Повышение и понижение индексов

В математике и математической физике повышение и понижение индексов представляют собой операции над тензорами , изменяющие их тип . Повышение и понижение индексов — это форма манипуляции индексами в тензорных выражениях.

Векторы, ковекторы и метрика

Математическая формулировка

Математически векторы являются элементами векторного пространства. $V$ над полем $K$ , и для использования в физике $V$ обычно определяется с помощью $K=\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ . Конкретно, если размерность $n={\text{dim}}(V)$ из $V$ конечно, то после выбора базиса мы можем рассматривать такие векторные пространства как $\mathbb {R} ^{n}$ или $\mathbb {C} ^{n}$ .

Двойственное пространство — это пространство линейных функционалов, отображающих $V\rightarrow K$ . Конкретно, в матричной записи их можно рассматривать как векторы-строки, которые дают число при применении к векторам-столбцам. Мы обозначаем это через $V^{*}:={\text{Hom}}(V,K)$ , так что $\alpha \in V^{*}$ это линейная карта $\alpha :V\rightarrow K$ .

Тогда при выборе базиса $\{e_{i}\}$ , мы можем просматривать векторы $v\in V$ как $K^{n}$ вектор с компонентами $v^{i}$ (векторы по соглашению берутся так, чтобы индексы были вверху). Это подбирает выбор основы $\{e^{i}\}$ для $V^{*}$ , определяемый набором соотношений $e^{i}(e_{j})=\delta _{j}^{i}$ .

В приложениях повышение и понижение осуществляется с использованием структуры, известной как (псевдо) метрический тензор («псевдо-» означает тот факт, что мы допускаем неопределенность метрики). Формально это невырожденная симметричная билинейная форма.

g:V\times V\rightarrow K{\text{ a bilinear form}}

g(u,v)=g(v,u){\text{ for all }}u,v\in V{\text{ (Symmetric)}}

\forall v\in V{\text{ s.t. }}v\neq {\vec {0}},\exists u\in V{\text{ such that }}g(v,u)\neq 0{\text{ (Non-degenerate)}}

В этой основе он имеет компоненты $g(e_{i},e_{j})=g_{ij}$ и может рассматриваться как симметричная матрица в ${\text{Mat}}_{n\times n}(K)$ с этими компонентами. Обратная метрика существует в силу невырожденности и обозначается $g^{ij}$ , и как матрица является обратной $g_{ij}$ .

Поднятие и понижение векторов и ковекторов

Подъем и опускание затем осуществляется в координатах. Дан вектор с компонентами $v^{i}$ , мы можем сжать метрику, чтобы получить ковектор :

g_{ij}v^{j}=v_{i}

и именно это мы подразумеваем под снижением индекса. И наоборот, сжатие ковектора с обратной метрикой дает вектор:

g^{ij}\alpha _{j}=\alpha ^{i}.

Этот процесс называется повышением индекса.

Повышение, а затем понижение одного и того же индекса (или наоборот) являются обратными операциями, что выражается в том, что метрический и обратный метрические тензоры обратны друг другу (как следует из терминологии):

g^{ij}g_{jk}=g_{kj}g^{ji}={\delta ^{i}}_{k}={\delta _{k}}^{i}

где $\delta _{j}^{i}$ – это дельта Кронекера или единичная матрица .

Конечномерные действительные векторные пространства с (псевдо)метриками классифицируются с точностью до сигнатуры, бескоординатного свойства, которое четко определяется законом инерции Сильвестра . Возможные метрики реального пространства индексируются по сигнатуре. $(p,q)$ . Это показатель, связанный с $n=p+q$ многомерное реальное пространство. Метрика имеет подпись $(p,q)$ если существует базис (называемый ортонормированным базисом ) такой, что в этом базисе метрика принимает вид $(g_{ij})={\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)$ с $p$ положительные и $q$ отрицательные.

Бетонное пространство с элементами, которые $n$ -векторов, и эта конкретная реализация метрики обозначается $\mathbb {R} ^{p,q}=(\mathbb {R} ^{n},g_{ij})$ , где 2-кортеж $(\mathbb {R} ^{n},g_{ij})$ призван прояснить, что базовое векторное пространство $\mathbb {R} ^{p,q}$ является $\mathbb {R} ^{n}$ : оснащение этого векторного пространства метрикой $g_{ij}$ это то, что превращает пространство в $\mathbb {R} ^{p,q}$ .

