Сепарабельный полином

В математике многочлен , P ( X над данным полем K является сепарабельным если его корни различны ) в алгебраическом замыкании K , то есть количество различных корней равно степени многочлена .

Это понятие тесно связано с полиномом без квадратов . Если K — совершенное поле , то эти два понятия совпадают. В общем, P ( X ) отделим тогда и только тогда, когда он свободен от квадратов над любым полем, содержащим K ,которое выполняется тогда и только тогда, когда P ( X ) взаимно просто со своей формальной производной D   P ( X ).

Старое определение

В более старом определении P ( X ) считался сепарабельным, если каждый из его неприводимых факторов в K [ X ] является сепарабельным в современном определении. В этом определении сепарабельность зависела от поля К ; например, любой многочлен над идеальным полем считался бы сепарабельным. Это определение, хотя и может быть удобным для теории Галуа , больше не используется.

Отделимые расширения полей

Разделимые многочлены используются для определения разделимых расширений : расширение поля K ⊂ L является сепарабельным расширением тогда и только тогда, когда для каждого α в L , который является алгебраическим над K , минимальный многочлен от α над K является сепарабельным многочленом.

Несепарабельные расширения (т. е. несепарабельные расширения) могут встречаться только в положительной характеристике .

Приведенный выше критерий приводит к быстрому выводу, что если ( X )   P неприводим и не отделим, то DP = 0 .Таким образом, мы должны иметь

п ( Икс ) = Q ( Икс ^п )

для некоторого многочлена Q над K , где простое число p является характеристикой.

Используя эту подсказку, мы можем построить пример:

п ( Икс ) = Икс ^п − Т

где K — поле рациональных функций в неопределенном T над конечным полем с p элементами. Здесь можно доказать непосредственно , что P ( X ) неприводимо и не сепарабельно. На самом деле это типичный пример того, почему нераздельность имеет значение; в геометрических терминах P представляет собой отображение проективной прямой над конечным полем, переводя координаты в p -ю степень. Такие отображения являются фундаментальными для алгебраической геометрии конечных полей. Другими словами, в этой ситуации существуют покрытия, которые не могут быть «увидены» теорией Галуа. (См. Радикальный морфизм для обсуждения более высокого уровня.)

Если L — расширение поля

К ( Т ^{1/ п} ),

другими словами, расщепления P поле , то L / K является примером чисто неразделимого расширения поля . Он имеет степень p , но не имеет автоморфизма, фиксирующего K , кроме тождества, поскольку T ^{1/ п} является единственным корнем P . Это прямо показывает, что здесь теория Галуа должна потерпеть крах. Поле, в котором нет таких расширений, называется совершенным . То, что конечные поля совершенны, апостериорно следует из их известной структуры.

Можно показать, что тензорное произведение полей на самого L себя над K для этого примера имеет нильпотентные элементы, которые не равны нулю. Это еще одно проявление неразделимости: то есть операция тензорного произведения над полями не обязательно должна создавать кольцо , являющееся произведением полей (то есть не коммутативное полупростое кольцо ).

Если P ( x ) сепарабельно, и его корни образуют группу ( подгруппу поля K ), то P ( x ) является аддитивным полиномом .

Приложения в теории Галуа

Разделимые полиномы часто встречаются в теории Галуа .

Например, пусть P — неприводимый многочлен с целыми коэффициентами , а p простое число, которое не делит старший коэффициент P. — Пусть Q — многочлен над конечным полем с p элементами, который получается уменьшением по модулю p коэффициентов P . Тогда, если Q сепарабельно (что верно для любого p, кроме конечного числа), то степени неприводимых множителей Q длинами циклов некоторой перестановки группы Галуа P являются .

Другой пример: P , как указано выше, резольвента R для группы G представляет собой полином, коэффициенты которого являются полиномами от коэффициентов P , что дает некоторую информацию о группе Галуа P . Точнее, если R сепарабельно и имеет рациональный корень, то группа Галуа P содержится в G . Например, если D является дискриминантом P , то $X^{2}-D$ является резольвентой знакопеременной группы . Эта резольвента всегда отделима (при условии, что характеристика не равна 2), если P неприводим, но большинство резольвент не всегда отделимы.

См. также

• Эндоморфизм Фробениуса