Асимптотическое расширение

В математике асимптотическое расширение , асимптотический ряд или расширение Пуанкаре (по имени Анри Пуанкаре ) — это формальный ряд функций, который обладает тем свойством, что усечение ряда после конечного числа членов обеспечивает приближение к заданной функции в качестве аргумента функции. стремится к определенной, часто бесконечной, точке. Исследования Дингла (1973) показали, что расходящаяся часть асимптотического разложения имеет латентно значимый смысл, т. е. содержит информацию о точном значении расширенной функции.

Теория асимптотических рядов была создана Пуанкаре (и независимо Стилтьесом ) в 1886 году.

Наиболее распространенным типом асимптотического разложения является степенной ряд в положительных или отрицательных степенях. Методы создания таких разложений включают формулу суммирования Эйлера-Маклорена и интегральные преобразования, такие как преобразования Лапласа и Меллина . Повторное интегрирование по частям часто приводит к асимптотическому расширению.

Поскольку сходящийся ряд Тейлора также соответствует определению асимптотического расширения, фраза «асимптотический ряд» обычно подразумевает несходящийся ряд. Несмотря на несходимость, асимптотическое разложение полезно, если его усечь до конечного числа членов. Аппроксимация может дать преимущества, поскольку она более математически понятна, чем расширяемая функция, или за счет увеличения скорости вычисления расширенной функции. Обычно наилучшее приближение дается, когда ряд усекается до наименьшего члена. Этот способ оптимального усечения асимптотического разложения известен как суперасимптотика . Тогда ошибка обычно имеет вид ~ exp(− c /ε), где ε — параметр разложения. Таким образом, ошибка выходит за пределы всех порядков параметра расширения. Можно улучшить суперасимптотическую ошибку, например, используя методы возобновления, такие как пересуммирование Бореля к расходящемуся хвосту. Такие методы часто называют гиперасимптотическим приближением .

см. Асимптотический анализ и обозначение большого O. Обозначения, используемые в этой статье,

Формальное определение

Сначала мы определяем асимптотическую шкалу, а затем даем формальное определение асимптотического разложения.

Если $\ \varphi _{n}\$ является последовательностью непрерывных функций в некоторой области, и если $\ L\$ является предельной точкой области, то последовательность образует асимптотическую шкалу если для каждого n ,

$\varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\quad (x\to L)\ .$

( $\ L\$ можно принять равным бесконечности.) Другими словами, последовательность функций является асимптотической шкалой, если каждая функция в последовательности растет строго медленнее (в пределе $\ x\to L\$), чем предыдущая функция.

Если $\ f\$ — непрерывная функция в области асимптотического масштаба, то f имеет асимптотическое разложение порядка $\ N\$ по отношению к шкале как формальному ряду

$\sum _{n=0}^{N}a_{n}\varphi _{n}(x)$

если

$f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=O(\varphi _{N}(x))\quad (x\to L)$

или более слабое состояние

$f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=o(\varphi _{N-1}(x))\quad (x\to L)\$

удовлетворен. Здесь, $o$ это маленькое обозначение o . Если одно или другое справедливо для всех $\ N\$, тогда пишем

$f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\quad (x\to L)\ .$

В отличие от сходящегося ряда для $\ f\$, причем ряд сходится при любом фиксированном $\ x\$ в пределе $N\to \infty$, можно думать об асимптотическом ряде как о сходящемся при фиксированном $\ N\$ в пределе $\ x\to L\$ (с $\ L\$ возможно, бесконечен).

Примеры

Графики абсолютного значения дробной ошибки асимптотического разложения гамма-функции (слева). Горизонтальная ось — количество членов асимптотического разложения. Синие точки соответствуют x = 2 , а красные точки — x = 3 . Видно, что наименьшая ошибка возникает при наличии 14 членов для x = 2 и 20 членов для x = 3 , за пределами которых ошибка расходится.

• Гамма-функция ( приближение Стирлинга )
  $${\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )$$
• Экспоненциальный интеграл
  $$xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )$$
• Логарифмический интеграл
  $$\operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}$$
• Дзета-функция Римана
  $$\zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N}n^{-s}+{\frac {N^{1-s}}{s-1}}-{\frac {N^{-s}}{2}}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}$$
  где $B_{2m}$ являются числами Бернулли и $s^{\overline {2m-1}}$ является возрастающим факториалом . Это расширение справедливо для всех комплексных s и часто используется для вычисления дзета-функции с использованием достаточно большого значения N , например $N>|s|$.
• Функция ошибки
  $${\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )$$
  где (2 n − 1)!! это двойной факториал .

