Обозначения Лейбница

ты

дх

д ² и

дх ²

Первая и вторая производные y по x в обозначениях Лейбница.

Готфрид Вильгельм фон Лейбниц (1646–1716), немецкий философ, математик и тезка этой широко используемой математической записи в исчислении.

В исчислении 17 - нотация Лейбница , названная в честь немецкого философа и математика го века Готфрида Вильгельма Лейбница , использует символы dx и dy для обозначения бесконечно малых (или бесконечно малых ) приращений x и y соответственно, точно так же, как Δ x и Δ. y представляют собой конечные приращения x и y соответственно.

Рассмотрим y как функцию переменной x , или y = f ( x ) . Если это так, то производная y x по , которую позже стали рассматривать как предел

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}},$

согласно Лейбницу, это частное бесконечно малого приращения y к бесконечно малому приращению x , или

${\frac {dy}{dx}}=f'(x),$

где правая часть — это обозначение Жозефа-Луи Лагранжа для производной f в точке x . Бесконечно малые приращения называются дифференциалами . С этим связан интеграл, в котором суммируются бесконечно малые приращения (например, для вычисления длин, площадей и объемов как суммы крошечных частей), для которого Лейбниц также предложил близкородственную систему обозначений, включающую те же дифференциалы, систему обозначений, эффективность которой оказалась решающей в развитие континентальной европейской математики.

Концепция бесконечно малых чисел Лейбница, которая долгое время считалась слишком неточной, чтобы ее можно было использовать в качестве основы исчисления, в конечном итоге была заменена строгими концепциями, разработанными Вейерштрассом и другими в 19 веке. Следовательно, факторнотация Лейбница была переинтерпретирована, чтобы обозначить предел современного определения. Однако во многих случаях этот символ, казалось, действительно действовал как фактическое частное, и его полезность сохраняла его популярность даже перед лицом нескольких конкурирующих обозначений. В 20 веке было разработано несколько различных формализмов, которые могут придать строгий смысл понятиям бесконечно малых и бесконечно малых смещений, включая нестандартный анализ , касательное пространство , обозначение O и другие.

Производные и интегралы исчисления могут быть объединены в современную теорию дифференциальных форм , в которой производная действительно является отношением двух дифференциалов, а интеграл также ведет себя в точном соответствии с обозначениями Лейбница. Однако для этого требуется, чтобы производная и интеграл были сначала определены другими способами, и, как таковые, выражают самосогласованность и вычислительную эффективность нотации Лейбница, а не дают ей новую основу.

История

Рукопись Лейбница с интегральной и дифференциальной записью

Подход Ньютона-Лейбница к исчислению бесконечно малых был представлен в 17 веке. В то время как Ньютон работал с флюксиями и флюэнтами, Лейбниц основывал свой подход на обобщениях сумм и разностей. Лейбниц адаптировал интегральный символ $\textstyle \int$ от начальной удлиненной буквы латинского слова ſ umma («сумма»), написанного в то время. Рассматривая различия как обратную операцию суммирования, для обозначения этой обратной операции он использовал символ d , первую букву латинского дифференциала . Лейбниц был привередлив в отношении обозначений, потратив годы на эксперименты, корректировки, отклонения и переписку с другими математиками по поводу них. Обозначения, которые он использовал для дифференциала y, последовательно варьировались от ω , l и г / д, пока он наконец не остановился на ды . Его интегральный знак впервые появился публично в статье « De Geometria Recondita et analisi indivisibilium atque infinitorum» («О скрытой геометрии и анализе неделимых и бесконечностей»), опубликованной в Acta Eruditorum в июне 1686 года. но он использовал его в частных рукописях по крайней мере с 1675 года. Лейбниц впервые использовал dx в статье « Nova Methodus pro Maximis et Minimis », также опубликованной в Acta Eruditorum в 1684 году. В то время как символ dx / dy действительно встречается в частных рукописях 1675 г., в таком виде он не встречается ни в одной из упомянутых выше опубликованных работ. Однако Лейбниц использовал такие формы, как dy ad dx и dy : dx . в печати

В конце XIX века последователи Вейерштрасса перестали буквально воспринимать обозначения Лейбница для производных и интегралов. То есть математики чувствовали, что понятие бесконечно малых содержит логические противоречия в своем развитии. Ряд математиков XIX века (Вейерштрасс и другие) нашли логически строгие способы обработки производных и интегралов без бесконечно малых, используя пределы, как показано выше, в то время как Коши использовал как бесконечно малые, так и пределы (см. Курс анализа ). Тем не менее, обозначения Лейбница до сих пор широко используются. метод разделения переменных Хотя эти обозначения не обязательно понимать буквально, они обычно проще, чем альтернативы, когда при решении дифференциальных уравнений используется . В физических приложениях можно, например, считать, что f ( x ) измеряется в метрах в секунду, а d x — в секундах, так что f ( x ) d x измеряется в метрах, как и значение его определенного интеграла. Таким образом, обозначения Лейбница согласуются с анализом размерностей. .

