Суммирование Бореля

Борель , тогда еще никому не известный молодой человек, обнаружил, что его метод суммирования дает «правильный» ответ для многих классических расходящихся рядов. Он решил совершить паломничество в Стокгольм, чтобы увидеть Миттаг-Леффлера , признанного мастера комплексного анализа. Миттаг-Леффлер вежливо выслушал то, что сказал Борель, а затем, положив руку на полное собрание сочинений своего учителя Вейерштрасса , сказал по-латыни: «Учитель запрещает это».

Марк Кац , цитируется Reed & Simon (1978 , стр. 38)

В математике суммирование по Борелю — это метод суммирования расходящихся рядов , предложенный Эмилем Борелем ( 1899 ). Это особенно полезно для суммирования расходящихся асимптотических рядов и в некотором смысле дает наилучшую возможную сумму для таких рядов. Существует несколько вариантов этого метода, которые также называются суммированием Бореля, и его обобщение, называемое суммированием Миттаг-Леффлера .

Определение

Существует (по крайней мере) три немного разных метода, называемых суммированием Бореля. Они различаются по тому, какие ряды можно суммировать, но они последовательны, а это означает, что если два метода суммируют одни и те же ряды, они дают один и тот же ответ.

Везде пусть $A (z)$ обозначает формальный степенной ряд

A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k},

и определим преобразование Бореля $A$ как его эквивалентный ряд экспонент

{\mathcal {B}}A(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}t^{k}.

Метод экспоненциального суммирования Бореля

Пусть $A n (z)$ обозначает частичную сумму

A_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}.

Слабая форма метода суммирования Бореля определяет борелевскую сумму $A$ как

\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}A_{n}(z).

Если это сходится в точке $z \in C$ к некоторой функции $a (z)$ , мы говорим, что слабая борелевская сумма $A$ сходится в точке $z$ , и пишем ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})$ .

Интегральный метод суммирования Бореля

растущей достаточно медленно, так что следующий интеграл корректно определен (как несобственный интеграл), борелевская сумма A $Предположим, что преобразование Бореля сходится для всех положительных действительных чисел к функции ,$ определяется выражением

\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt.

Если интеграл сходится в точке $z \in C$ к некоторому $a (z)$ , мы говорим, что борелевская сумма $A$ сходится в точке $z$ , и пишем ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})$ .

Интегральный метод суммирования Бореля с аналитическим продолжением

Это похоже на метод интегрального суммирования Бореля, за исключением того, что преобразование Бореля не обязательно сходится для всех $t$ , а сходится к аналитической функции от $t$ вблизи 0, которую можно аналитически продолжить вдоль положительной вещественной оси .

Основные свойства

Регулярность

Оба метода $(B)$ и $(wB)$ являются обычными методами суммирования, а это означает, что всякий раз, когда $A (z)$ сходится (в стандартном смысле), тогда борелевская сумма и слабая борелевская сумма также сходятся, и делают это к одному и тому же значению. т.е.

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=A(z)<\infty \quad \Rightarrow \quad {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=A(z)\,\,({\boldsymbol {B}},\,{\boldsymbol {wB}}).

Регулярность $(B)$ легко увидеть по изменению порядка интегрирования, которое справедливо в силу абсолютной сходимости: если $A (z)$ сходится в точке $z$ , то

A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\left(\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{k}dt\right){\frac {z^{k}}{k!}}=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\frac {(tz)^{k}}{k!}}dt,

где самое правое выражение — это в точности сумма Бореля в точке $z$ .

Регулярность $(B)$ и $(wB)$ означает, что эти методы обеспечивают аналитическое расширение $A (z)$ .

Неэквивалентность борелевского и слабого борелевского суммирования.

Любой ряд $A (z),$ слабо суммируемый по Борелю в точке $z \in C,$ также суммируем по Борелю в точке $z$ . Однако можно построить примеры рядов, расходящихся при слабом суммировании по Борелю, но суммируемых по Борелю. Следующая теорема характеризует эквивалентность двух методов.

Теорема (( Харди 1992 , 8.5)).

Пусть

A (z)

— формальный степенной ряд и зафиксируем

z \in C

, тогда:

Если ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})$ , затем ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})$ .
Если ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})$ , и $\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(zt)=0,$ затем ${\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})$ .

Связь с другими методами суммирования

$(B)$ является частным случаем суммирования Миттаг-Леффлера с $α = 1$ .
$(wB)$ можно рассматривать как предельный случай обобщенного метода суммирования Эйлера $(E, q)$ в том смысле, что при $q \to \infty$ область сходимости метода $(E, q)$ сходится до области сходимости для $(B)$ . ^[1]

Теоремы единственности

Всегда существует множество различных функций с любым заданным асимптотическим разложением. Однако иногда существует наилучшая возможная функция в том смысле, что ошибки конечномерных приближений в некоторой области минимально возможны. Теорема Уотсона и теорема Карлемана показывают, что суммирование Бореля дает наилучшую возможную сумму ряда.

