Пространство Минковского

Чтобы узнать о вымышленной концепции франшизы Gundam , см. Технология Gundam Universal Century § Физика Миновского .

Для использования в алгебраической теории чисел см. Пространство Минковского (числовое поле) .

Герман Минковский (1864–1909) обнаружил, что специальную теорию относительности лучше всего понимать как четырехмерное пространство, известное с тех пор как пространство-время Минковского.

В физике ( пространство Минковского или пространство-время Минковского ) ( / m ɪ ŋ ˈ k ɔː f s k i , - ˈ k ɒ f -/ ) — основное математическое описание пространства-времени в отсутствие гравитации . Он объединяет пространство и время в инерциальное четырехмерную модель .

Модель помогает показать, что пространственно-временной интервал между любыми двумя событиями не зависит от инерциальной системы отсчета, в которой они записаны. Математик Герман Минковский разработал его на основе работ Хендрика Лоренца , Анри Пуанкаре и других, заявив, что он «был выращен на экспериментальных физических основаниях».

Пространство Минковского тесно связано с Эйнштейна теориями специальной относительности и общей теории относительности и является наиболее распространенной математической структурой, с помощью которой формализуется специальная теория относительности. В то время как отдельные компоненты в евклидовом пространстве и времени могут различаться из-за сокращения длины и замедления времени , в пространстве-времени Минковского все системы отсчета согласуются с общим интервалом в пространстве-времени между событиями. Пространство Минковского отличается от четырехмерного евклидова пространства тем, что оно рассматривает время иначе, чем три пространственных измерения.

В трехмерном евклидовом пространстве ( группа изометрии отображения, сохраняющие регулярное евклидово расстояние ) является евклидовой группой . Оно генерируется вращением , отражением и перемещением . Когда время добавляется в качестве четвертого измерения, добавляются дальнейшие преобразования сдвигов во времени и повышения Лоренца , и группа всех этих преобразований называется группой Пуанкаре . Модель Минковского следует специальной теории относительности, согласно которой движение вызывает замедление времени, изменяющее масштаб, примененный к движущемуся кадру, и сдвигает фазу света.

Пространство-время снабжено неопределенной невырожденной билинейной формой , называемой метрикой Минковского , или квадрат нормы Минковского внутренний продукт Минковского в зависимости от контекста. Внутренний продукт Минковского определяется так, чтобы получить пространственно-временной интервал между двумя событиями, если в качестве аргумента задан их вектор разности координат. Математическая модель пространства-времени, оснащенная этим внутренним продуктом, называется пространством Минковского. Группой преобразований пространства Минковского, сохраняющей пространственно-временной интервал (в отличие от пространственного евклидова расстояния), является группа Пуанкаре (в отличие от группы Галилея ).

История

Комплексное пространство-время Минковского

См. Также: Четырехмерное пространство.

В своей второй статье по теории относительности в 1905 году Анри Пуанкаре показал . как, приняв время за воображаемую четвертую пространственно-временную координату ict , где c — скорость света , а i — воображаемая единица измерения , преобразования Лоренца можно визуализировать как обычное вращение четырехмерной евклидовой сферы. Четырехмерное пространство-время можно представить как четырехмерное пространство, где каждая точка представляет событие в пространстве-времени. Тогда преобразования Лоренца можно рассматривать как вращения в этом четырехмерном пространстве, где ось вращения соответствует направлению относительного движения между двумя наблюдателями, а угол вращения связан с их относительной скоростью.

Чтобы понять эту концепцию, следует рассмотреть координаты события в пространстве-времени, представленные в виде четырехвектора ( t , x , y , z ) . Преобразование Лоренца представляет собой матрицу , которая действует на четырехвектор, изменяя его компоненты. Эту матрицу можно рассматривать как матрицу вращения в четырехмерном пространстве, которая вращает четырехвектор вокруг определенной оси. $$x^{2}+y^{2}+z^{2}+(ict)^{2}={\text{constant}}.$$

Вращения в плоскостях, натянутых на два единичных вектора пространства, появляются в координатном пространстве, а также в физическом пространстве-времени как евклидовы вращения и интерпретируются в обычном смысле. «Вращение» в плоскости, охватываемой единичным вектором пространства и единичным вектором времени, хотя формально все еще является вращением в координатном пространстве, является усилением Лоренца в физическом пространстве-времени с реальными инерциальными координатами. Аналогия с евклидовыми вращениями лишь частичная, поскольку радиус сферы на самом деле мнимый, что превращает вращения во вращения в гиперболическом пространстве (см. гиперболическое вращение ).

Эта идея, лишь кратко упомянутая Пуанкаре, была развита Минковским в статье на немецком языке, опубликованной в 1908 году, под названием «Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах». Он переформулировал уравнения Максвелла как симметричный набор уравнений с четырьмя переменными ( x , y , z , ict ) в сочетании с переопределенными векторными переменными для электромагнитных величин, и он смог прямо и очень просто показать их инвариантность относительно преобразования Лоренца. Он также внес другой важный вклад и впервые использовал матричную запись в этом контексте.Из своей переформулировки он пришел к выводу, что ко времени и пространству следует относиться одинаково, и так возникла его концепция событий, происходящих в едином четырехмерном пространственно-временном континууме .

Настоящее пространство-время Минковского

В дальнейшем развитии своей лекции «Пространство и время» 1908 года Минковский дал альтернативную формулировку этой идеи, которая использовала координату реального времени вместо воображаемой, представляя четыре переменные ( x , y , z , t ) пространства и времени в координатной форме в четырехмерном реальном векторном пространстве. . Точки в этом пространстве соответствуют событиям в пространстве-времени. В этом пространстве существует определенный световой конус , связанный с каждой точкой, и события, находящиеся за пределами светового конуса, классифицируются по их отношению к вершине как пространственноподобные или времениподобные . В основном именно такой взгляд на пространство-время актуален в настоящее время, хотя более старый взгляд на мнимое время также повлиял на специальную теорию относительности.

В английском переводе статьи Минковского метрика Минковского, определенная ниже, называется линейным элементом . Внутренний продукт Минковского ниже выглядит безымянным, когда речь идет об ортогональности (которую он называет нормальностью ) определенных векторов, а квадрат нормы Минковского упоминается (несколько загадочно, возможно, это зависит от перевода) как «сумма».

Основным инструментом Минковского является диаграмма Минковского , и он использует ее для определения понятий и демонстрации свойств преобразований Лоренца (например, сокращения собственного времени и длины ), а также для обеспечения геометрической интерпретации обобщения ньютоновской механики на релятивистскую механику . По этим специальным темам см. статьи, на которые есть ссылки, поскольку изложение ниже будет в основном ограничено математической структурой (метрика Минковского и производные от нее величины и группа Пуанкаре как группа симметрии пространства-времени), вытекающими из инвариантности пространственно-временного интервала на Пространственно-временное многообразие как следствие постулатов специальной теории относительности, а не конкретного применения или вывода инвариантности пространственно-временного интервала. Эта структура обеспечивает основу всех существующих релятивистских теорий, за исключением общей теории относительности, для которой плоское пространство-время Минковского по-прежнему служит трамплином, поскольку искривленное пространство-время локально лоренцево.

Минковский, зная о фундаментальном повторении сделанной им теории, сказал:

Взгляды на пространство и время, которые я хочу изложить вам, возникли на почве экспериментальной физики, и в этом их сила. Они радикальны. Отныне пространство само по себе и время само по себе обречены раствориться в одних тенях, и только своего рода союз того и другого сохранит независимую реальность.

- Герман Минковский, 1908, 1909 гг.

Хотя Минковский сделал важный шаг в развитии физики, Альберт Эйнштейн видел его ограничения:

В то время, когда Минковский давал геометрическую интерпретацию специальной теории относительности, расширяя евклидово трехмерное пространство до квазиевклидова четырехмерного пространства, включающего время, Эйнштейн уже осознавал, что это неверно, поскольку исключает явление гравитации . Ему было еще далеко до изучения криволинейных координат и римановой геометрии , и это влекло за собой тяжелый математический аппарат.

