В математике лемма Уотсона , доказанная Г. Н. Уотсоном 133), имеет существенное применение в рамках теории асимптотического поведения интегралов (1918, стр . .
Позволять
0
<
T
≤
∞
{\displaystyle 0<T\leq \infty }
φ
(
t
)
=
t
λ
g
(
t
)
{\displaystyle \varphi (t)=t^{\lambda }\,g(t)}
g
(
t
)
{\displaystyle g(t)}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
g
(
0
)
≠
0
{\displaystyle g(0)\neq 0}
λ
>
−
1
{\displaystyle \lambda >-1}
Предположим, кроме того, что либо
|
φ
(
t
)
|
<
K
e
b
t
∀
t
>
0
,
{\displaystyle |\varphi (t)|<Ke^{bt}\ \forall t>0,}
где
K
,
b
{\displaystyle K,b}
t
{\displaystyle t}
∫
0
T
|
φ
(
t
)
|
d
t
<
∞
.
{\displaystyle \int _{0}^{T}|\varphi (t)|\,\mathrm {d} t<\infty .}
Тогда верно, что для всех положительных
x
{\displaystyle x}
|
∫
0
T
e
−
x
t
φ
(
t
)
d
t
|
<
∞
{\displaystyle \left|\int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\right|<\infty }
и что имеет место следующая асимптотическая эквивалентность :
∫
0
T
e
−
x
t
φ
(
t
)
d
t
∼
∑
n
=
0
∞
g
(
n
)
(
0
)
Γ
(
λ
+
n
+
1
)
n
!
x
λ
+
n
+
1
,
(
x
>
0
,
x
→
∞
)
.
{\displaystyle \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\sim \ \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}},\ \ (x>0,\ x\rightarrow \infty ).}
См., например, Уотсона (1918) оригинальное доказательство Миллера (2006) или более позднюю разработку .
Мы докажем вариант леммы Ватсона, предполагающий, что
|
φ
(
t
)
|
{\displaystyle |\varphi (t)|}
t
→
∞
{\displaystyle t\to \infty }
g
(
t
)
{\displaystyle g(t)}
ряда Тейлора . Поскольку производные
g
{\displaystyle g}
теорему Тейлора с остатком в оставшемся небольшом интервале, а затем снова добавляя хвост в конце. На каждом этапе мы будем тщательно оценивать, сколько мы выбрасываем или добавляем. Это доказательство является модификацией доказательства, найденного у Миллера (2006) .
Позволять
0
<
T
≤
∞
{\displaystyle 0<T\leq \infty }
φ
{\displaystyle \varphi }
φ
(
t
)
=
t
λ
g
(
t
)
{\displaystyle \varphi (t)=t^{\lambda }g(t)}
λ
>
−
1
{\displaystyle \lambda >-1}
g
{\displaystyle g}
[
0
,
δ
]
{\displaystyle [0,\delta ]}
0
<
δ
<
T
{\displaystyle 0<\delta <T}
|
φ
(
t
)
|
≤
K
e
b
t
{\displaystyle |\varphi (t)|\leq Ke^{bt}}
δ
≤
t
≤
T
{\displaystyle \delta \leq t\leq T}
K
{\displaystyle K}
b
{\displaystyle b}
t
{\displaystyle t}
Мы можем показать, что интеграл конечен при
x
{\displaystyle x}
(
1
)
∫
0
T
e
−
x
t
φ
(
t
)
d
t
=
∫
0
δ
e
−
x
t
φ
(
t
)
d
t
+
∫
δ
T
e
−
x
t
φ
(
t
)
d
t
{\displaystyle (1)\quad \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t+\int _{\delta }^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t}
и оцениваем каждый член.
