Метод аннигилятора

В математике — метод аннулятора это процедура, используемая для поиска конкретного решения определенных типов неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Он похож на метод неопределенных коэффициентов , но вместо угадывания конкретного решения в методе неопределенных коэффициентов в этом методе конкретное решение определяется систематически. Фраза «неопределенные коэффициенты» также может использоваться для обозначения этапа метода аннигилятора, на котором вычисляются коэффициенты.

Аннигиляторный метод используется следующим образом. Учитывая ОДУ $P(D)y=f(x)$, найдите другой дифференциальный оператор $A(D)$ такой, что $A(D)f(x)=0$. Этот оператор называется аннигилятором , отсюда и название метода. Применение $A(D)$ к обеим сторонам ОДУ дает однородное ОДУ ${\big (}A(D)P(D){\big )}y=0$ для которого находим базис решения $\{y_{1},\ldots ,y_{n}\}$ как раньше. Затем исходное неоднородное ОДУ используется для построения системы уравнений, ограничивающих коэффициенты линейной комбинации для удовлетворения ОДУ.

Этот метод не столь общий, как вариация параметров, в том смысле, что аннулятор не всегда существует.

Стол Аннигилятора

е ( х )	А ( Д )
$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\!$	$D^{n+1}\!$
$e^{kx}\!$	$D-k\!$
$x^{n}.e^{kx}\!$	$(D-k)^{n+1}\!$
$\cos(bx)\;\;\mathrm {or} \;\;\sin(bx)\!$	$D^{2}+b^{2}\!$
$x^{n}\cos(bx)\;\;\mathrm {or} \;\;x^{n}\sin(bx)\!$	$(D^{2}+b^{2})^{n+1}\!$
$e^{ax}\cos(bx)\;\;\mathrm {or} \;\;e^{ax}\sin(bx)\!$	$(D-a)^{2}+b^{2}=D^{2}-2aD+a^{2}+b^{2}\!$
$x^{n}e^{ax}\cos(bx)\;\;\mathrm {or} \;\;x^{n}e^{ax}\sin(bx)\!$	$\left[(D-a)^{2}+b^{2}\right]^{n+1}=\left[D^{2}-2aD+a^{2}+b^{2}\right]^{n+1}\!$
$a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}+b_{1}e^{\pm c_{1}x}+\cdots +b_{k}e^{\mp c_{k}x}\!$	$D^{n+1}(D\mp c_{1}).\cdots .(D\pm c_{k})\!$

Где $n$ находится в натуральных числах , а $k,b,a,c_{1},\cdots ,c_{k}$ находятся в реальных цифрах .

Если $f(x)$ состоит из суммы выражений, приведенных в таблице, аннулятор — произведение соответствующих аннигиляторов.

Пример

Данный $y''-4y'+5y=\sin(kx)$, $P(D)=D^{2}-4D+5$.Самый простой аннигилятор $\sin(kx)$ является $A(D)=D^{2}+k^{2}$. Нули $A(z)P(z)$ являются $\{2+i,2-i,ik,-ik\}$, поэтому основа решения $A(D)P(D)$ является $\{y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}\}=\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x},e^{ikx},e^{-ikx}\}.$

Параметр $y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+c_{3}y_{3}+c_{4}y_{4}$ мы находим

${\begin{aligned}\sin(kx)&=P(D)y\\[8pt]&=P(D)(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+c_{3}y_{3}+c_{4}y_{4})\\[8pt]&=c_{1}P(D)y_{1}+c_{2}P(D)y_{2}+c_{3}P(D)y_{3}+c_{4}P(D)y_{4}\\[8pt]&=0+0+c_{3}(-k^{2}-4ik+5)y_{3}+c_{4}(-k^{2}+4ik+5)y_{4}\\[8pt]&=c_{3}(-k^{2}-4ik+5)(\cos(kx)+i\sin(kx))+c_{4}(-k^{2}+4ik+5)(\cos(kx)-i\sin(kx))\end{aligned}}$

давая системе

$i=(k^{2}+4ik-5)c_{3}+(-k^{2}+4ik+5)c_{4}$

$0=(k^{2}+4ik-5)c_{3}+(k^{2}-4ik-5)c_{4}$

который имеет решения

$c_{3}={\frac {i}{2(k^{2}+4ik-5)}}$, $c_{4}={\frac {i}{2(-k^{2}+4ik+5)}}$

давая набор решений

${\begin{aligned}y&=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+{\frac {i}{2(k^{2}+4ik-5)}}y_{3}+{\frac {i}{2(-k^{2}+4ik+5)}}y_{4}\\[8pt]&=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+{\frac {4k\cos(kx)-(k^{2}-5)\sin(kx)}{(k^{2}+4ik-5)(k^{2}-4ik-5)}}\\[8pt]&=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+{\frac {4k\cos(kx)+(5-k^{2})\sin(kx)}{k^{4}+6k^{2}+25}}.\end{aligned}}$

Это решение можно разбить на однородную и неоднородную части. В частности, $y_{p}={\frac {4k\cos(kx)+(5-k^{2})\sin(kx)}{k^{4}+6k^{2}+25}}$ — частный интеграл неоднородного дифференциального уравнения, а $y_{c}=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$ является дополнительным решением соответствующего однородного уравнения. Значения $c_{1}$ и $c_{2}$ обычно определяются через набор начальных условий. Поскольку это уравнение второго порядка, для определения этих значений необходимы два таких условия.

Фундаментальные решения $y_{1}=e^{(2+i)x}$ и $y_{2}=e^{(2-i)x}$ можно переписать, используя формулу Эйлера :

$e^{(2+i)x}=e^{2x}e^{ix}=e^{2x}(\cos x+i\sin x)$

$e^{(2-i)x}=e^{2x}e^{-ix}=e^{2x}(\cos x-i\sin x)$

Затем $c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}=c_{1}e^{2x}(\cos x+i\sin x)+c_{2}e^{2x}(\cos x-i\sin x)=(c_{1}+c_{2})e^{2x}\cos x+i(c_{1}-c_{2})e^{2x}\sin x$, а подходящее переназначение констант дает более простую и понятную форму дополнительного решения: $y_{c}=e^{2x}(c_{1}\cos x+c_{2}\sin x)$.