Для получения дополнительной исторической информации см. ссылки Галисон (1979) , Корри (1997) и Уолтер (1999) .

Причинная структура

Основная статья: Причинная структура

Подразделение пространства-времени Минковского относительно события на четыре непересекающихся множества: световой конус , причинное будущее (также называемое абсолютным будущим ), причинное прошлое (также называемое абсолютным прошлым ) и другие места . Терминология взята из Sard (1970) и «Причинной структуры» .

Где v — скорость, x , y и z — декартовы координаты в трехмерном пространстве, c — константа, представляющая универсальный предел скорости, а t — время, четырехмерный вектор v = ( ct , x , y , z ) = ( ct , r ) классифицируется по знаку c ² т ² − р ² . Вектор времениподобен, если c ² т ² > р ² , пространственноподобный , если c ² т ² < р ² , и нулевой или светоподобный, если c ² т ² = р ² . Это можно выразить через знак η ( v , v ) , также называемый скалярным произведением , который зависит от подписи. Классификация любого вектора будет одинаковой во всех системах отсчета, связанных преобразованием Лоренца (но не общим преобразованием Пуанкаре, поскольку при этом начало координат может быть смещено) из-за инвариантности пространственно-временного интервала при преобразовании Лоренца.

Набор всех нулевых векторов в событии пространства Минковского представляет собой световой конус этого события. Учитывая времениподобный вектор v , с ним связана мировая линия постоянной скорости, представленная прямой линией на диаграмме Минковского.

Как только направление времени выбрано, времяподобные и нулевые векторы можно дополнительно разложить на различные классы. Для времениподобных векторов имеем

1. направленные в будущее времяподобные векторы, первый компонент которых положителен (кончик вектора расположен в причинно-следственном будущем (также называемом абсолютным будущим) на рисунке) и
2. времяподобные векторы, направленные в прошлое, первый компонент которых отрицателен (причинное прошлое (также называемое абсолютным прошлым)).

Нулевые векторы делятся на три класса:

1. нулевой вектор, компоненты которого в любом базисе равны (0, 0, 0, 0) (начало координат),
2. направленные в будущее нулевые векторы, первый компонент которых положителен (верхний световой конус), и
3. направленные в прошлое нулевые векторы, первый компонент которых отрицательный (нижний световой конус).

Вместе с пространственноподобными векторами всего имеется 6 классов.

Ортонормированный . базис пространства Минковского обязательно состоит из одного времениподобного и трех пространственноподобных единичных векторов Если кто-то хочет работать с неортонормированными базисами, можно использовать другие комбинации векторов. Например, можно легко построить (неортонормированный) базис, полностью состоящий из нулевых векторов, называемый нулевым базисом .

Векторные поля называются времениподобными, пространственноподобными или нулевыми, если соответствующие векторы являются времениподобными, пространственноподобными или нулевыми в каждой точке, где определено поле.

Свойства времениподобных векторов

Времяподобные векторы имеют особое значение в теории относительности, поскольку соответствуют событиям, доступным наблюдателю в точке (0, 0, 0, 0) со скоростью меньшей скорости света. Наибольший интерес представляют времениподобные векторы, которые одинаково направлены , т.е. все либо в прямом, либо в обратном конусе. Такие векторы обладают несколькими свойствами, которых нет у пространственноподобных векторов. Они возникают потому, что и передний, и задний конусы выпуклы, тогда как пространственная область не является выпуклой.

Скалярное произведение

Скалярное произведение двух времяподобных векторов u ₁ = ( t ₁ , x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и u ₂ = ( t ₂ , x ₂ , y ₂ , z ₂ ) равно $$\eta (u_{1},u_{2})=u_{1}\cdot u_{2}=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}.$$

Положительность скалярного произведения . Важным свойством является то, что скалярное произведение двух одинаково направленных времяподобных векторов всегда положительно. Это можно видеть из обращенного неравенства Коши – Шварца ниже. Отсюда следует, что если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то по крайней мере один из них должен быть пространственноподобным. Скалярное произведение двух пространственноподобных векторов может быть положительным или отрицательным, как можно увидеть, рассматривая произведение двух пространственноподобных векторов, имеющих ортогональные пространственные компоненты и времена разных или одинаковых знаков.

Используя свойство положительности времяподобных векторов, легко проверить, что линейная сумма с положительными коэффициентами при одинаково направленных времяподобных векторах также является одинаково направленной времениподобной (сумма остается внутри светового конуса из-за выпуклости).

Норма и обратное неравенство Коши

Норма времениподобного вектора u = ( ct , x , y , z ) определяется как $$\left\|u\right\|={\sqrt {\eta (u,u)}}={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}$$

Обратное неравенство Коши является еще одним следствием выпуклости любого светового конуса. Для двух различных одинаково направленных времениподобных векторов u ₁ и u ₂ это неравенство имеет вид $$\eta (u_{1},u_{2})>\left\|u_{1}\right\|\left\|u_{2}\right\|$$или алгебраически, $$c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}>{\sqrt {\left(c^{2}t_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-z_{1}^{2}\right)\left(c^{2}t_{2}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2}-z_{2}^{2}\right)}}$$

Отсюда видно положительное свойство скалярного произведения.

Неравенство перевернутого треугольника

Для двух одинаково направленных времениподобных векторов u и w неравенство имеет вид $$\left\|u+w\right\|\geq \left\|u\right\|+\left\|w\right\|,$$где равенство выполняется, когда векторы линейно зависимы .

В доказательстве используется алгебраическое определение с обратным неравенством Коши: $${\begin{aligned}\left\|u+w\right\|^{2}&=\left\|u\right\|^{2}+2\left(u,w\right)+\left\|w\right\|^{2}\\[5mu]&\geq \left\|u\right\|^{2}+2\left\|u\right\|\left\|w\right\|+\left\|w\right\|^{2}=\left(\left\|u\right\|+\left\|w\right\|\right)^{2}.\end{aligned}}$$

Результат теперь получается путем извлечения квадратного корня из обеих частей.

Математическая структура

Ниже предполагается, что пространство-время наделено системой координат, соответствующей инерциальной системе отсчета . Это обеспечивает начало координат , необходимое для моделирования пространства-времени как векторного пространства. Это добавление не требуется, а более сложные методы, аналогичные аффинному пространству, могут удалить лишнюю структуру. Однако это не вводное соглашение и здесь не рассматривается.

Для обзора: пространство Минковского представляет собой 4 -мерное действительное векторное пространство , снабженное невырожденной симметричной билинейной формой на касательном пространстве в каждой точке пространства-времени, здесь называемое просто внутренним произведением Минковского , с метрической сигнатурой либо (+ - - −) или (− + + +) . Касательное пространство в каждом событии является векторным пространством того же измерения, что и пространство-время, 4 .

Касательные векторы

Наглядное представление касательного пространства в точке x на сфере . Это векторное пространство можно рассматривать как подпространство R ³ сам. Тогда векторы в нем будут называться геометрическими касательными векторами . По тому же принципу касательное пространство в точке плоского пространства-времени можно рассматривать как подпространство пространства-времени, которое целиком представляет собой пространство-время.

