Формула Эйлера – Маклорена

В математике формула Эйлера-Маклорена представляет собой формулу разности между интегралом и тесно связанной с ним суммой . Его можно использовать для аппроксимации интегралов конечными суммами или, наоборот, для вычисления конечных сумм и бесконечных рядов с использованием интегралов и механизмов исчисления . Например, многие асимптотические разложения выводятся из этой формулы, и формула Фаульхабера для суммы степеней является ее непосредственным следствием.

Формула была открыта независимо Леонардом Эйлером и Колином Маклореном примерно в 1735 году. Эйлеру она была нужна для вычисления медленно сходящихся бесконечных рядов, а Маклорен использовал ее для вычисления интегралов. Позже она была обобщена до формулы Дарбу .

Формула

Если $m$ и $n$ — натуральные числа , а $f (x)$ — с действительными или комплексными значениями непрерывная функция для действительных чисел $x$ в интервале $[m, n]$ , то интеграл $I=\int _{m}^{n}f(x)\,dx$ можно аппроксимировать суммой (или наоборот) $S=f(m+1)+\cdots +f(n-1)+f(n)$ (см. метод прямоугольника ). Формула Эйлера–Маклорена дает выражения разности суммы и интеграла через старшие производные $f (к) (x)$ оценивается в конечных точках интервала, то есть $x = m$ и $x = n$ .

Явно, для $p$ положительного целого числа и функции $f (x)$ , которая $p$ раз непрерывно дифференцируема на интервале $[m, n]$ , мы имеем $S-I=\sum _{k=1}^{p}{{\frac {B_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(m)\right)}+R_{p},$ где $B k$ — $k$ -е число Бернулли (при этом $B 1 = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 1/2 , ⁠ )$ и $R p$ — это погрешность которая зависит от $n$ , $m$ , $p$ и $f$ и обычно мала для подходящих значений $p$ .

Формула часто пишется с индексом, принимающим только четные значения, поскольку нечетные числа Бернулли равны нулю, за исключением $B 1$ . В этом случае мы имеем ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} $\sum _{i=m}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)\right)+R_{p},$ или альтернативно $\sum _{i=m+1}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)\right)+R_{p}.$

Оставшийся срок

Остаток возникает потому, что интеграл обычно не равен сумме. Формула может быть получена путем применения повторного интегрирования по частям к последовательным интервалам $[r, r + 1]$ для $r = m, m + 1, \dots, n - 1$ . Граничные члены в этих интегрированиях приводят к основным членам формулы, а оставшиеся интегралы образуют остаточный член.

Остаток имеет точное выражение через периодизованные функции $Pk Бернулли (x)$ . Полиномы Бернулли могут быть определены рекурсивно как $B 0 (x) = 1$ и для $k \geq$ 1 ${\begin{aligned}B_{k}'(x)&=kB_{k-1}(x),\\\int _{0}^{1}B_{k}(x)\,dx&=0.\end{aligned}}$ Периодизованные функции Бернулли определяются как $P_{k}(x)=B_{k}{\bigl (}x-\lfloor x\rfloor {\bigr )},$ где $⌊ x ⌋$ обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное $x$ , так что $x - ⌊ x ⌋$ всегда лежит в интервале $[0,1)$ .

В таких обозначениях остаточный член $R p$ равен $R_{p}=(-1)^{p+1}\int _{m}^{n}f^{(p)}(x){\frac {P_{p}(x)}{p!}}\,dx.$

Когда $k > 0$ , можно показать, что для $0 \leq x \leq 1$ , ${\bigl |}B_{k}(x){\bigr |}\leq {\frac {2\cdot k!}{(2\pi )^{k}}}\zeta (k),$ где $ζ$ обозначает дзета-функцию Римана ; Один из подходов к доказательству этого неравенства состоит в получении ряда Фурье для многочленов $B k (x)$ . Граница достигается для четного $k,$ когда $x$ равно нулю. Член $ζ (k)$ можно опустить для нечетных $k,$ но доказательство в этом случае более сложное (см. Лемера). ^{[ 3 ]} Используя это неравенство, размер остаточного члена можно оценить как $\left|R_{p}\right|\leq {\frac {2\zeta (p)}{(2\pi )^{p}}}\int _{m}^{n}\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx.$