Теорема Ватсона

Теорема Уотсона дает условия, при которых функция является борелевской суммой своего асимптотического ряда. Предположим, что $f$ — функция, удовлетворяющая следующим условиям:

$f$ голоморфна в некоторой области $| г | < R$ , $|arg(z)| < π /2 + ε$ для некоторых положительных $R$ и $ε$ .
В этой области $f$ имеет асимптотический ряд $a 0 + a 1 z + ...$ со свойством, что ошибка

|f(z)-a_{0}-a_{1}z-\cdots -a_{n-1}z^{n-1}|

ограничен

C^{n+1}n!|z|^{n}

для всех $z$ в области (для некоторой положительной константы $C$ ).

Тогда теорема Уотсона утверждает, что в этой области $f$ задается борелевской суммой своего асимптотического ряда. Точнее, ряд для преобразования Бореля сходится в окрестности начала координат и может быть аналитически продолжен до положительной вещественной оси, а интеграл, определяющий сумму Бореля, сходится к $f (z)$ для $z$ в указанной выше области.

Теорема Карлемана

Теорема Карлемана показывает, что функция однозначно определяется асимптотическим рядом в секторе, если ошибки в аппроксимациях конечного порядка не растут слишком быстро. Точнее, оно утверждает, что если $f$ аналитична внутри сектора $| г | < C$ , $Re(z) > 0$ и $| ж (z)| < | б н з | н$ в этой области для всех $n$ то $f$ равно нулю при условии, что ряд $1/ b 0 + 1/ b 1 + ...$ расходится.

Теорема Карлемана дает метод суммирования для любого асимптотического ряда, члены которого растут не слишком быстро, поскольку сумма может быть определена как уникальная функция с этим асимптотическим рядом в подходящем секторе, если он существует. Борелевское суммирование немного слабее, чем его частный случай, когда $b n = cn$ для некоторой константы $c$ . В более общем смысле можно определить методы суммирования, немного более сильные, чем методы Бореля, взяв числа $b n$ немного большими, например $b n = cn log n$ или $b n = cn log n log log n$ . На практике это обобщение малопригодно, так как почти нет естественных примеров суммируемых этим методом рядов, которые нельзя суммировать и методом Бореля.

Пример

Функция $f (z) = exp(-1/ z)$ имеет асимптотический ряд $0 + 0 z + ...$ с границей погрешности указанного выше вида в области $|arg(z)| < θ$ для любого $θ < π /2$ , но не задается борелевской суммой своего асимптотического ряда. Это показывает, что число $π /2$ в теореме Ватсона нельзя заменить каким-либо меньшим числом (если только не уменьшить оценку ошибки).

Примеры

Геометрический ряд

Рассмотрим геометрическую серию

A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k},

сходящееся (в стандартном смысле) к $1/(1 - z)$ при $| г | < 1$ . Преобразование Бореля

{\mathcal {B}}A(tz)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}t^{k}=e^{zt},

откуда получаем борелевскую сумму

\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-t}e^{tz}\,dt={\frac {1}{1-z}}

который сходится в большей области $Re(z) < 1$ , давая аналитическое продолжение исходного ряда.

Если вместо этого рассматривать слабое преобразование Бореля, частичные суммы имеют вид $(AN z) = (1 - z Н +1)/(1 - z)$ , и поэтому слабая борелевская сумма равна

\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}{\frac {t^{n}}{n!}}=\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {e^{-t}}{1-z}}{\big (}e^{t}-ze^{tz}{\big )}={\frac {1}{1-z}},

где опять же сходимость происходит по $Re(z) < 1$ . Альтернативно в этом можно убедиться, обратившись к части 2 теоремы об эквивалентности, поскольку для $Re(z) <$ 1

\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}({\mathcal {B}}A)(zt)=e^{t(z-1)}=0.

Переменный факториальный ряд

Рассмотрим серию

A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }k!(-1)^{k}\cdot z^{k},

тогда $A (z)$ не сходится ни для одного $z \in C.$ ненулевого Преобразование Бореля

{\mathcal {B}}A(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }\left(-t\right)^{k}={\frac {1}{1+t}}

для $| т | < 1$ , что аналитически продолжается до всех $t \geq 0$ . Таким образом, сумма Бореля равна

\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+tz}}\,dt={\frac {1}{z}}\cdot e^{1/z}\cdot \Gamma \left(0,{\frac {1}{z}}\right)

(где $Γ$ – неполная гамма-функция ).

Этот интеграл сходится для всех $z \geq 0$ , поэтому исходный расходящийся ряд суммируем по Борелю для всех таких $z$ . Эта функция имеет асимптотическое разложение при $стремлении z$ к 0, которое задается исходным расходящимся рядом. Это типичный пример того, что суммирование по Борелю иногда «правильно» суммирует расходящиеся асимптотические разложения.