На практике не нужно беспокоиться о касательных пространствах. Структура векторного пространства пространства Минковского позволяет канонически отождествлять векторы в касательных пространствах в точках (событиях) с векторами (точками, событиями) в самом пространстве Минковского. См., например, Ли (2003 , предложение 3.8) или Ли (2012 , предложение 3.13). Эти идентификации обычно выполняются в математике. Формально их можно выразить в декартовых координатах как $${\begin{aligned}\left(x^{0},\,x^{1},\,x^{2},\,x^{3}\right)\ &\leftrightarrow \ \left.x^{0}\mathbf {e} _{0}\right|_{p}+\left.x^{1}\mathbf {e} _{1}\right|_{p}+\left.x^{2}\mathbf {e} _{2}\right|_{p}+\left.x^{3}\mathbf {e} _{3}\right|_{p}\\&\leftrightarrow \ \left.x^{0}\mathbf {e} _{0}\right|_{q}+\left.x^{1}\mathbf {e} _{1}\right|_{q}+\left.x^{2}\mathbf {e} _{2}\right|_{q}+\left.x^{3}\mathbf {e} _{3}\right|_{q}\end{aligned}}$$с базисными векторами в касательных пространствах, определяемых формулой $$\left.\mathbf {e} _{\mu }\right|_{p}=\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p}{\text{ or }}\mathbf {e} _{0}|_{p}=\left({\begin{matrix}1\\0\\0\\0\end{matrix}}\right){\text{, etc}}.$$

Здесь p и q — любые два события, а вторая идентификация базисного вектора называется параллельной транспортировкой . Первое отождествление — это каноническое отождествление векторов касательного пространства в любой точке с векторами в самом пространстве. Именно с этим отождествлением связано появление базисных векторов в касательных пространствах как дифференциальных операторов первого порядка. Это мотивировано наблюдением, что геометрический касательный вектор может быть взаимно однозначно связан с оператором производной по направлению на множестве гладких функций. Это способствует определению касательных векторов в многообразиях, не обязательно вложенных в R. ^н . Такое определение касательных векторов не является единственно возможным, поскольку обычные n можно использовать и -кортежи.

показывать

Определения касательных векторов как обычных векторов

A tangent vector at a point p may be defined, here specialized to Cartesian coordinates in Lorentz frames, as 4 × 1 column vectors v associated to each Lorentz frame related by Lorentz transformation Λ such that the vector v in a frame related to some frame by Λ transforms according to v → Λv. This is the same way in which the coordinates x^μ transform. Explicitly,$${\begin{aligned}x'^{\mu }&={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu },\\v'^{\mu }&={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }v^{\nu }.\end{aligned}}$$

This definition is equivalent to the definition given above under a canonical isomorphism.

Для некоторых целей желательно отождествить касательные векторы в точке p с векторами смещения в точке p , что, конечно, допустимо при по существу той же канонической идентификации. Идентификации векторов, упомянутые выше в математической постановке, соответственно, можно найти в более физической и явно геометрической постановке у Миснера, Торна и Уилера (1973) . Они предлагают различную степень сложности (и строгости) в зависимости от того, какую часть материала вы предпочитаете читать.

Метрическая подпись

Метрическая сигнатура относится к тому, какой знак дает внутренний продукт Минковского, когда в качестве аргументов заданы пространство ( spacelike точнее, , определено ниже) и базисные векторы времени ( timelike ). Дальнейшее обсуждение этого теоретически несущественного, но практически необходимого выбора в целях внутренней согласованности и удобства отложено до скрытого поля ниже. См. также страницу, посвященную соглашению о знаках в теории относительности.

показывать

Выбор сигнатуры метрики

In general, but with several exceptions, mathematicians and general relativists prefer spacelike vectors to yield a positive sign, (− + + +), while particle physicists tend to prefer timelike vectors to yield a positive sign, (+ − − −). Authors covering several areas of physics, e.g. Steven Weinberg and Landau and Lifshitz ((− + + +) and (+ − − −) respectively) stick to one choice regardless of topic. Arguments for the former convention include "continuity" from the Euclidean case corresponding to the non-relativistic limit c → ∞. Arguments for the latter include that minus signs, otherwise ubiquitous in particle physics, go away. Yet other authors, especially of introductory texts, e.g. Kleppner & Kolenkow (1978), do not choose a signature at all, but instead, opt to coordinatize spacetime such that the time coordinate (but not time itself!) is imaginary. This removes the need for the explicit introduction of a metric tensor (which may seem like an extra burden in an introductory course), and one needs not be concerned with covariant vectors and contravariant vectors (or raising and lowering indices) to be described below. The inner product is instead affected by a straightforward extension of the dot product in R³ to R³ × C. This works in the flat spacetime of special relativity, but not in the curved spacetime of general relativity, see Misner, Thorne & Wheeler (1973, Box 2.1, Farewell to ict) (who, by the way use (− + + +)). MTW also argues that it hides the true indefinite nature of the metric and the true nature of Lorentz boosts, which are not rotations. It also needlessly complicates the use of tools of differential geometry that are otherwise immediately available and useful for geometrical description and calculation – even in the flat spacetime of special relativity, e.g. of the electromagnetic field.

Терминология

Математически с билинейной формой связан тензор типа (0,2) в каждой точке пространства-времени, называемый метрикой Минковского . Метрика Минковского, билинейная форма и внутренний продукт Минковского — это один и тот же объект; это билинейная функция, которая принимает два (контравариантных) вектора и возвращает вещественное число. В координатах это матрица 4×4, представляющая билинейную форму.

Для сравнения: в общей теории относительности L лоренцево многообразие также снабжено метрическим тензором g который является невырожденной симметричной билинейной формой на касательном пространстве T _p L в каждой точке p L , . В координатах он может быть представлен матрицей ×4 4 в зависимости от положения в пространстве-времени . Таким образом, пространство Минковского представляет собой сравнительно простой частный случай лоренцева многообразия . Его метрический тензор находится в координатах с одной и той же симметричной матрицей в каждой точке M , а его аргументы, как указано выше, могут быть взяты как векторы в самом пространстве-времени.

Вводя больше терминологии (но не структуры), пространство Минковского, таким образом, является псевдоевклидовым пространством с общей размерностью n = 4 и сигнатурой (3, 1) или (1, 3) . Элементы пространства Минковского называются событиями . Пространство Минковского часто обозначается R ^3,1 или Р ^1,3 чтобы подчеркнуть выбранную подпись, или М. просто Это пример псевдориманова многообразия .

Тогда математически метрика представляет собой билинейную форму в абстрактном четырехмерном действительном векторном пространстве V , то есть $$\eta :V\times V\rightarrow \mathbb {R}$$где η имеет подпись (−, +, +, +) , а подпись является координатно-инвариантным свойством η . Пространство билинейных карт образует векторное пространство, которое можно отождествить с $M^{*}\otimes M^{*}$, и η можно эквивалентно рассматривать как элемент этого пространства. Сделав выбор ортонормированного базиса $\{e_{\mu }\}$, $M:=(V,\eta )$ можно отождествить с пространством $\mathbb {R} ^{1,3}:=(\mathbb {R} ^{4},\eta _{\mu \nu })$. Обозначение призвано подчеркнуть тот факт, что M и $\mathbb {R} ^{1,3}$ являются не просто векторными пространствами, но имеют дополнительную структуру. $\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(-1,+1,+1,+1)$.

Интересным примером неинерциальных координат для (части) пространства-времени Минковского являются координаты Борна . Еще один полезный набор координат — это координаты светового конуса .

Псевдоевклидовы метрики

Основные статьи: Псевдоевклидово пространство и лоренцевы многообразия

Внутренний продукт Минковского не является внутренним продуктом , поскольку он не является положительно-определенным , т. е. квадратичная форма η ( v , v ) не обязательно должна быть положительной для ненулевого v . Положительно определенное условие заменено более слабым условием невырожденности. Билинейная форма называется неопределенной .Метрика Минковского η — это метрический тензор пространства Минковского. Это псевдоевклидова метрика или, в более общем смысле, постоянная псевдориманова метрика в декартовых координатах. По сути, это невырожденная симметричная билинейная форма, тензор типа (0, 2) . принимает два аргумента , _up vp , _в векторы в TpM _p Он , p ∈ M касательное пространство точке в M. , Благодаря вышеупомянутому каноническому отождествлению TpM _с , с самим M он принимает аргументы u , v как с u, и v в M. так

В соответствии с соглашением об обозначениях векторы v в M , называемые 4-векторами , обозначаются курсивом, а не, как это принято в евклидовой среде, жирным шрифтом v . Последний обычно резервируется для 3- векторной части (которая будет представлена ​​ниже) 4- вектора.

Определение $$u\cdot v=\eta (u,\,v)$$дает структуру, подобную внутреннему продукту на M , ранее и в дальнейшем называемую внутренним продуктом Минковского , аналогичную внутреннему продукту Евклида , но она описывает другую геометрию. Его также называют релятивистским скалярным произведением . Если два аргумента одинаковы, $$u\cdot u=\eta (u,u)\equiv \|u\|^{2}\equiv u^{2},$$полученную величину будем называть квадратом нормы Минковского . Внутренний продукт Минковского удовлетворяет следующим свойствам.