Случаи низкого порядка

Числа Бернулли от $B 1$ до $B 7$ равны $⁠ 1 / 2 ⁠, ⁠ 1 / 6 ⁠, 0, - ⁠ 1 / 30 ⁠, 0, ⁠ 1/42 ⁠, 0$ . Следовательно, случаи низкого порядка формулы Эйлера – Маклорена: ${\begin{aligned}\sum _{i=m}^{n}f(i)-\int _{m}^{n}f(x)\,dx&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+\int _{m}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-\int _{m}^{n}f''(x){\frac {P_{2}(x)}{2!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}+\int _{m}^{n}f'''(x){\frac {P_{3}(x)}{3!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}-\int _{m}^{n}f^{(4)}(x){\frac {P_{4}(x)}{4!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+\int _{m}^{n}f^{(5)}(x){\frac {P_{5}(x)}{5!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}-\int _{m}^{n}f^{(6)}(x){\frac {P_{6}(x)}{6!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}+\int _{m}^{n}f^{(7)}(x){\frac {P_{7}(x)}{7!}}\,dx.\end{aligned}}$

Приложения

Базельская проблема

Базельская задача состоит в определении суммы $1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.$

Эйлер вычислил эту сумму с точностью до 20 десятичных знаков, используя всего несколько членов формулы Эйлера-Маклорена в 1735 году. Это, вероятно, убедило его в том, что сумма равна $⁠ π 2 / 6 ⁠$ , что он и доказал в том же году. ^{[ 4 ]}

Суммы, включающие полином

Если $f$ — полином и $p$ достаточно велико, то остаточный член обращается в нуль. Например, если $f (x) = x 3$ , мы можем выбрать $p = 2$ , чтобы после упрощения получить $\sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.$

Приближение интегралов

Формула обеспечивает средство аппроксимации конечного интеграла. Пусть $a < b$ — концы интервала интегрирования. Зафиксируйте $N$ , количество точек, используемых в аппроксимации, и обозначьте соответствующий размер шага $h = ⁠ б - а / N - 1 ⁠$ . Положим $x i = a + (i - 1) h$ , так что $x 1 = a$ и $x N = b$ . Затем: ^{[ 5 ]} ${\begin{aligned}I&=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\\&\sim h\left({\frac {f(x_{1})}{2}}+f(x_{2})+\cdots +f(x_{N-1})+{\frac {f(x_{N})}{2}}\right)+{\frac {h^{2}}{12}}{\bigl [}f'(x_{1})-f'(x_{N}){\bigr ]}-{\frac {h^{4}}{720}}{\bigl [}f'''(x_{1})-f'''(x_{N}){\bigr ]}+\cdots \end{aligned}}$

Это можно рассматривать как расширение правила трапеций за счет включения поправочных членов. Обратите внимание, что это асимптотическое разложение обычно не сходится; существует некоторый $p$ , зависящий от $f$ и $h$ , такой, что члены предыдущего порядка $p$ быстро возрастают. Таким образом, остаточный член обычно требует пристального внимания. ^{[ 5 ]}

Формула Эйлера-Маклорена также используется для детального анализа ошибок в числовых квадратурах . Это объясняет превосходную эффективность правила трапеций для гладких периодических функций и используется в некоторых методах экстраполяции . Квадратура Кленшоу–Кёртиса, по сути, представляет собой замену переменных для приведения произвольного интеграла к интегралам периодических функций, где подход Эйлера–Маклорена очень точен (в этом конкретном случае формула Эйлера–Маклорена принимает форму дискретного косинусного преобразования ). . Этот метод известен как периодизирующее преобразование.