На первый срок у нас есть
|
∫
0
δ
e
−
x
t
φ
(
t
)
d
t
|
≤
∫
0
δ
e
−
x
t
|
φ
(
t
)
|
d
t
≤
∫
0
δ
|
φ
(
t
)
|
d
t
{\displaystyle \left|\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\right|\leq \int _{0}^{\delta }e^{-xt}|\varphi (t)|\,\mathrm {d} t\leq \int _{0}^{\delta }|\varphi (t)|\,\mathrm {d} t}
для
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
g
{\displaystyle g}
[
0
,
δ
]
{\displaystyle [0,\delta ]}
λ
>
−
1
{\displaystyle \lambda >-1}
φ
{\displaystyle \varphi }
x
>
b
{\displaystyle x>b}
|
∫
δ
T
e
−
x
t
φ
(
t
)
d
t
|
≤
∫
δ
T
e
−
x
t
|
φ
(
t
)
|
d
t
≤
K
∫
δ
T
e
(
b
−
x
)
t
d
t
≤
K
∫
δ
∞
e
(
b
−
x
)
t
d
t
=
K
e
(
b
−
x
)
δ
x
−
b
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{\delta }^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\right|&\leq \int _{\delta }^{T}e^{-xt}|\varphi (t)|\,\mathrm {d} t\\&\leq K\int _{\delta }^{T}e^{(b-x)t}\,\mathrm {d} t\\&\leq K\int _{\delta }^{\infty }e^{(b-x)t}\,\mathrm {d} t\\&=K\,{\frac {e^{(b-x)\delta }}{x-b}}.\end{aligned}}}
Тогда конечность исходного интеграла следует из применения неравенства треугольника к
(
1
)
{\displaystyle (1)}
Из приведенного выше расчета мы можем сделать вывод, что
(
2
)
∫
0
T
e
−
x
t
φ
(
t
)
d
t
=
∫
0
δ
e
−
x
t
φ
(
t
)
d
t
+
O
(
x
−
1
e
−
δ
x
)
{\displaystyle (2)\quad \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t+O\left(x^{-1}e^{-\delta x}\right)}
как
x
→
∞
{\displaystyle x\to \infty }
Обратившись к теореме Тейлора с остатком , мы знаем, что для каждого целого числа
N
≥
0
{\displaystyle N\geq 0}
g
(
t
)
=
∑
n
=
0
N
g
(
n
)
(
0
)
n
!
t
n
+
g
(
N
+
1
)
(
t
∗
)
(
N
+
1
)
!
t
N
+
1
{\displaystyle g(t)=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)}{n!}}\,t^{n}+{\frac {g^{(N+1)}(t^{*})}{(N+1)!}}\,t^{N+1}}
для
0
≤
t
≤
δ
{\displaystyle 0\leq t\leq \delta }
0
≤
t
∗
≤
t
{\displaystyle 0\leq t^{*}\leq t}
(
2
)
{\displaystyle (2)}
(
3
)
∫
0
δ
e
−
x
t
φ
(
t
)
d
t
=
∫
0
δ
e
−
x
t
t
λ
g
(
t
)
d
t
=
∑
n
=
0
N
g
(
n
)
(
0
)
n
!
∫
0
δ
t
λ
+
n
e
−
x
t
d
t
+
1
(
N
+
1
)
!
∫
0
δ
g
(
N
+
1
)
(
t
∗
)
t
λ
+
N
+
1
e
−
x
t
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(3)\quad \int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{\delta }e^{-xt}t^{\lambda }g(t)\,\mathrm {d} t\\&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)}{n!}}\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t+{\frac {1}{(N+1)!}}\int _{0}^{\delta }g^{(N+1)}(t^{*})\,t^{\lambda +N+1}e^{-xt}\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}
Чтобы ограничить член, включающий остаток, мы используем предположение, что
g
(
N
+
1
)
{\displaystyle g^{(N+1)}}
[
0
,
δ
]
{\displaystyle [0,\delta ]}
|
∫
0
δ
g
(
N
+
1
)
(
t
∗
)
t
λ
+
N
+
1
e
−
x
t
d
t
|
≤
sup
t
∈
[
0
,
δ
]
|
g
(
N
+
1
)
(
t
)
|
∫
0
δ
t
λ
+
N
+
1
e
−
x
t
d
t
<
sup
t
∈
[
0
,
δ
]
|
g
(
N
+
1
)
(
t
)
|
∫
0
∞
t
λ
+
N
+
1
e
−
x
t
d
t
=
sup
t
∈
[
0
,
δ
]
|
g
(
N
+
1
)
(
t
)
|
Γ
(
λ
+
N
+
2
)
x
λ
+
N
+
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{0}^{\delta }g^{(N+1)}(t^{*})\,t^{\lambda +N+1}e^{-xt}\,\mathrm {d} t\right|&\leq \sup _{t\in [0,\delta ]}\left|g^{(N+1)}(t)\right|\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +N+1}e^{-xt}\,\mathrm {d} t\\&<\sup _{t\in [0,\delta ]}\left|g^{(N+1)}(t)\right|\int _{0}^{\infty }t^{\lambda +N+1}e^{-xt}\,\mathrm {d} t\\&=\sup _{t\in [0,\delta ]}\left|g^{(N+1)}(t)\right|\,{\frac {\Gamma (\lambda +N+2)}{x^{\lambda +N+2}}}.\end{aligned}}}
Здесь мы использовали тот факт, что
∫
0
∞
t
a
e
−
x
t
d
t
=
Γ
(
a
+
1
)
x
a
+
1
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{a}e^{-xt}\,\mathrm {d} t={\frac {\Gamma (a+1)}{x^{a+1}}}}
если
x
>
0
{\displaystyle x>0}
a
>
−
1
{\displaystyle a>-1}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
гамма-функция .