Примеры:

$\mathbb {R} ^{3}$ представляет собой модель трехмерного пространства. Метрика эквивалентна стандартному скалярному произведению .
$\mathbb {R} ^{n,0}=\mathbb {R} ^{n}$ , эквивалентный $n$ реальное пространство измерений как пространство внутреннего продукта с $g_{ij}=\delta _{ij}$ . В евклидовом пространстве подъем и опускание не требуются, поскольку векторы и компоненты ковектора одинаковы.
$\mathbb {R} ^{1,3}$ — пространство Минковского (точнее, пространство Минковского в выборе ортонормированного базиса), модель пространства-времени со слабой кривизной. Обычно при написании выражений, включающих тензоры в пространстве Минковского, используются греческие индексы, а латинские индексы зарезервированы для евклидова пространства.

Хорошо сформулированные выражения ограничены правилами суммирования Эйнштейна : любой индекс может появляться не более двух раз, и, кроме того, повышенный индекс должен сжиматься с пониженным индексом. С помощью этих правил мы сразу можем увидеть, что такое выражение, как

g_{ij}v^{i}u^{j}

хорошо сформулировано, хотя

g_{ij}v_{i}u_{j}

нет.

Пример в пространстве-времени Минковского

Ковариантная 4-позиция задается формулой

X_{\mu }=(-ct,x,y,z)

с компонентами:

X_{0}=-ct,\quad X_{1}=x,\quad X_{2}=y,\quad X_{3}=z

(где $x$ , $y$ , $z$ — обычные декартовы координаты ), а метрический тензор Минковского с метрической сигнатурой (− + + +) определяется как

\eta _{\mu \nu }=\eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

в компонентах:

\eta _{00}=-1,\quad \eta _{i0}=\eta _{0i}=0,\quad \eta _{ij}=\delta _{ij}\,(i,j\neq 0).

Чтобы поднять индекс, умножьте на тензор и сократите:

X^{\lambda }=\eta ^{\lambda \mu }X_{\mu }=\eta ^{\lambda 0}X_{0}+\eta ^{\lambda i}X_{i}

тогда для $λ = 0$ :

X^{0}=\eta ^{00}X_{0}+\eta ^{0i}X_{i}=-X_{0}

и для $λ = j = 1, 2, 3$ :

X^{j}=\eta ^{j0}X_{0}+\eta ^{ji}X_{i}=\delta ^{ji}X_{i}=X_{j}\,.

с повышенным индексом Таким образом, контравариантная 4-позиция равна:

X^{\mu }=(ct,x,y,z)\,.

Эта операция эквивалентна умножению матрицы

{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.

Учитывая два вектора, $X^{\mu }$ и $Y^{\mu }$ , мы можем записать их (псевдо-)внутренний продукт двумя способами:

\eta _{\mu \nu }X^{\mu }Y^{\nu }.

Понижая индексы, мы можем записать это выражение как

X_{\mu }Y^{\mu }.

Что это в матричной записи? Первое выражение можно записать как

{\begin{pmatrix}X^{0}&X^{1}&X^{2}&X^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Y^{0}\\Y^{1}\\Y^{2}\\Y^{3}\end{pmatrix}}

а второй – после снижения показателей $X^{\mu }$ ,

{\begin{pmatrix}-X^{0}&X^{1}&X^{2}&X^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Y^{0}\\Y^{1}\\Y^{2}\\Y^{3}\end{pmatrix}}.

Координационный свободный формализм

Поучительно рассмотреть, что означает повышение и понижение в контексте абстрактной линейной алгебры.

Сначала исправим определения: $V$ — конечномерное векторное пространство над полем $K$ . Обычно $K=\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ .

$\phi$ является невырожденной билинейной формой, т. е. $\phi :V\times V\rightarrow K$ — это отображение, линейное по обоим аргументам, что делает его билинейной формой.

К $\phi$ будучи невырожденным, мы имеем в виду, что для каждого $v\in V$ , есть $u\in V$ такой, что

\phi (v,u)\neq 0.