Линейность по первому аргументу

$\eta (au+v,\,w)=a\eta (u,\,w)+\eta (v,\,w),\quad \forall u,\,v\in M,\;\forall a\in \mathbb {R}$

Симметрия

$\eta (u,\,v)=\eta (v,\,u)$

Невырожденность

$\eta (u,\,v)=0,\;\forall v\in M\ \Rightarrow \ u=0$

Первые два условия подразумевают билинейность. Определяющее различие между псевдовнутренним продуктом и собственно внутренним продуктом состоит в том, что первый не обязан быть положительно определенным, то есть η ( u , u ) < 0 допускается .

Наиболее важной особенностью внутреннего продукта и квадрата нормы является то, что на эти величины не влияют преобразования Лоренца . Фактически, его можно считать определяющим свойством преобразования Лоренца, поскольку оно сохраняет скалярное произведение (т. е. значение соответствующей билинейной формы на двух векторах). Этот подход применяется в более общем плане для всех классических групп, определяемых таким образом в классической группе . Там матрица Φ в случае O(3, 1) (группа Лоренца) идентична матрице η, которая будет отображена ниже.

Два вектора v и w называются ортогональными, если η ( v , w ) = 0 . Геометрическую интерпретацию ортогональности в частном случае, когда η ( v , v ) ≤ 0 и η ( w , w ) ≥ 0 (или наоборот), см. в разделе «Гиперболическая ортогональность » .

Вектор e называется единичным вектором , если η ( e , e ) = ±1 . Базис состоящий для M, из взаимно ортогональных единичных векторов, называется ортонормированным базисом .

Для данной инерциальной системы отсчета ортонормированный базис в пространстве в сочетании с вектором единичного времени образует ортонормированный базис в пространстве Минковского. Количество положительных и отрицательных единичных векторов в любом таком базисе представляет собой фиксированную пару чисел, равную сигнатуре билинейной формы, связанной со скалярным произведением. Это закон инерции Сильвестра .

Больше терминологии (но не больше структуры): метрика Минковского — это псевдориманова метрика , точнее, лоренцева метрика , точнее, метрика Лоренца, зарезервированная для 4 -мерного плоского пространства-времени, а оставшаяся неоднозначность является лишь соглашением о сигнатурах. .

Метрика Минковского

Не путать с расстоянием Минковского , которое также называют метрикой Минковского.

Из второго постулата специальной теории относительности , вместе с однородностью пространства-времени и изотропией пространства, следует, что пространственно-временной интервал между двумя произвольными событиями, называемыми 1 и 2, равен: $$c^{2}\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}-\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}-\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}-\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}.$$Эта величина не всегда упоминается в литературе. Интервал иногда называют квадратным корнем интервала, определенного здесь.

Инвариантность интервала относительно преобразований координат между инерциальными системами вытекает из инвариантности $$c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$$при условии, что преобразования линейны. Эту квадратичную форму можно использовать для определения билинейной формы. $$u\cdot v=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}$$через тождество поляризации . Эту билинейную форму, в свою очередь, можно записать как $$u\cdot v=u^{\textsf {T}}\,[\eta ]\,v,$$где [ η ] — $4\times 4$ матрица, связанная с η . Хотя это может сбить с толку, общепринятой практикой является обозначение [ η ] просто η . Матрица считывается из явной билинейной формы как $$\eta =\left({\begin{array}{r}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}}\right)\!,$$и билинейная форма $$u\cdot v=\eta (u,v),$$с которым этот раздел начинался, предполагая его существование, теперь отождествляется.

подпись (− + + +) Для определенности и краткости изложения ниже принята . Этот выбор (или другой возможный выбор) не имеет (известных) физических последствий. отображении Группа симметрии, сохраняющая билинейную форму с одним выбором сигнатуры, изоморфна (при приведенном здесь ) группе симметрии, сохраняющей другой выбор сигнатуры. Это означает, что оба выбора соответствуют двум постулатам относительности. Переключаться между двумя соглашениями очень просто. Если метрический тензор η использовался при выводе, вернитесь к самой ранней точке, где он использовался, замените η на − η и вернитесь вперед к желаемой формуле с желаемой метрической сигнатурой.

Стандартная основа

ортонормированный базис пространства Минковского — это набор из четырех взаимно ортогональных векторов { e0 _, , e1 _{Стандартный} , e2 _} , e3 _таких или что $$-\eta (e_{0},e_{0})=\eta (e_{1},e_{1})=\eta (e_{2},e_{2})=\eta (e_{3},e_{3})=1$$и для чего $$\eta (e_{\mu },e_{\nu })=0$$ когда ${\textstyle \mu \neq \nu \,.}$

Эти условия можно компактно записать в виде $$\eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.$$

Относительно стандартного базиса компоненты вектора v записываются ( v ⁰ , v ¹ , v ² , v ³ ), где в обозначениях Эйнштейна записано v = v ^м е _мкм . Компонент v ⁰ называется времениподобным компонентом v , а остальные три компонента называются пространственными компонентами . Пространственные компоненты 4- вектора v можно отождествить с 3- вектором v = ( v ₁ , v ₂ , v ₃ ) .

С точки зрения компонентов скалярное произведение Минковского между двумя векторами v и w определяется выражением

$$\eta (v,w)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu }=v^{0}w_{0}+v^{1}w_{1}+v^{2}w_{2}+v^{3}w_{3}=v^{\mu }w_{\mu }=v_{\mu }w^{\mu },$$и $$\eta (v,v)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }v^{\nu }=v^{0}v_{0}+v^{1}v_{1}+v^{2}v_{2}+v^{3}v_{3}=v^{\mu }v_{\mu }.$$

Здесь понижение индекса использовалось с метрикой.

Существует множество возможных вариантов стандартного базиса, удовлетворяющих условию $\eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.$ Любые два таких базиса в некотором смысле связаны преобразованием Лоренца либо матрицей замены базиса $\Lambda _{\nu }^{\mu }$, действительная матрица 4 × 4, удовлетворяющая $$\Lambda _{\rho }^{\mu }\eta _{\mu \nu }\Lambda _{\sigma }^{\nu }=\eta _{\rho \sigma }.$$или Λ , линейное отображение абстрактного векторного пространства, удовлетворяющее для любой пары векторов u , v , $$\eta (\Lambda u,\Lambda v)=\eta (u,v).$$

Тогда, если существуют две разные базы, { e ₀ , e ₁ , e ₂ , e ₃ } и { e ′ ₀ , e ′ ₁ , e ′ ₂ , e ′ ₃ } , $e_{\mu }'=e_{\nu }\Lambda _{\mu }^{\nu }$ может быть представлено как $e_{\mu }'=e_{\nu }\Lambda _{\mu }^{\nu }$ или $e_{\mu }'=\Lambda e_{\mu }$. Хотя может возникнуть соблазн подумать $\Lambda _{\nu }^{\mu }$ и Λ как одно и то же, математически они являются элементами разных пространств и действуют на пространство стандартных базисов с разных сторон.

Повышение и понижение индексов

Основные статьи: Повышение и понижение индексов и сокращение тензора

Линейные функционалы (1-формы) α , β и их сумма σ и векторы u , v , w в трёхмерном евклидовом пространстве . Количество гиперплоскостей (1-формы) , пересекаемых вектором, равно скалярному произведению .

Технически, невырожденная билинейная форма обеспечивает отображение между векторным пространством и его двойственным пространством; в этом контексте отображение находится между касательными пространствами и кокасательными пространствами M M . В точке M касательное и кокасательное пространства являются двойственными векторными пространствами (поэтому размерность кокасательного пространства в событии также равна 4 ). Точно так же, как подлинный скалярный продукт в векторном пространстве с одним фиксированным аргументом по теореме о представлении Рисса может быть выражен как действие линейного функционала на векторное пространство, то же самое справедливо и для внутреннего продукта Минковского пространства Минковского.

