Анализ ошибок (математика)

В математике анализ ошибок — это изучение вида и количества ошибок или неопределенностей, которые могут присутствовать при решении проблемы. Эта проблема особенно заметна в прикладных областях, таких как численный анализ и статистика .

Анализ ошибок

При численном моделировании или моделировании реальных систем анализ ошибок связан с изменениями выходных данных модели, когда параметры модели изменяются примерно в среднем .

Например, в системе, моделируемой как функция двух переменных $z\,=\,f(x,y).$ Анализ ошибок занимается распространением числовых ошибок в $x$ и $y$ (около средних значений ${\bar {x}}$ и ${\bar {y}}$) до ошибки в $z$ (около среднего ${\bar {z}}$).

В численном анализе анализ ошибок включает в себя как прямой анализ ошибок, так и обратный анализ ошибок .

анализ

Прямой анализ ошибок включает в себя анализ функции $z'=f'(a_{0},\,a_{1},\,\dots ,\,a_{n})$ которое является приближением (обычно конечным полиномом) функции $z\,=\,f(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n})$ определить границы погрешности аппроксимации; то есть найти $\epsilon$ такой, что $0\,\leq \,|z-z'|\,\leq \,\epsilon .$ Оценка прямых ошибок желательна в проверенных числовых значениях .

анализ

Обратный анализ ошибок включает анализ функции аппроксимации. $z'\,=\,f'(a_{0},\,a_{1},\,\dots ,\,a_{n}),$ определить границы параметров $a_{i}\,=\,{\bar {a_{i}}}\,\pm \,\epsilon _{i}$ такой, что результат $z'\,=\,z.$

Обратный анализ ошибок, теория которого была разработана и популяризирована Джеймсом Х. Уилкинсоном , может использоваться для установления того, что алгоритм, реализующий числовую функцию, численно устойчив. Основной подход состоит в том, чтобы показать, что, хотя вычисленный результат из-за ошибок округления не будет абсолютно правильным, он является точным решением соседней задачи со слегка искаженными входными данными. Если требуемое возмущение невелико, порядка неопределенности входных данных, то результаты в некотором смысле настолько точны, насколько «заслуживают» данные. Тогда алгоритм определяется как обратно стабильный . Стабильность — это мера чувствительности к ошибкам округления данной числовой процедуры; напротив, число обусловленности функции для данной проблемы указывает на внутреннюю чувствительность функции к небольшим возмущениям на ее входных данных и не зависит от реализации, используемой для решения проблемы.

Приложения

Глобальная система позиционирования

Основная статья: Глобальная система позиционирования

Анализ ошибок, вычисленных с использованием системы глобального позиционирования, важен для понимания того, как работает GPS, и для понимания того, каких ошибок величины следует ожидать. Система глобального позиционирования корректирует ошибки часов приемника и другие эффекты, но все еще остаются остаточные ошибки, которые не исправляются. Система глобального позиционирования (GPS) была создана Министерством обороны США (DOD) в 1970-х годах. Он стал широко использоваться для навигации как военными США, так и широкой общественностью.

моделирование

При моделировании молекулярной динамики (МД) возникают ошибки из-за неадекватной выборки фазового пространства или нечасто происходящих событий, что приводит к статистической ошибке из-за случайных колебаний в измерениях.

Для серии M измерений колеблющегося свойства A среднее значение равно:

$$\langle A\rangle ={\frac {1}{M}}\sum _{\mu =1}^{M}A_{\mu }.$$

Когда эти M измерений независимы, дисперсия среднего ⟨ A ⟩ равна:

$$\sigma ^{2}(\langle A\rangle )={\frac {1}{M}}\sigma ^{2}(A),$$

но в большинстве моделей МД существует корреляция между величиной A в разное время, поэтому дисперсия среднего значения ⟨ A ⟩ поскольку эффективное количество независимых измерений на самом деле меньше M. будет недооценена , В таких ситуациях перепишем дисперсию как:

$$\sigma ^{2}(\langle A\rangle )={\frac {1}{M}}\sigma ^{2}(A)\left[1+2\sum _{\mu }\left(1-{\frac {\mu }{M}}\right)\phi _{\mu }\right],$$

где $\phi _{\mu }$ – автокорреляционная функция, определяемая формулой

$$\phi _{\mu }={\frac {\langle A_{\mu }A_{0}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}{\langle A^{2}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}}.$$

Затем мы можем использовать функцию автокорреляции для оценки планки ошибок . К счастью, у нас есть гораздо более простой метод, основанный на усреднении блоков .

Проверка

Основная статья: Научные нарушения § Разоблачение фальшивых данных

Измерения обычно имеют небольшую погрешность, а повторные измерения одного и того же объекта обычно приводят к небольшим различиям в показаниях. Эти различия можно анализировать и учитывать определенные известные математические и статистические свойства. Если набор данных оказывается слишком точным в соответствии с гипотезой, т. е. не обнаруживается той величины ошибки, которая обычно была бы при таких измерениях, можно сделать вывод, что данные могли быть сфальсифицированы. Самого анализа ошибок обычно недостаточно для доказательства того, что данные были фальсифицированы или сфабрикованы, но он может предоставить подтверждающие доказательства, необходимые для подтверждения подозрений в неправомерных действиях.

См. также

• Анализ ошибок (лингвистика)
• Панель ошибок
• Ошибки и остатки в статистике
• Распространение неопределенности
• Проверенные цифры

Внешние ссылки

• [1] Все об анализе ошибок.