Из приведенного выше расчета мы видим из
(
3
)
{\displaystyle (3)}
(
4
)
∫
0
δ
e
−
x
t
φ
(
t
)
d
t
=
∑
n
=
0
N
g
(
n
)
(
0
)
n
!
∫
0
δ
t
λ
+
n
e
−
x
t
d
t
+
O
(
x
−
λ
−
N
−
2
)
{\displaystyle (4)\quad \int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)}{n!}}\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)}
как
x
→
∞
{\displaystyle x\to \infty }
Теперь мы добавим хвосты к каждому интегралу в
(
4
)
{\displaystyle (4)}
n
{\displaystyle n}
∫
0
δ
t
λ
+
n
e
−
x
t
d
t
=
∫
0
∞
t
λ
+
n
e
−
x
t
d
t
−
∫
δ
∞
t
λ
+
n
e
−
x
t
d
t
=
Γ
(
λ
+
n
+
1
)
x
λ
+
n
+
1
−
∫
δ
∞
t
λ
+
n
e
−
x
t
d
t
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t-\int _{\delta }^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t\\[5pt]&={\frac {\Gamma (\lambda +n+1)}{x^{\lambda +n+1}}}-\int _{\delta }^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t,\end{aligned}}}
и мы покажем, что остальные интегралы экспоненциально малы. Действительно, если сделать замену переменных
t
=
s
+
δ
{\displaystyle t=s+\delta }
∫
δ
∞
t
λ
+
n
e
−
x
t
d
t
=
∫
0
∞
(
s
+
δ
)
λ
+
n
e
−
x
(
s
+
δ
)
d
s
=
e
−
δ
x
∫
0
∞
(
s
+
δ
)
λ
+
n
e
−
x
s
d
s
≤
e
−
δ
x
∫
0
∞
(
s
+
δ
)
λ
+
n
e
−
s
d
s
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\delta }^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-x(s+\delta )}\,\mathrm {d} s\\[5pt]&=e^{-\delta x}\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-xs}\,\mathrm {d} s\\[5pt]&\leq e^{-\delta x}\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-s}\,\mathrm {d} s\end{aligned}}}
для
x
≥
1
{\displaystyle x\geq 1}
∫
0
δ
t
λ
+
n
e
−
x
t
d
t
=
Γ
(
λ
+
n
+
1
)
x
λ
+
n
+
1
+
O
(
e
−
δ
x
)
as
x
→
∞
.
{\displaystyle \int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t={\frac {\Gamma (\lambda +n+1)}{x^{\lambda +n+1}}}+O\left(e^{-\delta x}\right){\text{ as }}x\to \infty .}
Если мы подставим этот последний результат в
(
4
)
{\displaystyle (4)}
∫
0
δ
e
−
x
t
φ
(
t
)
d
t
=
∑
n
=
0
N
g
(
n
)
(
0
)
Γ
(
λ
+
n
+
1
)
n
!
x
λ
+
n
+
1
+
O
(
e
−
δ
x
)
+
O
(
x
−
λ
−
N
−
2
)
=
∑
n
=
0
N
g
(
n
)
(
0
)
Γ
(
λ
+
n
+
1
)
n
!
x
λ
+
n
+
1
+
O
(
x
−
λ
−
N
−
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}+O\left(e^{-\delta x}\right)+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)\\&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)\end{aligned}}}
как
x
→
∞
{\displaystyle x\to \infty }
(
2
)
{\displaystyle (2)}
∫
0
T
e
−
x
t
φ
(
t
)
d
t
=
∑
n
=
0
N
g
(
n
)
(
0
)
Γ
(
λ
+
n
+
1
)
n
!
x
λ
+
n
+
1
+
O
(
x
−
λ
−
N
−
2
)
+
O
(
x
−
1
e
−
δ
x
)
=
∑
n
=
0
N
g
(
n
)
(
0
)
Γ
(
λ
+
n
+
1
)
n
!
x
λ
+
n
+
1
+
O
(
x
−
λ
−
N
−
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)+O\left(x^{-1}e^{-\delta x}\right)\\&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)\end{aligned}}}
как
x
→
∞
{\displaystyle x\to \infty }
Поскольку это последнее выражение верно для каждого целого числа
N
≥
0
{\displaystyle N\geq 0}
∫
0
T
e
−
x
t
φ
(
t
)
d
t
∼
∑
n
=
0
∞
g
(
n
)
(
0
)
Γ
(
λ
+
n
+
1
)
n
!
x
λ
+
n
+
1
{\displaystyle \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}}
как
x
→
∞
{\displaystyle x\to \infty }
асимптотическое разложение рассматриваемого интеграла.