Таким образом, если v ^м являются компонентами вектора в касательном пространстве, то η _µν v ^м = v _ν — компоненты вектора в кокасательном пространстве (линейный функционал). Из-за отождествления векторов в касательных пространствах с векторами из самого M это чаще всего игнорируется, а векторы с меньшими индексами называются ковариантными векторами . В этой последней интерпретации ковариантные векторы (почти всегда неявно) отождествляются с векторами (линейными функционалами) в двойственном пространстве Минковского. Векторы с верхними индексами являются контравариантными векторами . Точно так же обратное отображение касательного пространства в коткасательное, явно заданное обратным значением η в матричном представлении, может использоваться для определения повышения индекса . Компоненты этого обратного обозначения обозначаются η ^{примечание} . Бывает, что η ^{примечание} = η _μν . Эти отображения между векторным пространством и его двойственным пространством можно обозначить η ^♭ (эта-бемоль) и η ^♯ (эта-диез) по музыкальной аналогии.

Контравариантные и ковариантные векторы — геометрически совершенно разные объекты. Первые можно и нужно рассматривать как стрелы. Линейную функцию можно охарактеризовать двумя объектами: ее ядром , которое представляет собой гиперплоскость, проходящую через начало координат, и ее нормой. Таким образом, геометрически ковариантные векторы следует рассматривать как набор гиперплоскостей с интервалом, зависящим от нормы (больше = меньший интервал), причем одна из них (ядро) проходит через начало координат. Математический термин для ковариантного вектора — 1-ковектор или 1-форма (хотя последняя обычно используется для ковекторных полей ).

Одна квантовомеханическая аналогия, исследованная в литературе, - это волна де Бройля (масштабированная коэффициентом приведенной константы Планка), связанная с четырехвектором импульса , чтобы проиллюстрировать, как можно представить ковариантную версию контравариантного вектора. Внутренний продукт двух контравариантных векторов с таким же успехом можно рассматривать как действие ковариантной версии одного из них на контравариантную версию другого. Тогда внутренний продукт равен тому, сколько раз стрела пронзит плоскости. Математический справочник Lee (2003) предлагает тот же геометрический взгляд на эти объекты (но не упоминает прокалывание).

Тензор электромагнитного поля представляет собой дифференциальную 2-форму , геометрическое описание которой также можно найти в MTW.

Можно, конечно, вообще игнорировать геометрические представления (как это принято, например, в Weinberg (2002) и Landau & Lifshitz 2002 ) и действовать алгебраически чисто формальным способом. Проверенная временем надежность самого формализма, иногда называемая индексной гимнастикой , гарантирует, что перемещение векторов и переход от контравариантных к ковариантным векторам и наоборот (а также тензоры более высокого порядка) являются математически обоснованными. Неправильные выражения имеют тенденцию быстро проявляться.

Координатный свободный подъем и опускание

Учитывая билинейную форму $\eta :M\times M\rightarrow \mathbb {R}$, пониженную версию вектора можно рассматривать как частичную оценку $\eta$, то есть существует связанная карта частичной оценки $$\eta (\cdot ,-):M\rightarrow M^{*};v\mapsto \eta (v,\cdot ).$$

Пониженный вектор $\eta (v,\cdot )\in M^{*}$ тогда это двойная карта $u\mapsto \eta (v,u)$. Обратите внимание, что не имеет значения, какой аргумент оценивается частично из-за симметрии $\eta$.

В таком случае невырожденность эквивалентна инъективности карты частичной оценки, или, что эквивалентно, невырожденность указывает на то, что ядро ​​карты тривиально. В конечной размерности, как в данном случае, и учитывая, что размерность конечномерного пространства равна размерности двойственного пространства, этого достаточно, чтобы заключить, что отображение частичной оценки является линейным изоморфизмом из $M$ к $M^{*}$. Затем это позволяет определить обратную карту частичной оценки, $$\eta ^{-1}:M^{*}\rightarrow M,$$что позволяет определить обратную метрику как $$\eta ^{-1}:M^{*}\times M^{*}\rightarrow \mathbb {R} ,\eta ^{-1}(\alpha ,\beta )=\eta (\eta ^{-1}(\alpha ),\eta ^{-1}(\beta ))$$где два разных использования $\eta ^{-1}$ можно отличить по аргументу, по которому оценивается каждый из них. Затем это можно использовать для повышения индексов. При использовании координатного базиса метрика η ⁻¹ действительно является матрицей, обратной η .

Формализм метрики Минковского

Настоящая цель — полустрого показать, как формально можно применить метрику Минковского к двум векторам и получить действительное число, т. е. показать роль дифференциалов и то, как они исчезают при вычислении. Речь идет о теории гладких многообразий, и вводятся такие понятия, как конвекторные поля и внешние производные.

показывать

Формальный подход к метрике Минковского

A full-blown version of the Minkowski metric in coordinates as a tensor field on spacetime has the appearance$$\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }\odot dx^{\nu }=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.$$

Explanation: The coordinate differentials are 1-form fields. They are defined as the exterior derivative of the coordinate functions x^μ. These quantities evaluated at a point p provide a basis for the cotangent space at p. The tensor product (denoted by the symbol ⊗) yields a tensor field of type (0, 2), i.e. the type that expects two contravariant vectors as arguments. On the right-hand side, the symmetric product (denoted by the symbol ⊙ or by juxtaposition) has been taken. The equality holds since, by definition, the Minkowski metric is symmetric. The notation on the far right is also sometimes used for the related, but different, line element. It is not a tensor. For elaboration on the differences and similarities, see Misner, Thorne & Wheeler (1973, Box 3.2 and section 13.2.)

Tangent vectors are, in this formalism, given in terms of a basis of differential operators of the first order,$$\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p},$$where p is an event. This operator applied to a function f gives the directional derivative of f at p in the direction of increasing x^μ with x^ν, ν ≠ μ fixed. They provide a basis for the tangent space at p.

The exterior derivative df of a function f is a covector field, i.e. an assignment of a cotangent vector to each point p, by definition such that$$df(X)=Xf,$$for each vector field X. A vector field is an assignment of a tangent vector to each point p. In coordinates X can be expanded at each point p in the basis given by the ∂/∂x^ν|_p. Applying this with f = x^μ, the coordinate function itself, and X = ∂/∂x^ν, called a coordinate vector field, one obtains$$dx^{\mu }\left({\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\right)={\frac {\partial x^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}=\delta _{\nu }^{\mu }.$$

Since this relation holds at each point p, the dx^μ|_p provide a basis for the cotangent space at each p and the bases dx^μ|_p and ∂/∂x^ν|_p are dual to each other,$$\left.dx^{\mu }\right|_{p}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\right|_{p}\right)=\delta _{\nu }^{\mu }.$$at each p. Furthermore, one has$$\alpha \otimes \beta (a,b)=\alpha (a)\beta (b)$$for general one-forms on a tangent space α, β and general tangent vectors a, b. (This can be taken as a definition, but may also be proved in a more general setting.)

Thus when the metric tensor is fed two vectors fields a, b, both expanded in terms of the basis coordinate vector fields, the result is$$\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }(a,b)=\eta _{\mu \nu }a^{\mu }b^{\nu },$$where a^μ, b^ν are the component functions of the vector fields. The above equation holds at each point p, and the relation may as well be interpreted as the Minkowski metric at p applied to two tangent vectors at p.

As mentioned, in a vector space, such as modeling the spacetime of special relativity, tangent vectors can be canonically identified with vectors in the space itself, and vice versa. This means that the tangent spaces at each point are canonically identified with each other and with the vector space itself. This explains how the right-hand side of the above equation can be employed directly, without regard to the spacetime point the metric is to be evaluated and from where (which tangent space) the vectors come from.

This situation changes in general relativity. There one has$$g(p)_{\mu \nu }\left.dx^{\mu }\right|_{p}\left.dx^{\nu }\right|_{p}(a,b)=g(p)_{\mu \nu }a^{\mu }b^{\nu },$$where now η → g(p), i.e., g is still a metric tensor but now depending on spacetime and is a solution of Einstein's field equations. Moreover, a, b must be tangent vectors at spacetime point p and can no longer be moved around freely.