Лейбница

Основная статья: Обозначения для дифференцирования

Предположим, что зависимая переменная y представляет собой функцию f независимой переменной x , то есть

$y=f(x).$

Тогда производная функции f Лейбница в обозначениях для дифференцирования может быть записана как

${\frac {dy}{dx}}\,{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}y\,{\text{ or }}{\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}.$

Выражение Лейбница, иногда записываемое dy / dx , является одним из нескольких обозначений, используемых для производных и производных функций. Распространенной альтернативой является обозначение Лагранжа.

${\frac {dy}{dx}}\,=y'=f'(x).$

Другой альтернативой является обозначение Ньютона , часто используемое для производных по времени (например, скорости ), которое требует помещения точки над зависимой переменной (в данном случае x ):

${\frac {dx}{dt}}={\dot {x}}.$

» обозначение Лагранжа « Простое особенно полезно при обсуждении производных функций и имеет то преимущество, что позволяет естественным образом обозначить значение производной функции в определенном значении. Однако у обозначения Лейбница есть и другие достоинства, которые на протяжении многих лет сохраняли его популярность.

В современной интерпретации выражение dy / dx не следует читать как деление двух величин dx и dy (как это предполагал Лейбниц); скорее, все выражение следует рассматривать как один символ, являющийся сокращением от

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

(обратите внимание на Δ и d , где Δ указывает на конечную разность).

Выражение также можно рассматривать как применение дифференциального оператора d / dx (опять же один символ) до y , рассматриваемого как функция x . Этот оператор записывается D в обозначениях Эйлера . Лейбниц не использовал эту форму, но использование им символа d довольно близко соответствует этой современной концепции.

Хотя традиционно в обозначении не подразумевается деление (см. раздел «Нестандартный анализ »), обозначение, подобное делению, полезно, поскольку во многих ситуациях оператор производной действительно ведет себя как деление, что позволяет легко получить и запомнить некоторые результаты о производных. Это обозначение обязано своим долголетием тому факту, что оно, по-видимому, затрагивает самую суть геометрических и механических приложений исчисления.

для высших

Если y = f ( x ) , n- я производная от f в обозначениях Лейбница определяется формулой:

$f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.$

Это обозначение для второй производной получается с помощью d / dx в качестве оператора следующим образом:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).$

Третья производная, которую можно записать как:

${\frac {d\left({\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}\right)}{dx}}\,,$

можно получить из

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right).$

Аналогично, высшие производные могут быть получены индуктивным путем.

Хотя можно, используя тщательно подобранные определения, интерпретировать dy / dx как частное дифференциалов , этого не следует делать с формами более высокого порядка. Однако альтернативное обозначение Лейбница для дифференцирования высших порядков допускает это.

Однако Лейбниц не использовал эти обозначения. В печати он не использовал многоярусную систему обозначений и числовые показатели (до 1695 г.). Чтобы написать х ³ например, он писал xxx , как это было принято в его время. Квадрат дифференциала, как он мог бы появиться, например, в формуле длины дуги , записывался как dxdx . Однако Лейбниц использовал свою нотацию d так же, как мы сегодня используем операторы, а именно, он записывал вторую производную как ddy , а третью производную как dddy . В 1695 году Лейбниц начал писать d. ² ⋅ х и d ³ ⋅ x для ddx и dddx соответственно, но Лопиталь в своем учебнике по исчислению, написанном примерно в то же время, использовал оригинальные формы Лейбница.

Использование в различных формулах

Одна из причин того, что обозначения Лейбница в исчислении сохранились так долго, заключается в том, что они позволяют легко вспомнить соответствующие формулы, используемые для дифференцирования и интегрирования. Например, цепное правило — предположим, что функция g дифференцируема в точке x , а y = f ( u ) дифференцируема в точке u = g ( x ) . Тогда составная функция y = f ( g ( x )) дифференцируема в точке x , и ее производная может быть выражена в обозначениях Лейбница как:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.$

чтобы иметь дело с композициями нескольких соответствующим образом определенных и связанных функций u ₁ , u ₂ , ..., un _{Это можно обобщить ,} и будет выражаться как:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du_{1}}}\cdot {\frac {du_{1}}{du_{2}}}\cdot {\frac {du_{2}}{du_{3}}}\cdots {\frac {du_{n}}{dx}}.$

Кроме того, формула интегрирования путем замены может быть выражена формулой

$\int y\,dx=\int y{\frac {dx}{du}}\,du,$

где x рассматривается как функция новой переменной u , а функция y слева выражается через x, а справа — через u .

