Сокращение порядка

Понижение порядка (или редукция Даламбера ) — метод в математике решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка . Он применяется, когда одно решение $y_{1}(x)$ известно и второе линейно независимое решение $y_{2}(x)$ желательно. Метод также применим к уравнениям n -го порядка. В этом случае анзац даст уравнение ( n −1)-го порядка для $v$.

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка

Пример

Рассмотрим общее однородное обыкновенное дифференциальное уравнение с линейным коэффициентом второго порядка. (ОДА) $$ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0,$$где $a,b,c$ являются действительными ненулевыми коэффициентами. Два линейно независимых решения этого ОДУ могут быть непосредственно найдены с помощью характеристических уравнений, за исключением случая когда дискриминант , $b^{2}-4ac$, исчезает. В этом случае, $$ay''(x)+by'(x)+{\frac {b^{2}}{4a}}y(x)=0,$$из которого только одно решение, $$y_{1}(x)=e^{-{\frac {b}{2a}}x},$$можно найти с помощью характеристического уравнения.

Метод понижения порядка используется для получения второго линейно независимого решения этого дифференциального уравнения с использованием нашего единственного известного решения. Чтобы найти второе решение, мы принимаем за предположение $$y_{2}(x)=v(x)y_{1}(x)$$где $v(x)$ — неизвестная функция, которую необходимо определить. С $y_{2}(x)$ должно удовлетворять исходному ОДУ, мы подставляем его обратно, чтобы получить $$a\left(v''y_{1}+2v'y_{1}'+vy_{1}''\right)+b\left(v'y_{1}+vy_{1}'\right)+{\frac {b^{2}}{4a}}vy_{1}=0.$$Переписывая это уравнение через производные $v(x)$ мы получаем $$\left(ay_{1}\right)v''+\left(2ay_{1}'+by_{1}\right)v'+\left(ay_{1}''+by_{1}'+{\frac {b^{2}}{4a}}y_{1}\right)v=0.$$

Поскольку мы знаем, что $y_{1}(x)$ является решением исходной задачи, коэффициент при последнем слагаемом равен нулю. Кроме того, замена $y_{1}(x)$ в коэффициент доходности второго члена (для этого коэффициента) $$2a\left(-{\frac {b}{2a}}e^{-{\frac {b}{2a}}x}\right)+be^{-{\frac {b}{2a}}x}=\left(-b+b\right)e^{-{\frac {b}{2a}}x}=0.$$

Поэтому нам остается $$ay_{1}v''=0.$$

С $a$ предполагается ненулевым и $y_{1}(x)$ является показательной функцией (и, следовательно, всегда ненулевой), мы имеем $$v''=0.$$

Это можно проинтегрировать дважды, чтобы получить $$v(x)=c_{1}x+c_{2}$$где $c_{1},c_{2}$ являются константами интегрирования. Теперь мы можем записать наше второе решение как $$y_{2}(x)=(c_{1}x+c_{2})y_{1}(x)=c_{1}xy_{1}(x)+c_{2}y_{1}(x).$$

Со второго срока в $y_{2}(x)$ является скалярным кратным первого решения (и, следовательно, линейно зависимым), мы можем отбросить этот член, получив окончательное решение $$y_{2}(x)=xy_{1}(x)=xe^{-{\frac {b}{2a}}x}.$$

Наконец, мы можем доказать, что второе решение $y_{2}(x)$ найденное этим методом, линейно не зависит от первого решения путем вычисления вронскиана $$W(y_{1},y_{2})(x)={\begin{vmatrix}y_{1}&xy_{1}\\y_{1}'&y_{1}+xy_{1}'\end{vmatrix}}=y_{1}(y_{1}+xy_{1}')-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}+xy_{1}y_{1}'-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}=e^{-{\frac {b}{a}}x}\neq 0.$$

Таким образом $y_{2}(x)$ — второе линейно независимое решение, которое мы искали.

Общий метод

Учитывая общее неоднородное линейное дифференциальное уравнение $$y''+p(t)y'+q(t)y=r(t)$$и единственное решение $y_{1}(t)$ однородного уравнения [ $r(t)=0$], попробуем решение полного неоднородного уравнения в виде: $$y_{2}=v(t)y_{1}(t)$$где $v(t)$ является произвольной функцией. Таким образом $$y_{2}'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y_{1}'(t)$$и $$y_{2}''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y_{1}'(t)+v(t)y_{1}''(t).$$

Если они заменены на $y$, $y'$, и $y''$ в дифференциальном уравнении, то $$y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'+(y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t))\,v=r(t).$$

С $y_{1}(t)$ является решением исходного однородного дифференциального уравнения, $y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t)=0$, поэтому мы можем сократить до $$y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'=r(t)$$которое представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка для $v'(t)$ (уменьшение порядка). Разделить на $y_{1}(t)$, получение $$v''+\left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,v'={\frac {r(t)}{y_{1}(t)}}.$$

Один интегрирующий коэффициент определяется выражением $\mu (t)=e^{\int ({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t))dt}$, и потому что

$\int \left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,dt=2\int {\frac {y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}\,dt+\int p(t)\,dt=2\ln(y_{1}(t))+\int p(t)\,dt=\ln(y_{1}^{2}(t))+\int p(t)\,dt,$

этот интегрирующий фактор можно более четко выразить как $\mu (t)=e^{\ln(y_{1}^{2}(t))+\int p(t)\,dt}=y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)dt}.$ Умножение дифференциального уравнения на интегрирующий коэффициент $\mu (t)$, уравнение для $v(t)$ можно свести к $${\frac {d}{dt}}\left(v'(t)y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)dt}\right)=y_{1}(t)r(t)e^{\int p(t)dt}.$$

После интегрирования последнего уравнения $v'(t)$ находится, содержащая одну константу интегрирования. Затем интегрируйте $v'(t)$ найти полное решение исходного неоднородного уравнения второго порядка, демонстрируя две константы интегрирования, как и должно быть: $$y_{2}(t)=v(t)y_{1}(t).$$

См. также

• Изменение параметров

Ссылки

• Бойс, Уильям Э.; ДиПрима, Ричард К. (2005). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (8-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. Хобокен, Нью-Джерси: ISBN  978-0-471-43338-5 .
• Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-8328-0 .
• Эрик В. Вайсштейн, Второе решение обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка , Из MathWorld — веб-ресурс Wolfram.