_{2}=0,b\\M_{11}=D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{1}=0,a\\M_{22}=D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{2}=0,b\,.\end{aligned}}$

Подстановка решения в бигармоническое уравнение дает нам

$\lambda ^{2}=\pi ^{2}\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)\,.$

Сравнение с предыдущим выражением для $\lambda ^{2}$ указывает на то, что мы можем иметь бесконечноеколичество решений с

$\omega _{mn}=\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right){\sqrt {\frac {D\pi ^{4}}{2\rho h}}}\,.$

Поэтому общее решение уравнения пластины имеет вид

$w(x_{1},x_{2},t)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}\left(A_{mn}e^{i\omega _{mn}t}+B_{mn}e^{-i\omega _{mn}t}\right)\,.$

Чтобы найти значения $A_{mn}$ и $B_{mn}$ мы используем начальные условия и ортогональность компонент Фурье. Например, если

$w(x_{1},x_{2},0)=\varphi (x_{1},x_{2})\quad {\text{on}}\quad x_{1}\in [0,a]\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial w}{\partial t}}(x_{1},x_{2},0)=\psi (x_{1},x_{2})\quad {\text{on}}\quad x_{2}\in [0,b]$

мы получаем,

${\begin{aligned}A_{mn}&={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}\varphi (x_{1},x_{2})\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}dx_{1}dx_{2}\\B_{mn}&={\frac {4}{ab\omega _{mn}}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}\psi (x_{1},x_{2})\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}dx_{1}dx_{2}\,.\end{aligned}}$

См. также

• Гибка
• Гибка пластин
• Крутые фигурки
• Теория бесконечно малых деформаций
• Теория пластин Кирхгофа – Любви
• Линейная эластичность
• Теория пластин Миндлина – Рейсснера
• Теория пластин
• Стресс (механика)
• Результирующий стресс
• Структурная акустика