Асимптотическое разложение сумм

В контексте вычисления асимптотических разложений сумм и рядов обычно наиболее полезной формой формулы Эйлера-Маклорена является $\sum _{n=a}^{b}f(n)\sim \int _{a}^{b}f(x)\,dx+{\frac {f(b)+f(a)}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),$

где $a$ и $b$ — целые числа. ^{[ 6 ]} Часто разложение остается справедливым даже после достижения пределов $a \to -\infty$ или $b \to +\infty$ , или обоих. Во многих случаях интеграл в правой части может быть вычислен в замкнутой форме через элементарные функции, хотя сумма в левой части не может быть вычислена. Тогда все члены асимптотического ряда выражаются через элементарные функции. Например, $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\,dk} _{={\dfrac {1}{z}}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}.$

Здесь левая часть равна $ψ (1) (z)$ первого порядка , а именно полигамма-функция , определяемая формулой

\psi ^{(1)}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\log \Gamma (z);

Γ гамма-функция $(z)$ равна $(z - 1)!$ когда $z$ является положительным целым числом . Это приводит к асимптотическому разложению для $ψ (1) (з)$ . из выводов точных оценок погрешности аппроксимации Стирлингом факториальной Это разложение, в свою очередь, служит отправной точкой для одного функции.

Примеры

Если $s$ — целое число больше 1, мы имеем: $\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\approx {\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}+\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}\left[{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!}}-{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}\right].$

Собрав константы в значение дзета-функции Римана , можно записать асимптотическое разложение: $\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\sim \zeta (s)-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}.$

Для $s,$ равного 2, это упрощается до $\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim \zeta (2)-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{n^{2i+1}}},$ или $\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim {\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-{\frac {1}{6n^{3}}}+{\frac {1}{30n^{5}}}-{\frac {1}{42n^{7}}}+\cdots .$

Когда $s = 1$ , соответствующий метод дает асимптотическое разложение чисел гармоник : $\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\sim \gamma +\log n+{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}},$ где $γ \approx 0,5772...$ — постоянная Эйлера–Машерони .

Доказательства

Вывод методом математической индукции

Изложим аргументацию, приведенную в Апостоле. ^{[ 1 ]}

Полиномы Бернулли $B n (x)$ и периодические функции Бернулли $P n (x)$ для $n = 0, 1, 2, ...$ были введены выше.

Первые несколько полиномов Бернулли равны ${\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,\\B_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},\\B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}},\\B_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x,\\B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\tfrac {1}{30}},\\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}$

Значения $B n (1)$ являются числами Бернулли $B n$ . Обратите внимание, что для $n \neq 1$ мы имеем $B_{n}=B_{n}(1)=B_{n}(0),$ и для $n = 1$ , $B_{1}=B_{1}(1)=-B_{1}(0).$

Функции $P n$ согласуются с полиномами Бернулли на интервале $[0, 1]$ и являются периодическими с периодом 1. Более того, за исключением случаев, когда $n = 1$ , они также непрерывны. Таким образом, $P_{n}(0)=P_{n}(1)=B_{n}\quad {\text{for }}n\neq 1.$

Пусть $k$ — целое число, и рассмотрим интеграл $\int _{k}^{k+1}f(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,$ где ${\begin{aligned}u&=f(x),\\du&=f'(x)\,dx,\\dv&=P_{0}(x)\,dx&{\text{since }}P_{0}(x)&=1,\\v&=P_{1}(x).\end{aligned}}$

Интегрируя по частям , получаем ${\begin{aligned}\int _{k}^{k+1}f(x)\,dx&={\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du\\&={\bigl [}f(x)P_{1}(x){\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&=B_{1}(1)f(k+1)-B_{1}(0)f(k)-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}$

Используя $B 1 (0) = - ⁠ 1 / 2 ⁠$ , $B 1 (1) = ⁠ 1 / 2 ⁠$ и суммируя вышесказанное от $k = 0$ до $k = n - 1$ , получаем ${\begin{aligned}\int _{0}^{n}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f(x)\,dx+\cdots +\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx\\&={\frac {f(0)}{2}}+f(1)+\dotsb +f(n-1)+{\frac {f(n)}{2}}-\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}$

Добавление $⁠ f (n) - f (0) / 2 ⁠$ в обе стороны и переставляя, имеем $\sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.$

Это $p = 1$ случай формулы суммирования . Чтобы продолжить индукцию, применим интегрирование по частям к члену ошибки: $\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,$ где ${\begin{aligned}u&=f'(x),\\du&=f''(x)\,dx,\\dv&=P_{1}(x)\,dx,\\v&={\tfrac {1}{2}}P_{2}(x).\end{aligned}}$

