Теорема о сдвиге

В математике теорема (экспоненциального) сдвига — это теорема о полиномиальных дифференциальных операторах ( D -операторах) и экспоненциальных функциях . Это позволяет в некоторых случаях исключить экспоненту из-под D -операторов.

Заявление

Теорема утверждает, что если P ( D ) — многочлен от D -оператора, то для любой дифференцируемой функции y достаточно

$P(D)(e^{ax}y)\equiv e^{ax}P(D+a)y.$

Для доказательства результата действуем по индукции . Обратите внимание, что только частный случай

$P(D)=D^{n}$

требует доказательства, поскольку тогда общий результат следует из линейности -операторов D .

Результат, очевидно, верен для n = 1, поскольку

$D(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)y.$

Теперь предположим, что результат верен для n = k , то есть

$D^{k}(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)^{k}y.$

Затем,

${\begin{aligned}D^{k+1}(e^{ax}y)&\equiv {\frac {d}{dx}}\left\{e^{ax}\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}{\frac {d}{dx}}\left\{\left(D+a\right)^{k}y\right\}+ae^{ax}\left\{\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}\left\{\left({\frac {d}{dx}}+a\right)\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}(D+a)^{k+1}y.\end{aligned}}$

Это завершает доказательство.

Теорему о сдвиге можно одинаково хорошо применить и к обратным операторам:

${\frac {1}{P(D)}}(e^{ax}y)=e^{ax}{\frac {1}{P(D+a)}}y.$

Похожие

Существует аналогичный вариант теоремы о сдвиге для преобразований Лапласа ( $t<a$):

$e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t)\}={\mathcal {L}}\{f(t-a)\}.$

Примеры

Теорему экспоненциального сдвига можно использовать для ускорения вычисления высших производных функции, которая определяется произведением экспоненты и другой функции. Например, если $f(x)=\sin(x)e^{x}$, у одного это есть

$${\begin{aligned}D^{3}f&=D^{3}(e^{x}\sin(x))=e^{x}(D+1)^{3}\sin(x)\\&=e^{x}\left(D^{3}+3D^{2}+3D+1\right)\sin(x)\\&=e^{x}\left(-\cos(x)-3\sin(x)+3\cos(x)+\sin(x)\right)\end{aligned}}$$

Другое применение теоремы о экспоненциальном сдвиге — решение линейных дифференциальных уравнений которых , характеристический полином имеет повторяющиеся корни.

Ссылки

• Моррис, Тененбаум; Поллард, Гарри (1985). Обыкновенные дифференциальные уравнения: элементарный учебник для студентов, изучающих математику, инженерное дело и естественные науки . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  0486649407 . OCLC   12188701 .