Замыкание (математика)

В математике подмножество данного набора закрывается с большим набором , при операции если выполнение этой операции над членами подмножества всегда создает член этого подмножества. Например, натуральные числа замкнуты при сложении, но не при вычитании: 1 - 2 не является натуральным числом, хотя и 1, и 2 являются таковыми.

Аналогично, подмножество называется закрытым для набора операций, если оно закрыто для каждой из операций в отдельности.

Закрытие применения подмножества является результатом оператора замыкания к подмножеству . Замыкание . подмножества при некоторых операциях — это наименьшее надмножество, закрывающееся при этих операциях Его часто называют промежутком (например , линейным пролетом ) или сгенерированным набором .

Определения

Пусть $S$ — множество, одним или несколькими методами создания элементов $S$ из других элементов $S.$ оснащенное ^{[примечание 1]}Подмножество $X$ из $S$ называется замкнутым этих методов, если, когда все входные элементы находятся в $X$ , то все возможные результаты также находятся в $X.$ при использовании Иногда можно также сказать, что $X$ имеет закрытие свойство .

Основное свойство замкнутых множеств, вытекающее непосредственно из определения, состоит в том, что каждое пересечение замкнутых множеств является замкнутым множеством. Отсюда следует, что для каждого подмножества $Y$ из $S$ существует наименьшее замкнутое подмножество $X$ из $S$ такое, что $Y\subseteq X$ (это пересечение всех замкнутых подмножеств, содержащих $Y$ ). В зависимости от контекста $X$ называется замыканием Y $,$ множества порожденного или охватываемого Y $или$ .

Понятия замкнутых множеств и замыкания часто распространяются на любые свойства подмножеств, устойчивые при пересечении; то есть каждое пересечение подмножеств, имеющих это свойство, также имеет это свойство. Например, в $\mathbb {C} ^{n},$ множество Замкнутое по Зарисскому , , также известное как алгебраическое множество — это множество общих нулей семейства многочленов, а замыкание Зариского множества $V$ точек — это наименьшее алгебраическое множество, $V.$ содержащее

В алгебраических структурах

Алгебраическая структура — это набор операций , удовлетворяющих некоторым аксиомам . Эти аксиомы могут быть тождествами . Некоторые аксиомы могут содержать кванторы существования. $\exists ;$ в этом случае стоит добавить некоторые вспомогательные операции, чтобы все аксиомы стали тождествами или чисто универсально кванторными формулами. см . в разделе «Алгебраическая структура» Подробности .

В этом контексте, учитывая алгебраическую структуру $—$ это подмножество , $S, подструктура S$ которое замкнуто относительно всех операций $S$ , включая вспомогательные операции, которые необходимы для того, чтобы избежать кванторов существования. Подструктура — это алгебраическая структура того же типа, что $S.$ и Отсюда следует, что на конкретном примере, когда близость доказана, нет необходимости проверять аксиомы доказательства того, что подструктура является структурой одного типа.

Учитывая подмножество $X$ алгебраической структуры $S$ , замыкание $X$ является наименьшей подструктурой $S$ которая замкнута относительно всех операций $S.$ , В контексте алгебраических структур это замыкание обычно называется подструктурой, , и говорят , $порожденной или натянутой X$ что $X$ является порождающим набором подструктуры.

Например, группа — это набор с ассоциативной операцией , часто называемой умножением , с единичным элементом , так что каждый элемент имеет обратный элемент . Здесь вспомогательными операциями являются нулевая операция, приводящая к единичному элементу, и унарная операция инверсии. Подмножество группы, замкнутое относительно умножения и инверсии, также замкнуто относительно нулевой операции (т. е. содержит единицу) тогда и только тогда, когда оно непусто. Итак, непустое подмножество группы, замкнутое относительно умножения и обращения, — это группа, называемая подгруппой . Подгруппа, порожденная одним элементом, то есть замыканием этого элемента, называется циклической группой .

В линейной алгебре замыкание непустого подмножества векторного пространства (при операциях в векторном пространстве, то есть сложении и скалярном умножении) является линейной оболочкой этого подмножества. Согласно предыдущему общему результату, это векторное пространство, и можно легко доказать, что оно представляет собой множество линейных комбинаций элементов подмножества.

Подобные примеры можно привести почти для всех алгебраических структур, иногда с использованием некоторой специфической терминологии. Например, в коммутативном кольце замыкание одного элемента при идеальных операциях называется главным идеалом .

Бинарные отношения

Бинарное отношение на множестве $A$ можно определить как подмножество $R$ множества. $A\times A,$ множество упорядоченных пар элементов $A$ . Обозначения $xRy$ обычно используется для $(x,y)\in R.$ Многие свойства или операции над отношениями могут использоваться для определения замыканий. Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных:

Рефлексивность: Отношение $R$ на множестве $A$ рефлексивно , если $(x,x)\in R$ для каждого $x\in A.$ Поскольку каждое пересечение рефлексивных отношений рефлексивно, это определяет замыкание. Таким образом, рефлексивное замыкание отношения $R$ есть $R\cup \{(x,x)\mid x\in A\}.$
Симметрия: Симметрия – это унарная операция над $A\times A$ это отображает $(x,y)$ к $(y,x).$ Отношение называется симметричным, если оно замкнуто относительно этой операции, а симметричным замыканием отношения $R$ является его замыкание относительно этого отношения.
Транзитивность: Транзитивность определяется частичной бинарной операцией над $A\times A$ это отображает $(x,y)$ и $(y,z)$ к $(x,z).$ Отношение является транзитивным, если оно замкнуто при этой операции, а транзитивным замыканием отношения является его закрытие при этой операции.