Если y = f ( x ), где f — дифференцируемая функция, которая является обратимой , производная обратной функции, если она существует, может быть задана формулой:

${\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\left({\frac {dy}{dx}}\right)}},$

где скобки добавлены, чтобы подчеркнуть тот факт, что производная не является дробью.

Однако при решении дифференциальных уравнений легко представить, что dy и dx являются разделимыми. Одним из простейших типов дифференциальных уравнений является

$M(x)+N(y){\frac {dy}{dx}}=0,$

где M и N — непрерывные функции. Решение (неявно) такого уравнения можно выполнить, рассматривая уравнение в его дифференциальной форме :

$M(x)dx+N(y)dy=0$

и интегрируем для получения

$\int M(x)\,dx+\int N(y)\,dy=C.$

Переписывание, когда это возможно, дифференциального уравнения в эту форму и применение приведенного выше аргумента известно как метод разделения переменных для решения таких уравнений.

В каждом из этих случаев обозначение производной Лейбница действует как дробь, хотя в современной интерпретации она таковой не является.

Современное обоснование бесконечно малых величин

В 1960-х годах, основываясь на более ранних работах Эдвина Хьюитта и Ежи Лоша , Абрахам Робинсон разработал математические объяснения бесконечно малых чисел Лейбница, которые были приемлемы по современным стандартам строгости, и разработал нестандартный анализ, основанный на этих идеях. Методы Робинсона использует лишь меньшинство математиков. Джером Кейслер написал учебник по математическому анализу для первого курса « Элементарное исчисление: подход бесконечно малых» , основанный на подходе Робинсона.

С точки зрения современной теории бесконечно малых, Δ x — это бесконечно малое приращение x , Δ y — соответствующее приращение y , а производная — это стандартная часть бесконечно малого отношения:

$f'(x)={\rm {st}}{\Bigg (}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\Bigg )}$.

Затем один устанавливает $dx=\Delta x$, $dy=f'(x)dx$, так что по определению $f'(x)$ — отношение dy к dx .

Точно так же, хотя большинство математиков сейчас рассматривают интеграл

$\int f(x)\,dx$

как предел

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x,$

где Δx xi — интервал, содержащий Лейбниц _, рассматривал его как сумму (знак интеграла обозначал для него суммирование) бесконечного числа бесконечно малых величин f ( x ) dx . С точки зрения нестандартного анализа корректно рассматривать интеграл как стандартную часть такой бесконечной суммы.

Компромисс, необходимый для достижения точности этих концепций, заключается в том, что набор действительных чисел должен быть расширен до набора гипердействительных чисел .

Другие обозначения Лейбница

Лейбниц экспериментировал с множеством различных обозначений в различных областях математики. Он считал, что хорошие обозначения имеют основополагающее значение для изучения математики. В письме в Лопиталю в 1693 году он говорит:

Один из секретов анализа состоит в характеристике, то есть в искусстве умелого использования имеющихся знаков, и вы увидите, сэр, по небольшому вложению [о детерминантах], что Вьета и Декарт не знали всех тайн. .

Со временем он усовершенствовал свои критерии хорошей записи и осознал ценность «принятия символики, которую можно было бы разместить в строке, как обычный шрифт, без необходимости расширять промежутки между строками, чтобы освободить место для символов с разросшимися частями». Например, в своих ранних работах он активно использовал винкулум для обозначения группировки символов, но позже он ввел идею использования для этой цели пар круглых скобок, успокаивая тем самым наборщиков, которым больше не приходилось увеличивать промежутки между строками на странице. и сделать страницы более привлекательными.

Многие из более чем 200 новых символов, введенных Лейбницем, используются до сих пор. Помимо уже упомянутых дифференциалов dx , dy и знака интеграла (∫), он также ввел двоеточие (:) для деления, среднюю точку (⋅) для умножения, геометрические знаки подобия (~) и сравнения (≅), использование знака равенства Рекорда (=) для пропорций (заменяющего обозначение Оттреда : :) и двойного суффикса обозначения определителей.

См. также

• Споры об исчислении Лейбница-Ньютона

Ссылки

• Бриггс, Уильям; Кокран, Лайл (2010), Исчисление / Ранние трансцендентальные явления / Одна переменная , Аддисон-Уэсли, ISBN  978-0-321-66414-3
• Каджори, Флориан (1993) [1928], История математических обозначений , Нью-Йорк: Дувр, ISBN  0-486-67766-4
• Кац, Виктор Дж. (1993), История математики / Введение (2-е изд.), Аддисон Уэсли Лонгман, ISBN  978-0-321-01618-8
• Мазур, Джозеф (2014), Просветляющие символы / Краткая история математической записи и ее скрытых возможностей , Princeton University Press, ISBN  978-0-691-17337-5
• Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативное издание), Приндл, Вебер и Шмидт, ISBN  0-87150-341-7