Третья производная

В исчислении , разделе математики , третья производная или производная третьего порядка — это скорость, с которой изменяется вторая производная , или скорость изменения скорости изменения. Третья производная функции $y=f(x)$ может быть обозначено

{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\quad f'''(x),\quad {\text{or }}{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[f(x)].

Могут использоваться и другие обозначения, но приведенные выше являются наиболее распространенными.

Математические определения

Позволять $f(x)=x^{4}$ . Затем $f'(x)=4x^{3}$ и $f''(x)=12x^{2}$ . Следовательно, третья производная f в данном случае равна

f'''(x)=24x

или, используя обозначения Лейбница ,

{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[x^{4}]=24x.

Теперь более общее определение. Пусть f — любая функция от x такая, что f » дифференцируема . Тогда третья производная f определяется выражением

{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[f(x)]={\frac {d}{dx}}[f''(x)].

Третья производная — это скорость, с которой вторая производная ( f »( x меняется ))

Приложения в геометрии [ править ]

В дифференциальной геометрии кручение кривой — фундаментальное свойство кривых в трёх измерениях — вычисляется с использованием третьих производных координатных функций (или вектора положения), описывающих кривую. ^[1]

Приложения в физике [ править ]

В физике , особенно в кинематике , рывок определяется как третья производная функции положения объекта. По сути, это скорость изменения ускорения . В математических терминах:

\mathbf {j} (t)={\frac {d^{3}\mathbf {r} }{dt^{3}}}

где j ( t ) — функция рывка по времени, а r ( t ) — функция положения объекта по времени.

Экономические примеры

Во время предвыборной кампании за второй срок президент США Ричард Никсон объявил, что темпы роста инфляции снижаются, что было отмечено как «первый раз, когда действующий президент использовал третью производную для продвижения своего дела о переизбрании». ^[2]Поскольку инфляция сама по себе является производной — скоростью, с которой снижается покупательная способность денег, — то скорость роста инфляции является производной инфляции, противоположной по знаку второй производной по времени от покупательной способности денег. Заявление о том, что функция убывает, эквивалентно утверждению, что ее производная отрицательна, поэтому утверждение Никсона состоит в том, что вторая производная инфляции отрицательна, а третья производная покупательной способности положительна.

Поскольку заявление Никсона допускало рост инфляции, его заявление не обязательно указывало на стабильность цен.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ ду Карму, Манфредо (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . ISBN 0-13-212589-7 .
^ Росси, Хьюго (октябрь 1996 г.). «Математика — это здание, а не набор инструментов» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 43 (10): 1108 . Проверено 13 ноября 2012 г.

[1] ду Карму, Манфредо (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . ISBN 0-13-212589-7 .

[2] Росси, Хьюго (октябрь 1996 г.). «Математика — это здание, а не набор инструментов» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 43 (10): 1108 . Проверено 13 ноября 2012 г.

[1]

[2]

Математические определения ​ ​