Хронологические и причинно-следственные связи

Пусть x , y ∈ M. ​Здесь,

1. x хронологически предшествует y , если y − x ориентировано в будущее времениподобно. Это отношение обладает транзитивным свойством , поэтому его можно записать x < y .
2. x причинно предшествует y , если y - x является направленным в будущее нулем или времениподобным, направленным в будущее. Это дает частичный порядок пространства-времени, поэтому его можно записать x ≤ y .

Предположим, что x ∈ M времениподобен. Тогда одновременная гиперплоскость для x равна { y : η ( x , y ) = 0} . Поскольку эта гиперплоскость меняется с изменением x существует относительность одновременности , в пространстве Минковского .

Обобщения

Основные статьи: Лоренцево многообразие и пространство Супер Минковского

Лоренцево многообразие является двояким обобщением пространства Минковского. Общее количество измерений пространства-времени не ограничено четырьмя ( 2 или более), и лоренцево многообразие не обязательно должно быть плоским, т. е. оно допускает кривизну.

Комплексифицированное пространство Минковского.

Комплексифицированное пространство Минковского определяется как M _c = M ⊕ iM . Его реальной частью является пространство Минковского четырёх векторов , таких как четырёхскорость и четырёхимпульс , которые не зависят от выбора ориентации пространства. Мнимая же часть может состоять из четырех псевдовекторов, таких как угловая скорость и магнитный момент , которые меняют свое направление при изменении ориентации. Введен псевдоскаляр , который также меняет знак при i изменении ориентации. Таким образом, элементы M _c не зависят от выбора ориентации.

Структура , подобная скалярному произведению, на M _c определяется как u ⋅ v знак равно η ( u , v ) для любых u , v ∈ M _c . Релятивистский чистый спин электрона удовлетворяющая или любой частицы с половинным спином описывается формулой ρ ∈ M _c как ρ = u + is , где u — четырехскоростная скорость частицы, u ² = 1 и s — вектор спина 4D, который также является псевдовектором Паули–Любанского, удовлетворяющим s ² знак равно -1 и ты ⋅ s знак равно 0 .

Обобщенное пространство Минковского

Пространство Минковского относится к математической формулировке в четырех измерениях. Однако математику можно легко расширить или упростить, чтобы создать аналогичное обобщенное пространство Минковского в любом количестве измерений. Если n ≥ 2 , n -мерное пространство Минковского представляет собой векторное пространство вещественной размерности n, на котором существует постоянная метрика Минковского сигнатуры ( n − 1, 1) или (1, n − 1) . Эти обобщения используются в теориях, в которых предполагается, что пространство-время имеет более или менее четырех измерений. Теория струн и М-теория — два примера, когда n > 4 . В теории струн появляются конформные теории поля с размерностью пространства-времени 1 + 1 .

Пространство де Ситтера можно сформулировать как подмногообразие обобщенного пространства Минковского, как и модельные пространства гиперболической геометрии (см. Ниже).

Кривизна

Поскольку пространство-время плоское , три пространственных компонента пространства-времени Минковского всегда подчиняются теореме Пифагора . Пространство Минковского — подходящая основа для специальной теории относительности, хорошее описание физических систем на конечных расстояниях в системах без значительной гравитации . Однако, чтобы учесть гравитацию, физики используют теорию общей относительности , которая сформулирована в математике неевклидовой геометрии . Когда эта геометрия используется в качестве модели физического пространства, ее называют искривленным пространством .

Даже в искривленном пространстве пространство Минковского по-прежнему является хорошим описанием бесконечно малой области, окружающей любую точку (за исключением гравитационных сингулярностей). Более абстрактно можно сказать, что при наличии гравитации пространство-время описывается искривленным 4-мерным многообразием , для которого касательное пространство к любой точке является 4-мерным пространством Минковского. Таким образом, структура пространства Минковского по-прежнему важна для описания общей теории относительности.

Геометрия

Основная статья: Модель гиперболоида

Значение термина геометрия для пространства Минковского во многом зависит от контекста. Пространство Минковского не наделено ни евклидовой геометрией, ни какой-либо из обобщенных римановых геометрий с внутренней кривизной, представленных модельными пространствами в гиперболической геометрии (отрицательная кривизна) и геометрии, моделируемой сферой ( положительная кривизна). Причина – неопределенность метрики Минковского. Пространство Минковского, в частности, не является метрическим пространством и не является римановым многообразием с римановой метрикой. Однако пространство Минковского содержит подмногообразия , наделенные римановой метрикой, дающей гиперболическую геометрию.

Модельные пространства гиперболической геометрии малой размерности, скажем 2 или 3 , не могут быть изометрически вложены в евклидово пространство с еще одним измерением, т.е. ℝ ³ или ℝ ⁴ соответственно, с евклидовой метрикой g , что не позволяет легко визуализировать. Для сравнения, модельные пространства с положительной кривизной представляют собой просто сферы в евклидовом пространстве одного более высокого измерения. Гиперболические пространства могут быть изометрически вложены в пространства еще одного измерения, если пространство вложения наделено метрикой Минковского η .

Определить Н ^{1( п )}
_Р ⊂ М ^{п +1} быть верхним листом ( ct > 0 ) гиперболоида $$\mathbf {H} _{R}^{1(n)}=\left\{\left(ct,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in \mathbf {M} ^{n}:c^{2}t^{2}-\left(x^{1}\right)^{2}-\cdots -\left(x^{n}\right)^{2}=R^{2},ct>0\right\}$$в обобщенном пространстве Минковского M ^{п +1} измерения пространства-времени n + 1 . Это одна из поверхностей транзитивности обобщенной группы Лоренца. Индуцированная метрика на этом подмногообразии $$h_{R}^{1(n)}=\iota ^{*}\eta ,$$обратный образ метрики Минковского η при включении является римановой метрикой . С помощью этой метрики H ^{1( п )}
_R — риманово многообразие . Это одно из модельных пространств римановой геометрии, гиперболоидная модель гиперболического пространства . Это пространство постоянной отрицательной кривизны −1/ R ² . Цифра 1 в верхнем индексе относится к перечислению различных модельных пространств гиперболической геометрии, а цифра n — к ее размерности. A 2(2) соответствует модели диска Пуанкаре , а 3( n ) соответствует модели полупространства Пуанкаре размерности n .

Предварительные сведения

В приведенном выше определении ι : H ^{1( п )}
_Р → М ^{п +1} — это карта включения , а звездочка в верхнем индексе обозначает откат . Настоящая цель состоит в том, чтобы описать эту и подобные операции как подготовку к фактической демонстрации того, что H ^{1( п )}
_R на самом деле является гиперболическим пространством.

showПоведение тензоров при включении, возврат ковариантных тензоров при общих отображениях и продвижение векторов при общих отображениях