Опять же, поскольку

\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}({\mathcal {B}}A)(zt)=\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {e^{-t}}{1+zt}}=0,

для всех $z$ теорема эквивалентности гарантирует, что слабое суммирование Бореля имеет одну и ту же область сходимости, $z \geq 0$ .

Пример, в котором эквивалентность не удалась

Следующий пример расширяет пример, приведенный в ( Hardy 1992 , 8.5). Учитывать

A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {(-1)^{\ell }(2\ell +2)^{k}}{(2\ell +1)!}}\right)z^{k}.

После изменения порядка суммирования преобразование Бореля имеет вид

{\begin{aligned}{\mathcal {B}}A(t)&=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\big (}(2\ell +2)t{\big )}^{k}}{k!}}\right){\frac {(-1)^{\ell }}{(2\ell +1)!}}\\&=\sum _{\ell =0}^{\infty }e^{(2\ell +2)t}{\frac {(-1)^{\ell }}{(2\ell +1)!}}\\&=e^{t}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\big (}e^{t}{\big )}^{2\ell +1}{\frac {(-1)^{\ell }}{(2\ell +1)!}}\\&=e^{t}\sin(e^{t}).\end{aligned}}

При $z = 2$ борелевская сумма имеет вид

\int _{0}^{\infty }e^{t}\sin(e^{2t})\,dt=\int _{1}^{\infty }\sin(u^{2})\,du={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}-S(1)<\infty ,

где $S (x)$ — интеграл Френеля . По теореме о сходимости вдоль хорд интеграл Бореля сходится при всех $z \leq 2$ интеграл расходится $(при z > 2$ ).

Для слабой борелевской суммы заметим, что

\lim _{t\rightarrow \infty }e^{(z-1)t}\sin(e^{zt})=0

выполняется только для $z < 1$ , и поэтому слабая борелевская сумма сходится в этой меньшей области.

Результаты существования и область сходимости

Суммируемость по аккордам

формальный ряд $A (z)$ суммируем по Борелю в точке $\in z0 C,$ по Борелю во всех точках хорды $Oz0, Если$ соединяющей $z0 то он также суммируем$ с началом координат. , существует аналитическая во всем круге функция $z) радиуса Oz0$ ( $такая Более того a$ , что

{\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}}),

для всех $z знак равно θ z 0, θ \in [0,1]$ .

Непосредственным следствием является то, что область сходимости суммы Бореля является звездной областью в $C$ . Об области сходимости борелевской суммы можно сказать больше, чем то, что это звездная область, называемая борелевским многоугольником и определяемая особенностями ряда $A (z)$ .

Полигон Бореля

Предположим, что $A (z)$ имеет строго положительный радиус сходимости, так что он аналитичен в нетривиальной области, содержащей начало координат, и пусть $SA обозначает$ множество особенностей $A$ . Это означает, что $тогда и только P \in SA$ тогда, когда $A$ можно аналитически продолжить по открытой хорде от 0 до $P$ , но не до $P.$ самого Для $P \in SA P$ обозначим через $L P$ прямую, проходящую через $и$ перпендикулярную хорде $OP$ . Определите наборы

\Pi _{P}=\{z\in \mathbb {C} \,\colon \,Oz\cap L_{P}=\varnothing \},

множество точек, лежащих на той же стороне $LP,$ что и начало координат. Многоугольник Бореля $A$ — это множество

\Pi _{A}=\operatorname {cl} \left(\bigcap _{P\in S_{A}}\Pi _{P}\right).

Альтернативное определение использовали Борель и Фрагмен ( Sansone & Gerretsen 1960 , 8.3). Позволять $S\subset \mathbb {C}$ обозначим наибольшую звездную область, на которой существует аналитическое расширение $A$ , тогда $\Pi _{A}$ является самым большим подмножеством $S$ такой, что для всех $P\in \Pi _{A}$ внутренняя часть круга диаметром OP содержится в $S$ . Ссылаясь на набор $\Pi _{A}$ поскольку термин «многоугольник» является своего рода неправильным термином, поскольку набор вообще не обязательно должен быть многоугольным; если же $A (z)$ имеет лишь конечное число особенностей, то $\Pi _{A}$ фактически будет многоугольником.

Следующая теорема Бореля и Фрагмена дает критерии сходимости борелевского суммирования.

Теорема ( Харди 1992 , 8.8).

Ряд

A (z)

суммируем

(B)

вообще

z\in \operatorname {int} (\Pi _{A})

, и

(B)

вообще расходится

z\in \mathbb {C} \setminus \Pi _{A}

.

Заметим, что $(B)$ суммируемость для $z\in \partial \Pi _{A}$ зависит от характера точки.