Рабочий пример

Асимптотические разложения часто возникают, когда обычный ряд используется в формальном выражении, которое вынуждает брать значения за пределами его области сходимости . Так, например, можно начать с обычного ряда

${\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}.$

Выражение слева справедливо на всей комплексной плоскости. $w\neq 1$, а правая часть сходится только при $|w|<1$. Умножение на $e^{-w/t}$ и интеграция обеих сторон дает

$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du,$

после замены $u=w/t$ с правой стороны. Интеграл в левой части, понимаемый как главное значение Коши , может быть выражен через экспоненциальный интеграл . Интеграл в правой части можно принять за гамма-функцию . Вычисляя оба, получаем асимптотическое разложение

$e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!t^{n+1}.$

Здесь правая часть явно не сходится ни при каком ненулевом значении t . Однако, усекая ряд справа до конечного числа членов, можно получить достаточно хорошее приближение к значению $\operatorname {Ei} \left({\tfrac {1}{t}}\right)$ при достаточно малых t . Замена $x=-{\tfrac {1}{t}}$ и отмечая, что $\operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)$ приводит к асимптотическому разложению, приведенному ранее в этой статье.

Интегрирование по частям

Интегрируя по частям, можно получить явную формулу

$$\operatorname {Ei} (z)={\frac {e^{z}}{z}}\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{z^{k}}}+e_{n}(z)\right),\quad e_{n}(z)\equiv (n+1)!\ ze^{-z}\int _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t^{n+2}}}\,dt$$

Для любого фиксированного $z$, абсолютное значение ошибки $|e_{n}(z)|$ уменьшается, затем увеличивается. Минимум возникает при $n\sim |z|$, в этот момент $\vert e_{n}(z)\vert \leq {\sqrt {\frac {2\pi }{\vert z\vert }}}e^{-\vert z\vert }$. Эта граница называется «асимптотикой вне всех порядков».

Свойства

масштаба

Для заданного асимптотического масштаба $\{\varphi _{n}(x)\}$ асимптотическое разложение функции $f(x)$ является уникальным. Это и есть коэффициенты $\{a_{n}\}$ однозначно определяются следующим образом:

$${\begin{aligned}a_{0}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)}{\varphi _{0}(x)}}\\a_{1}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-a_{0}\varphi _{0}(x)}{\varphi _{1}(x)}}\\&\;\;\vdots \\a_{N}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)}{\varphi _{N}(x)}}\end{aligned}}$$

где $L$ является предельной точкой этого асимптотического разложения (может быть $\pm \infty$).

Неуникальность для данной функции

Данная функция $f(x)$ может иметь множество асимптотических разложений (каждое со своим асимптотическим масштабом).

Субдоминирование

Асимптотическое разложение может быть асимптотическим разложением более чем на одну функцию.

См. также

Связанные поля

• Асимптотический анализ
• Сингулярное возмущение

Асимптотические методы

• Лемма Ватсона
• Средняя трансформация
• метод Лапласа
• Приближение стационарной фазы
• Метод доминирующего баланса
• Метод наискорейшего спуска

Ссылки

• Абловиц М.Дж. и Фокас А.С. (2003). Комплексные переменные: введение и применение . Издательство Кембриджского университета .
• Бендер, К.М., и Орзаг, С.А. (2013). Перспективные математические методы для ученых и инженеров I: Асимптотические методы и теория возмущений . Springer Science & Business Media .
• Блейстейн Н., Хандельсман Р. (1975), Асимптотические разложения интегралов , Dover Publications .
• Кэрриер Г.Ф., Крук М. и Пирсон CE (2005). Функции комплексной переменной: Теория и методика . Общество промышленной и прикладной математики .
• Копсон, ET (1965), Асимптотические разложения , Издательство Кембриджского университета .
• Дингл, Р.Б. (1973), Асимптотические разложения: их вывод и интерпретация , Academic Press .
• Эрдели, А. (1955), Асимптотические разложения , Dover Publications .
• Фручард А., Шефке Р. (2013), Составные асимптотические разложения , Springer.
• Харди, GH (1949), Divergent Series , Oxford University Press .
• Олвер, Ф. (1997). Асимптотика и специальные функции . АК Петерс/CRC Press.
• Пэрис, Р.Б., Каминский, Д. (2001), Асимптотика и интегралы Меллина-Барнса , издательство Кембриджского университета .
• Уиттакер, Э.Т. , Уотсон, Дж.Н. (1963), Курс современного анализа , четвертое издание, издательство Кембриджского университета .

Внешние ссылки

• «Асимптотическое расширение» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Wolfram Mathworld: Асимптотический ряд