Behavior of tensors under inclusion: For inclusion maps from a submanifold S into M and a covariant tensor α of order k on M it holds that$$\iota ^{*}\alpha \left(X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{k}\right)=\alpha \left(\iota _{*}X_{1},\,\iota _{*}X_{2},\,\ldots ,\,\iota _{*}X_{k}\right)=\alpha \left(X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{k}\right),$$where X1, X1, …, Xk are vector fields on S. The subscript star denotes the pushforward (to be introduced later), and it is in this special case simply the identity map (as is the inclusion map). The latter equality holds because a tangent space to a submanifold at a point is in a canonical way a subspace of the tangent space of the manifold itself at the point in question. One may simply write$$\iota ^{*}\alpha =\alpha |_{S},$$meaning (with slight abuse of notation) the restriction of α to accept as input vectors tangent to some s ∈ S only. Pullback of tensors under general maps: The pullback of a covariant k-tensor α (one taking only contravariant vectors as arguments) under a map F: M → N is a linear map$$F^{*}\colon T_{F(p)}^{k}N\rightarrow T_{p}^{k}M,$$where for any vector space V,$$T^{k}V=\underbrace {V^{*}\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{k{\text{ times}}}.$$ It is defined by$$F^{*}(\alpha )\left(X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{k}\right)=\alpha \left(F_{*}X_{1},\,F_{*}X_{2},\,\ldots ,\,F_{*}X_{k}\right),$$where the subscript star denotes the pushforward of the map F, and X1, X2, …, Xk are vectors in TpM. (This is in accord with what was detailed about the pullback of the inclusion map. In the general case here, one cannot proceed as simply because F∗X1 ≠ X1 in general.) The pushforward of vectors under general maps: Heuristically, pulling back a tensor to p ∈ M from F(p) ∈ N feeding it vectors residing at p ∈ M is by definition the same as pushing forward the vectors from p ∈ M to F(p) ∈ N feeding them to the tensor residing at F(p) ∈ N. Further unwinding the definitions, the pushforward F∗: TMp → TNF(p) of a vector field under a map F: M → N between manifolds is defined by$$F_{*}(X)f=X(f\circ F),$$where f is a function on N. When M = ℝm, N= ℝn the pushforward of F reduces to DF: ℝm → ℝn, the ordinary differential, which is given by the Jacobian matrix of partial derivatives of the component functions. The differential is the best linear approximation of a function F from ℝm to ℝn. The pushforward is the smooth manifold version of this. It acts between tangent spaces, and is in coordinates represented by the Jacobian matrix of the coordinate representation of the function. The corresponding pullback is the dual map from the dual of the range tangent space to the dual of the domain tangent space, i.e. it is a linear map,$$F^{*}\colon T_{F(p)}^{*}N\rightarrow T_{p}^{*}M.$$

Гиперболическая стереографическая проекция

Красная дуга является геодезической в ​​модели диска Пуанкаре ; он проецируется на коричневую геодезическую на зеленом гиперболоиде.

Чтобы отобразить метрику, необходимо вернуть ее через подходящую параметризацию . Параметризацией подмногообразия S в M называется отображение U ⊂ R ^м → M, которого является открытым подмножеством S. диапазон Если S имеет ту же размерность, что и M , параметризация — это просто обратная координатная карта φ : M → U ⊂ R. ^м . Используемая параметризация является обратной гиперболической стереографической проекцией . Это показано на рисунке справа для n = 2 . Поучительно сравнить со стереографической проекцией сфер.

Стереографическая проекция σ : H ^н
_р → р ^н и его обратное σ ⁻¹ : Р ^н → Ч ^н
_R даны $${\begin{aligned}\sigma (\tau ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} &={\frac {R\mathbf {x} }{R+\tau }},\\\sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau ,\mathbf {x} )&=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right),\end{aligned}}$$где для простоты τ ≡ ct . τ ( — , x ) координаты на M ^{п +1} и u — координаты на R ^н .

Подробный вывод

Позволять $$\mathbf {H} _{R}^{n}=\left\{\left(\tau ,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\subset \mathbf {M} :-\tau ^{2}+\left(x^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(x^{n}\right)^{2}=-R^{2},\tau >0\right\}$$и пусть $$S=(-R,0,\ldots ,0).$$

Если $$P=\left(\tau ,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in \mathbf {H} _{R}^{n},$$то геометрически ясно, что вектор $${\overrightarrow {PS}}$$пересекает гиперплоскость $$\left\{\left(\tau ,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in M:\tau =0\right\}$$один раз в точке, обозначенной $$U=\left(0,u^{1}(P),\ldots ,u^{n}(P)\right)\equiv (0,\mathbf {u} ).$$

У одного есть $${\begin{aligned}S+{\overrightarrow {SU}}&=U\Rightarrow {\overrightarrow {SU}}=U-S,\\S+{\overrightarrow {SP}}&=P\Rightarrow {\overrightarrow {SP}}=P-S\end{aligned}}$$или $${\begin{aligned}{\overrightarrow {SU}}&=(0,\mathbf {u} )-(-R,\mathbf {0} )=(R,\mathbf {u} ),\\{\overrightarrow {SP}}&=(\tau ,\mathbf {x} )-(-R,\mathbf {0} )=(\tau +R,\mathbf {x} ).\end{aligned}}.$$

Построив стереографическую проекцию, имеем $${\overrightarrow {SU}}=\lambda (\tau ){\overrightarrow {SP}}.$$

Это приводит к системе уравнений $${\begin{aligned}R&=\lambda (\tau +R),\\\mathbf {u} &=\lambda \mathbf {x} .\end{aligned}}$$

Первое из них решается относительно λ и получается для стереографической проекции $$\sigma (\tau ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} ={\frac {R\mathbf {x} }{R+\tau }}.$$

Далее, обратное σ ⁻¹ ( u ) = ( τ , x ) необходимо рассчитать. Используйте те же соображения, что и раньше, но теперь с $${\begin{aligned}U&=(0,\mathbf {u} )\\P&=(\tau (\mathbf {u} ),\mathbf {x} (\mathbf {u} )).\end{aligned}},$$каждый получает $${\begin{aligned}\tau &={\frac {R(1-\lambda )}{\lambda }},\\\mathbf {x} &={\frac {\mathbf {u} }{\lambda }},\end{aligned}}$$но теперь с λ, зависящим от u . Условие того, что P лежит в гиперболоиде, равно $$-\tau ^{2}+|\mathbf {x} |^{2}=-R^{2},$$или $$-{\frac {R^{2}(1-\lambda )^{2}}{\lambda ^{2}}}+{\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{\lambda ^{2}}}=-R^{2},$$ведущий к $$\lambda ={\frac {R^{2}-|u|^{2}}{2R^{2}}}.$$

При этом λ получаем $$\sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau ,\mathbf {x} )=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right).$$

Откат метрики

У одного есть $$h_{R}^{1(n)}=\eta |_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=\left(dx^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(dx^{n}\right)^{2}-d\tau ^{2}$$и карта $$\sigma ^{-1}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {H} _{R}^{1(n)};\quad \sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau (\mathbf {u} ),\,\mathbf {x} (\mathbf {u} ))=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},\,{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right).$$

Обратную метрику можно получить простыми методами исчисления; $$\left.\left(\sigma ^{-1}\right)^{*}\eta \right|_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=\left(dx^{1}(\mathbf {u} )\right)^{2}+\cdots +\left(dx^{n}(\mathbf {u} )\right)^{2}-\left(d\tau (\mathbf {u} )\right)^{2}.$$

Вычисления производятся в соответствии со стандартными правилами вычисления дифференциалов (хотя на самом деле вычисляются строго определенные внешние производные): $${\begin{aligned}dx^{1}(\mathbf {u} )&=d\left({\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)={\frac {\partial }{\partial u^{1}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{1}+\cdots +{\frac {\partial }{\partial u^{n}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{n}+{\frac {\partial }{\partial \tau }}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}d\tau ,\\&\ \ \vdots \\dx^{n}(\mathbf {u} )&=d\left({\frac {2R^{2}u^{n}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)=\cdots ,\\d\tau (\mathbf {u} )&=d\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)=\cdots ,\end{aligned}}$$и подставляет результаты в правую часть. Это дает $$\left(\sigma ^{-1}\right)^{*}h_{R}^{1(n)}={\frac {4R^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}\equiv h_{R}^{2(n)}.$$