Предварительный порядок — это отношение, которое является рефлексивным и транзитивным. Отсюда следует, что рефлексивное транзитивное замыкание отношения — это наименьший предпорядок, содержащий его. Аналогично, рефлексивное транзитивное симметричное замыкание или замыкание эквивалентности отношения — это наименьшее отношение эквивалентности , которое его содержит.

Другие примеры

В теории матроидов замыкание X — это самое большое надмножество X , имеющее тот же ранг, что X. и
Транзитивное замыкание множества . ^[1]
Алгебраическое замыкание поля . ^[2]
Целое замыкание области целостности в поле . содержащем ее
Радикал идеала в коммутативном кольце .
В геометрии выпуклая оболочка множества S точек — это наименьшее выпуклое множество которого S. является подмножеством , ^[3]
В формальных языках языка замыкание Клини можно описать как набор строк, которые можно создать путем объединения нуля или более строк из этого языка.
В теории групп сопряженное замыкание или нормальное замыкание набора элементов группы — это наименьшая нормальная подгруппа, содержащая этот набор.
В математическом анализе и теории вероятностей замыкание набора подмножеств X при счетном числе операций над множествами называется σ-алгеброй , порожденной набором.

Оператор закрытия

В предыдущих разделах замыкания рассматривались для подмножеств данного множества. Подмножества множества образуют частично упорядоченное множество (poset) для включения . Операторы замыкания позволяют обобщить концепцию замыкания на любое частично упорядоченное множество.

Для данного частичного порядка $S$ , частичный порядок которого обозначается знаком $\leq$ , оператор замыкания на $S$ является функцией $C:S\to S$ то есть

увеличивается ( $x\leq C(x)$ для всех $x\in S$ ),
идемпотент ( $C(C(x))=C(x)$ ), и
монотонный ( $x\leq y\implies C(x)\leq C(y)$ ). ^[4]

Эквивалентно, функция из $S$ в $S$ является оператором замыкания, если $x\leq C(y)\iff C(x)\leq C(y)$ для всех $x,y\in S.$

Элемент $S$ замкнут , если он является замыканием самого себя, то есть если $x=C(x).$ По идемпотентности элемент замкнут тогда и только тогда, когда он является замыканием некоторого элемента $S$ .

Примером может служить оператор топологического замыкания ; в характеристике Куратовского аксиомы К2, К3, К4' соответствуют указанным выше определяющим свойствам. Примером, не работающим с подмножествами, является функция потолка , которая отображает каждое действительное число $x$ в наименьшее целое число, не меньшее $x$ .

Оператор замыкания против закрытых множеств

Замыкание подмножеств данного множества может быть определено либо оператором замыкания, либо набором замкнутых множеств, устойчивым при пересечении и включающим данное множество. Эти два определения эквивалентны.

Действительно, из определяющих свойств оператора замыкания $C$ следует, что пересечение замкнутых множеств замкнуто: если ${\textstyle X=\bigcap X_{i}}$ является пересечением замкнутых множеств, то $C(X)$ должен содержать $X$ и содержаться в каждом $X_{i}.$ Это подразумевает $C(X)=X$ по определению перекрестка.

И наоборот, если заданы замкнутые множества и каждое пересечение замкнутых множеств замкнуто, то можно определить оператор замыкания $C$ такой, что $C(X)$ является пересечением замкнутых множеств, содержащих $X$ .

Эта эквивалентность остается верной для частично упорядоченных множеств со свойством наибольшей нижней границы , если заменить «замкнутые множества» на «замкнутые элементы», а «пересечение» на «наибольшую нижнюю границу».

Примечания

^ Операции и ( частичные ) многомерные функции являются примерами таких методов. Если $S$ — топологическое пространство , предел последовательности элементов $S$ является примером, когда входных элементов бесконечное количество, а результат не всегда определен. Если $S$ — поле, в корни S $многочлена$ с S коэффициентами из $—$ еще один пример, когда результат может быть неуникален.

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. «Транзитивное замыкание» . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 июля 2020 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Алгебраическое замыкание» . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 июля 2020 г.
^ Бернштейн, Деннис С. (2005). Матричная математика: теория, факты и формулы в приложении к теории линейных систем . Издательство Принстонского университета. п. 25. ISBN 978-0-691-11802-4 . ...выпуклая оболочка S, обозначаемая coS, представляет собой наименьшее выпуклое множество, содержащее S.
^ Биркгоф, Гаррет (1967). Теория решетки . Публикации коллоквиума. Том. 25. Ам. Математика. Соц. п. 111. ИСБН 9780821889534 .

Вайсштейн, Эрик В. «Алгебраическое замыкание» . Математический мир .

[1] Операции и ( частичные ) многомерные функции являются примерами таких методов. Если $S$ — топологическое пространство , предел последовательности элементов $S$ является примером, когда входных элементов бесконечное количество, а результат не всегда определен. Если $S$ — поле, в корни S $многочлена$ с S коэффициентами из $—$ еще один пример, когда результат может быть неуникален.

[:0-2] Вайсштейн, Эрик В. «Транзитивное замыкание» . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 июля 2020 г.

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Алгебраическое замыкание» . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 июля 2020 г.

[4] Бернштейн, Деннис С. (2005). Матричная математика: теория, факты и формулы в приложении к теории линейных систем . Издательство Принстонского университета. п. 25. ISBN 978-0-691-11802-4 . ...выпуклая оболочка S, обозначаемая coS, представляет собой наименьшее выпуклое множество, содержащее S.

[5] Биркгоф, Гаррет (1967). Теория решетки . Публикации коллоквиума. Том. 25. Ам. Математика. Соц. п. 111. ИСБН 9780821889534 .

[примечание 1]

[1]

[2]

[3]

[4]