Результат интегрирования по частям: ${\begin{aligned}{\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du&=\left[{\frac {f'(x)P_{2}(x)}{2}}\right]_{k}^{k+1}-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx\\&={\frac {B_{2}}{2}}(f'(k+1)-f'(k))-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx.\end{aligned}}$

Суммирование от $k = 0$ до $k = n - 1$ и замена этого члена ошибки младшего порядка приводит к $случаю p = 2$ формулы: $\sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+{\frac {B_{2}}{2}}{\bigl (}f'(n)-f'(0){\bigr )}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{n}f''(x)P_{2}(x)\,dx.$

Этот процесс можно повторять. Таким образом, мы получаем доказательство формулы суммирования Эйлера–Маклорена, которая может быть формализована с помощью математической индукции , в которой шаг индукции основан на интегрировании по частям и тождествах для периодических функций Бернулли.

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Апостол, ТМ (1 мая 1999 г.). «Элементарный взгляд на формулу суммирования Эйлера». Американский математический ежемесячник . 106 (5). Математическая ассоциация Америки: 409–418. дои : 10.2307/2589145 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2589145 .
^ «Цифровая библиотека математических функций: суммы и последовательности» . Национальный институт стандартов и технологий .
^ Лемер, Д.Х. (1940). «О максимумах и минимумах полиномов Бернулли». Американский математический ежемесячник . 47 (8): 533–538. дои : 10.2307/2303833 . JSTOR 2303833 .
^ Пенгелли, Дэвид Дж. (2007). «Танцы между непрерывным и дискретным: формула суммирования Эйлера». Эйлер в 300 . МАА Спектр. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. стр. 169–189. arXiv : 1912.03527 . МР 2349549 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Деврис, Пол Л.; Хасбрун, Хавьер Э. (2011). Первый курс вычислительной физики (2-е изд.). Издательство Джонс и Бартлетт. п. 156.
^ Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. , ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью-Йорк: Dover Publications . стр. 16, 806, 886. ISBN. 978-0-486-61272-0 .

Дальнейшее чтение

Гулд, Х.В.; Сквайр, Уильям (1963). «Вторая формула Маклорена и ее обобщение». амер. Математика. Ежемесячно . 70 (1): 44–52. дои : 10.2307/2312783 . JSTOR 2312783 . МР 0146551 .
Гурдон, Ксавье; Себах, Паскаль (2002). «Введение в числа Бернулли» .
Мартенсен, Эрих (2005). «Об обобщенной формуле Эйлера-Маклорена». З. Энджью. Математика. Мех . 85 (12): 858–863. Бибкод : 2005ЗаММ...85..858М . дои : 10.1002/замм.200410217 . МР 2184846 . S2CID 123419717 .
Монтгомери, Хью Л .; Воан, Роберт С. (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Том. 97. стр. 495–519. ISBN 978-0-521-84903-6 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Формулы интегрирования Эйлера – Маклорена» . Математический мир .

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б Апостол, ТМ (1 мая 1999 г.). «Элементарный взгляд на формулу суммирования Эйлера». Американский математический ежемесячник . 106 (5). Математическая ассоциация Америки: 409–418. дои : 10.2307/2589145 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2589145 .

[DLMF-2] «Цифровая библиотека математических функций: суммы и последовательности» . Национальный институт стандартов и технологий .

[Lehmer-3] Лемер, Д.Х. (1940). «О максимумах и минимумах полиномов Бернулли». Американский математический ежемесячник . 47 (8): 533–538. дои : 10.2307/2303833 . JSTOR 2303833 .

[4] Пенгелли, Дэвид Дж. (2007). «Танцы между непрерывным и дискретным: формула суммирования Эйлера». Эйлер в 300 . МАА Спектр. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. стр. 169–189. arXiv : 1912.03527 . МР 2349549 .

[Devries-5] Перейти обратно: ^а ^б Деврис, Пол Л.; Хасбрун, Хавьер Э. (2011). Первый курс вычислительной физики (2-е изд.). Издательство Джонс и Бартлетт. п. 156.

[6] Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. , ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью-Йорк: Dover Publications . стр. 16, 806, 886. ISBN. 978-0-486-61272-0 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]