showПодробная схема вычислений

One has$${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial u^{1}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{1}&={\frac {2\left(R^{2}-|u|^{2}\right)+4R^{2}\left(u^{1}\right)^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}du^{1},\\{\frac {\partial }{\partial u^{2}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{2}&={\frac {4R^{2}u^{1}u^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}du^{2},\end{aligned}}$$and$${\frac {\partial }{\partial \tau }}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}d\tau ^{2}=0.$$ With this one may write$$dx^{1}(\mathbf {u} )={\frac {2R^{2}\left(R^{2}-|u|^{2}\right)du^{1}+4R^{2}u^{1}(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}},$$from which$$\left(dx^{1}(\mathbf {u} )\right)^{2}={\frac {4R^{2}\left(r^{2}-|u|^{2}\right)^{2}\left(du^{1}\right)^{2}+16R^{4}\left(R^{2}-|u|^{2}\right)\left(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} \right)u^{1}du^{1}+16R^{4}\left(u^{1}\right)^{2}\left(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} \right)^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{4}}}.$$ Summing this formula one obtains$${\begin{aligned}&\left(dx^{1}(\mathbf {u} )\right)^{2}+\cdots +\left(dx^{n}(\mathbf {u} )\right)^{2}\\={}&{\frac {4R^{2}\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]+16R^{4}\left(R^{2}-|u|^{2}\right)(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )+16R^{4}|u|^{2}(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{4}}}\\={}&{\frac {4R^{2}\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{4}}}+R^{2}{\frac {16R^{4}(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{4}}}.\end{aligned}}$$ Similarly, for τ one gets$$d\tau =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial u^{i}}}R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}+|u|^{2}}}du^{i}+{\frac {\partial }{\partial \tau }}R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}+|u|^{2}}}d\tau =\sum _{i=1}^{n}R^{4}{\frac {4R^{2}u^{i}du^{i}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)}},$$yielding$$-d\tau ^{2}=-\left(R{\frac {4R^{4}\left(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} \right)}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}\right)^{2}=-R^{2}{\frac {16R^{4}(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{4}}}.$$ Now add this contribution to finally get$$\left(\sigma ^{-1}\right)^{*}h_{R}^{1(n)}={\frac {4R^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}\equiv h_{R}^{2(n)}.$$

Последнее уравнение показывает, что метрика на шаре идентична римановой метрике h. ^{2( п )}
_R в модели шара Пуанкаре , еще одной стандартной модели гиперболической геометрии.

showАльтернативный расчет с использованием форварда

The pullback can be computed in a different fashion. By definition,$$\left(\sigma ^{-1}\right)^{*}h_{R}^{1(n)}(V,\,V)=h_{R}^{1(n)}\left(\left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V,\,\left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V\right)=\eta |_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}\left(\left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V,\,\left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V\right).$$ In coordinates,$$\left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V=\left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V^{i}{\frac {\partial }{\partial u^{i}}}=V^{i}{\frac {\partial x^{j}}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+V^{i}{\frac {\partial \tau }{\partial u^{i}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}=V^{i}{\frac {\partial }{x}}^{j}{\partial u^{i}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+V^{i}{\frac {\partial }{\tau }}{\partial u^{i}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}=Vx^{j}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+V\tau {\frac {\partial }{\partial \tau }}.$$ One has from the formula for σ–1$${\begin{aligned}Vx^{j}&=V^{i}{\frac {\partial }{\partial u^{i}}}\left({\frac {2R^{2}u^{j}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)={\frac {2R^{2}V^{j}}{R^{2}-|u|^{2}}}-{\frac {4R^{2}u^{j}\langle \mathbf {V} ,\,\mathbf {u} \rangle }{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}},\quad \left({\text{here }}V|u|^{2}=2\sum _{k=1}^{n}V^{k}u^{k}\equiv 2\langle \mathbf {V} ,\,\mathbf {u} \rangle \right)\\V\tau &=V\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)={\frac {4R^{3}\langle \mathbf {V} ,\,\mathbf {u} \rangle }{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}$$ Lastly,$$\eta \left(\sigma _{*}^{-1}V,\,\sigma _{*}^{-1}V\right)=\sum _{j=1}^{n}\left(Vx^{j}\right)^{2}-(V\tau )^{2}={\frac {4R^{4}|V|^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}=h_{R}^{2(n)}(V,z,V),$$and the same conclusion is reached.

См. также

• Гиперболический кватернион
• Гиперпространство
• Введение в математику общей теории относительности
• Самолет Минковского

Ссылки

• Корри, Л. (1997). «Герман Минковский и постулат относительности». Арх. Хист. Точная наука . 51 (4): 273–314. дои : 10.1007/BF00518231 . ISSN   0003-9519 . S2CID   27016039 .
• Катони, Ф.; и др. (2008). Математика пространства-времени Минковского . Границы в математике. Базель: Birkhäuser Verlag . дои : 10.1007/978-3-7643-8614-6 . ISBN  978-3-7643-8613-9 . ISSN   1660-8046 .
• Галисон, Польша (1979). Р. МакКормах; и др. (ред.). Пространство-время Минковского: от визуального мышления к абсолютному миру . Исторические исследования в области физических наук. Том. 10. Издательство Университета Джонса Хопкинса . стр. 85–121. дои : 10.2307/27757388 . JSTOR   27757388 .
• Джулини Д. Богатая структура пространства Минковского, https://arxiv.org/abs/0802.4345v1 .
• Клеппнер, Д .; Коленков, Р.Дж. (1978) [1973]. Введение в механику . Лондон: МакГроу-Хилл . ISBN  978-0-07-035048-9 .
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (2002) [1939]. Классическая теория полей . Курс теоретической физики. Том. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN  0-7506-2768-9 .
• Ли, Дж. М. (2003). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников Springer по математике. Том. 218. ИСБН  978-0-387-95448-6 .
• Ли, Дж. М. (2012). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников Springer по математике. ISBN  978-1-4419-9981-8 .
• Ли, Дж. М. (1997). Римановы многообразия – введение в кривизну . Тексты для выпускников Springer по математике. Том. 176. Нью-Йорк · Берлин · Гейдельберг: Springer Verlag. ISBN  978-0-387-98322-6 .
• Минковский, Герман (1907-1908), «Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах» , Новости Общества наук в Геттингене, Математически-физический класс : 53-111
  • Опубликованный перевод: Карус, Эдвард Х. (1918). «Пространство и время» . Монист . 28 (288): 288–302. дои : 10.5840/monist19182826 .
  • Перевод из Wikisource: Фундаментальные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах
• Минковский, Герман (1908–1909), «Raum und Zeit» [Пространство и время], Physikalische Zeitschrift , 10 : 75–88 . Различные английские переводы в Wikisource: Space and Time .
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип. С .; Уиллер, Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN  978-0-7167-0344-0 .
• Набер, Г.Л. (1992). Геометрия пространства-времени Минковского . Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-97848-2 .
• Нэш, Дж. (1956). «Проблема вложения римановых многообразий». Анналы математики . 63 (1): 20–63. дои : 10.2307/1969989 . JSTOR   1969989 . МР   0075639 .
• Пенроуз, Роджер (2005). «18 геометрия Минковского». Дорога к реальности: Полное руководство по законам Вселенной . Альфред А. Кнопф . ISBN  9780679454434 .
• Пуанкаре, Анри (1905–1906), «Sur la dynamice de l'électron» [О динамике электрона], Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 21 : 129–176, Бибкод : 1906RCMP...21..129P , doi : 10.1007/BF03013466 , hdl : 2027/uiug.30112063899089 , S2CID   120211823 Перевод из Wikisource: О динамике электрона
• Робб А.А.: Оптическая геометрия движения; Новый взгляд на теорию относительности. Кембридж, 1911 г. (Хефферс). http://www.archive.org/details/opticalgeometryoOOrobbrich .
• Робб А.А.: Геометрия времени и пространства, 1936 г., Cambridge Univ Press http://www.archive.org/details/geometryoftimean032218mbp .
• Сард, Р.Д. (1970). Релятивистская механика - Специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: WA Бенджамин. ISBN  978-0805384918 .
• Шоу, Р. (1982). «§ 6.6 Пространство Минковского, § 6.7,8 Канонические формы, стр. 221–242». Линейная алгебра и представления групп . Академическая пресса . ISBN  978-0-12-639201-2 .
• Уолтер, Скотт А. (1999). «Минковский, математики и математическая теория относительности» . В Гённере, Хуберте; и др. (ред.). Расширяющиеся миры общей теории относительности . Бостон: Биркхойзер. стр. 45–86. ISBN  978-0-8176-4060-6 .
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей , том. 1, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-55001-7 .

Внешние ссылки

СМИ, связанные с диаграммами Минковского, на Викискладе?

• Анимационный клип на YouTube, визуализирующий пространство Минковского в контексте специальной теории относительности.
• Геометрия специальной теории относительности: пространство Минковского – временной световой конус
• Пространство Минковского в PhilPapers