Когда
0
<
a
<
b
{\displaystyle 0<a<b}
гипергеометрическая функция первого рода имеет интегральное представление
1
F
1
(
a
,
b
,
x
)
=
Γ
(
b
)
Γ
(
a
)
Γ
(
b
−
a
)
∫
0
1
e
x
t
t
a
−
1
(
1
−
t
)
b
−
a
−
1
d
t
,
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,b,x)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\int _{0}^{1}e^{xt}t^{a-1}(1-t)^{b-a-1}\,\mathrm {d} t,}
где
Γ
{\displaystyle \Gamma }
гамма-функция . Замена переменных
t
=
1
−
s
{\displaystyle t=1-s}
1
F
1
(
a
,
b
,
x
)
=
Γ
(
b
)
Γ
(
a
)
Γ
(
b
−
a
)
e
x
∫
0
1
e
−
x
s
(
1
−
s
)
a
−
1
s
b
−
a
−
1
d
s
,
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,b,x)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\,e^{x}\int _{0}^{1}e^{-xs}(1-s)^{a-1}s^{b-a-1}\,ds,}
которое теперь поддается использованию леммы Ватсона. принимая
λ
=
b
−
a
−
1
{\displaystyle \lambda =b-a-1}
g
(
s
)
=
(
1
−
s
)
a
−
1
{\displaystyle g(s)=(1-s)^{a-1}}
∫
0
1
e
−
x
s
(
1
−
s
)
a
−
1
s
b
−
a
−
1
d
s
∼
Γ
(
b
−
a
)
x
a
−
b
as
x
→
∞
with
x
>
0
,
{\displaystyle \int _{0}^{1}e^{-xs}(1-s)^{a-1}s^{b-a-1}\,ds\sim \Gamma (b-a)x^{a-b}\quad {\text{as }}x\to \infty {\text{ with }}x>0,}
что позволяет нам заключить, что
1
F
1
(
a
,
b
,
x
)
∼
Γ
(
b
)
Γ
(
a
)
x
a
−
b
e
x
as
x
→
∞
with
x
>
0.
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,b,x)\sim {\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}\,x^{a-b}e^{x}\quad {\text{as }}x\to \infty {\text{ with }}x>0.}
Миллер, П.Д. (2006), Прикладной асимптотический анализ , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 467, ISBN 978-0-8218-4078-8 Уотсон, Дж. Н. (1918), «Гармонические функции, связанные с параболическим цилиндром» , Труды Лондонского математического общества , том. 2, нет. 17, стр. 116–148, doi : 10.1112/plms/s2-17.1.116 Абловиц, М.Дж., Фокас, А.С. (2003). Комплексные переменные: введение и применение. Издательство Кембриджского университета . 
![{\displaystyle [0,\delta]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e470c2978f96e03afad4bc73d198c8dd6ade046a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{0}^{\delta }g^{(N+1)}(t^{*})\,t^{\lambda +N+1 }e^{-xt}\,\mathrm {d} t\right|&\leq \sup _{t\in [0,\delta ]}\left|g^{(N+1)}(t)\right|\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +N+1}e^{-xt}\,\ mathrm {d} t\\&<\sup _{t\in [0,\delta ]}\left|g^{(N+1)}(t)\right|\int _{0}^{\infty }t^{\lambda +N+1}e^{-xt}\,\mathrm {d} t\\&=\sup _{t\in [0,\delta ] }\left|g^{(N+1)}(t)\right|\,{\frac {\Gamma (\lambda +N+2)}{x^{\lambda +N+2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/088c6d8aead67a29697d944b25ece6f6740c5714)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^ {\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t-\int _{\delta }^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t\\[5pt]&={\frac {\Gamma (\lambda +n+1)}{x^{\ лямбда +n+1}}}-\int _{\delta }^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} т,\end{выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a636c582e462d650f8bb182df4a3967f0c9f59d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\delta }^{\infty }t^{\lambda+n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t&=\int _{0} ^{\infty}(s+\delta)^{\lambda+n}e^{-x(s+\delta)}\,\mathrm{d} s\\[5pt]&=e^{-\delta x}\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-xs}\,\mathrm { d} s\\[5pt]&\leq e^{-\delta x}\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-s}\,\mathrm {d} s\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff7014de6e6869b74a2c78b7ab408d78cf4ad82a)
