Математическая структура

В математике структура набор — это , снабженный некоторыми дополнительными функциями этого набора (например, операцией , отношением , метрикой или топологией ). Часто дополнительные функции прикрепляются к набору или связаны с ним, чтобы придать ему дополнительный смысл или значение.

Частичным списком возможных структур являются меры , алгебраические структуры ( группы , поля и т. д.), топологии , метрические структуры ( геометрии ), порядки , графы , события , отношения эквивалентности , дифференциальные структуры и категории .

Иногда набор наделен более чем одним признаком одновременно, что позволяет математикам более детально изучать взаимодействие между различными структурами. Например, упорядочение налагает на набор жесткую форму, форму или топологию, и если набор имеет как топологический признак, так и групповой признак, так что эти два признака связаны определенным образом, то структура становится топологической . группа . ^[1]

Отображения между множествами, которые сохраняют структуры (т. е. структуры в предметной области отображаются в эквивалентные структуры в кодомене ), представляют особый интерес во многих областях математики. Примерами являются гомоморфизмы , сохраняющие алгебраические структуры; гомеоморфизмы , сохраняющие топологические структуры; ^[2] и диффеоморфизмы , сохраняющие дифференциальные структуры.

История [ править ]

В 1939 году французская группа под псевдонимом Николя Бурбаки рассматривала структуры как корень математики. Впервые они упомянули их в своем «Главе» по теории множеств и расширили его до главы IV издания 1957 года. ^[3] Они выделили три материнские структуры : алгебраическую, топологическую и порядковую. ^[3]^[4]

Пример: действительные числа [ править ]

Множество действительных чисел имеет несколько стандартных структур:

Порядок: каждое число либо меньше, либо больше любого другого числа.
Алгебраическая структура: существуют операции сложения и умножения, первая из которых образует группу, а пара вместе образует поле .
Мера: интервалы вещественной линии имеют определенную длину , которую можно расширить до меры Лебега на многих ее подмножествах .
Метрика: существует понятие расстояния между точками.
Геометрия: оснащена метрикой и плоская .
Топология: существует понятие открытых множеств .

Среди них есть интерфейсы:

Его порядок и, независимо, его метрическая структура порождают его топологию.
Его порядок и алгебраическая структура превращают его в упорядоченное поле .
Ее алгебраическая структура и топология превращают ее в группу Ли , тип топологической группы .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Сондерс, Мак Лейн (1996). «Структура в математике» (PDF) . Философ1А Математика1Ка . 4 (3): 176.
^ Кристиансен, Джейкоб Стордал (2015). «Математические структуры» (PDF) . maths.lth.se . Проверено 9 декабря 2019 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Корри, Лео (сентябрь 1992 г.). «Николя Бурбаки и концепция математической структуры». Синтезируйте . 92 (3): 315–348. дои : 10.1007/bf00414286 . JSTOR 20117057 . S2CID 16981077 .
^ Уэллс, Ричард Б. (2010). Обработка биологических сигналов и вычислительная нейронаука (PDF) . стр. 296–335 . Проверено 7 апреля 2016 г.

Дальнейшее чтение [ править ]

Фолдс, Стефан (1994). Фундаментальные структуры алгебры и дискретной математики . Хобокен: Джон Уайли и сыновья. ISBN 9781118031438 .
Хегедус, Стивен Джон; Морено-Армелла, Луис (2011). «Появление математических структур». Образовательные исследования по математике . 77 (2): 369–388. дои : 10.1007/s10649-010-9297-7 . S2CID 119981368 .
Колман, Бернард; Басби, Роберт С.; Росс, Шэрон Катлер (2000). Дискретные математические структуры (4-е изд.). Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-083143-9 .
Малик, Д.С.; Сен, МК (2004). Дискретные математические структуры: теория и приложения . Австралия: Томсон/Курс Технологии. ISBN 978-0-619-21558-3 .
Пудлак, Павел (2013). «Математические структуры». Логические основы математики и сложность вычислений: нежное введение . Чам: Спрингер. стр. 2–24. ISBN 9783319001197 .
Сенешаль, М. (21 мая 1993 г.). «Математические структуры». Наука . 260 (5111): 1170–1173. дои : 10.1126/science.260.5111.1170 . ПМИД 17806355 .

Внешние ссылки [ править ]

"Состав" . ПланетаМатематика . (дает теоретическое определение модели.)
Математические структуры в информатике (журнал)

[1] Сондерс, Мак Лейн (1996). «Структура в математике» (PDF) . Философ1А Математика1Ка . 4 (3): 176.

[2] Кристиансен, Джейкоб Стордал (2015). «Математические структуры» (PDF) . maths.lth.se . Проверено 9 декабря 2019 г.

[Corry-3] Перейти обратно: ^а ^б Корри, Лео (сентябрь 1992 г.). «Николя Бурбаки и концепция математической структуры». Синтезируйте . 92 (3): 315–348. дои : 10.1007/bf00414286 . JSTOR 20117057 . S2CID 16981077 .

[Wells-4] Уэллс, Ричард Б. (2010). Обработка биологических сигналов и вычислительная нейронаука (PDF) . стр. 296–335 . Проверено 7 апреля 2016 г.

[1]

[2]

[3]

[4]