Пример 1

Пусть $ω i \in C$ обозначает $корни m$ -й степени из единицы, $i = 1, ..., m$ , и рассмотрим

{\begin{aligned}A(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }(\omega _{1}^{k}+\cdots +\omega _{m}^{k})z^{k}\\&=\sum _{i=1}^{m}{\frac {1}{1-\omega _{i}z}},\end{aligned}}

сходящееся на $B (0,1) \subset C$ . как функцию на $C$ , $Если рассматривать A (z)$ то она имеет особенности в точке $S A = {ω i : i = 1, ..., m}$ и, следовательно, многоугольник Бореля $\Pi _{A}$ задается правильным $m$ -угольником с центром в начале координат и таким, что $1 \in C$ является средней точкой ребра.

Пример 2

Формальная серия

A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{2^{k}},

сходится для всех $|z|<1$ (например, методом сравнения с геометрическим рядом). Однако это можно показать ^[2] что $A$ не сходится ни в одной точке $z \in C$ такой, что $z 2 н = 1$ для некоторого $n$ . Поскольку множество таких $z$ плотно в единичном круге, не может быть аналитического расширения $A$ вне $B (0,1)$ . Следовательно, наибольшая звездная область, на которую $A,$ можно аналитически расширить $- это S = B (0,1),$ из которой (через второе определение) получается $\Pi _{A}=B(0,1)$ . В частности, видно, что многоугольник Бореля не является многоугольным.

Тауберова теорема

Тауберова теорема обеспечивает условия, при которых сходимость одного метода суммирования влечет за собой сходимость другого метода. Основная тауберова теорема ^[1] ибо суммирование по Борелю обеспечивает условия, при которых слабый метод Бореля влечет сходимость ряда.

Теорема ( Харди 1992 , 9.13). Если

A

суммируемо

(wB)

в точке

z 0 \in C

,

{\textstyle \sum }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})\,({\boldsymbol {wB}})

, и

a_{k}z_{0}^{k}=O(k^{-1/2}),\qquad \forall k\geq 0,

затем

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})

, и ряд сходится для всех

| г | < | я 0 |

.

Приложения

Борелевское суммирование находит применение в разложениях по возмущениям в квантовой теории поля. В частности, в двумерной евклидовой теории поля функции Швингера часто можно восстановить из их рядов возмущений с помощью борелевского суммирования ( Glimm & Jaffe 1987 , стр. 461). Некоторые особенности преобразования Бореля связаны с инстантонами и ренормалонами в квантовой теории поля ( Вайнберг 2005 , 20.7).

Обобщения

Борелевское суммирование требует, чтобы коэффициенты росли не слишком быстро: точнее, $a n$ должно быть ограничено $n! С п +1$ для $C.$ некоторого Существует вариант суммирования по Борелю, который заменяет факториалы $n!$ с $(кн)!$ для некоторого положительного целого числа $k$ , что позволяет суммировать некоторые ряды с $n,$ ограниченным $(kn)! С п +1$ для $C.$ некоторого Это обобщение дается суммированием Миттаг-Леффлера .

В наиболее общем случае суммирование Бореля обобщается пересуммированием Нахбина , которое можно использовать, когда ограничивающая функция имеет некоторый общий тип (пси-тип), а не экспоненциальный тип .

См. также

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Харди, GH (1992). Дивергентный сериал . AMS Челси, Род-Айленд.
^ «Естественный рубеж» . Математический мир . Проверено 19 октября 2016 г.

Ссылки

Борель, Э. (1899), «Память о расходящихся рядах» , Ann. наук. Эк. Норм. Большой. , Серия 3, 16 : 9–131, doi : 10.24033/asens.463
Глимм, Джеймс; Яффе, Артур (1987), Квантовая физика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-4728-9 , ISBN 978-0-387-96476-8 , МР 0887102
Харди, Годфри Гарольд (1992) [1949], Divergent Series , Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8218-2649-2 , МР 0030620
Рид, Майкл; Саймон, Барри (1978), Методы современной математической физики. IV. Анализ операторов , Нью-Йорк: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-585004-9 , МР 0493421
Сансоне, Джованни; Герретсен, Йохан (1960), Лекции по теории функций комплексной переменной. I. Голоморфные функции , П. Нордхофф, Гронинген, MR 0113988
Вайнберг, Стивен (2005), Квантовая теория полей. , том. II, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-55002-4 , МР 2148467
Захаров, А.А. (2001) [1994], «Метод суммирования Бореля» , Энциклопедия Математики , EMS Press

[Hardy1992-1] Jump up to: ^а ^б Харди, GH (1992). Дивергентный сериал . AMS Челси, Род-Айленд.

[2] «Естественный рубеж» . Математический мир . Проверено 19 октября 2016 г.

[1]

[2]