В конкретных приложениях $\phi$ часто считается структурой в векторном пространстве, например, скалярным произведением или, в более общем смысле, метрическим тензором , которому разрешено иметь неопределенную сигнатуру, или симплектической формой. $\omega$ . Вместе они охватывают случаи, когда $\phi$ либо симметричен, либо антисимметричен, но в полной общности $\phi$ не должно быть ни одного из этих случаев.

Существует частичная оценочная карта, связанная с $\phi$ ,

\phi (\cdot ,-):V\rightarrow V^{*};v\mapsto \phi (v,\cdot )

где $\cdot$ обозначает аргумент, который должен быть оценен, и $-$ обозначает аргумент, оценка которого отложена. Затем $\phi (v,\cdot )$ является элементом $V^{*}$ , который отправляет $u\mapsto \phi (v,u)$ .

Мы решили определить эту карту частичной оценки как вычисляемую по первому аргументу. С таким же успехом мы могли бы определить его по второму аргументу, и невырожденность также не зависит от выбранного аргумента. Кроме того, когда $\phi$ имеет четко определенную (анти)симметрию, оценка любого аргумента эквивалентна (вплоть до знака минус для антисимметрии).

Невырожденность показывает, что карта частичной оценки инъективна или, что то же самое, что ядро карты тривиально. В конечном измерении дуальное пространство $V^{*}$ имеет равную размерность $V$ , поэтому невырожденности достаточно, чтобы заключить, что отображение является линейным изоморфизмом. Если $\phi$ представляет собой структуру в векторном пространстве, иногда называемую это каноническим изоморфизмом $V\rightarrow V^{*}$ .

Следовательно, оно имеет обратную величину, $\phi ^{-1}:V^{*}\rightarrow V,$ и этого достаточно, чтобы определить связанную билинейную форму на двойственном:

\phi ^{-1}:V^{*}\times V^{*}\rightarrow K,\phi ^{-1}(\alpha ,\beta )=\phi (\phi ^{-1}(\alpha ),\phi ^{-1}(\beta )).

где неоднократное использование $\phi ^{-1}$ устраняется с помощью принятого аргумента. То есть, $\phi ^{-1}(\alpha )$ является обратной картой, а $\phi ^{-1}(\alpha ,\beta )$ является билинейной формой.

Проверка этих выражений в координатах показывает, что именно это абстрактно означает повышение и понижение индексов.

Тензоры

Мы не будем сразу развивать абстрактный формализм для тензоров. Формально $(r,s)$ Тензор — это объект, описываемый через его компоненты, и имеющий $r$ компоненты вверх, $s$ компоненты вниз. Общий $(r,s)$ тензор написан

T^{\mu _{1}\cdots \mu _{r}}{}_{\nu _{1}\cdots \nu _{s}}.

Мы можем использовать метрический тензор для повышения и понижения индексов тензора точно так же, как мы повышали и понижали векторные индексы и повышали индексы ковекторов.

Примеры

Тензор (0,0) – это число в поле $\mathbb {F}$ .
Тензор (1,0) является вектором.
Тензор (0,1) является ковектором.
Тензор (0,2) представляет собой билинейную форму. Примером может служить метрический тензор $g_{\mu \nu }.$
Тензор (1,1) является линейным отображением. Примером является дельта, $\delta ^{\mu }{}_{\nu }$ , что является тождественной картой или преобразованием Лоренца $\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }.$

Пример подъема и опускания

Для тензора (0,2) ^[1] двойное сжатие с обратным метрическим тензором и сжатие по разным индексам повышает каждый индекс:

A^{\mu \nu }=g^{\mu \rho }g^{\nu \sigma }A_{\rho \sigma }.

Аналогично, двойное сжатие метрического тензора и сокращение по разным индексам снижает каждый индекс:

A_{\mu \nu }=g_{\mu \rho }g_{\nu \sigma }A^{\rho \sigma }

Давайте применим это к теории электромагнетизма.

Контравариантный ( электромагнитный тензор в $+ - - -)$ сигнатуре имеет вид ^[2]

F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.

В компонентах,

F^{0i}=-F^{i0}=-{\frac {E^{i}}{c}},\quad F^{ij}=-\varepsilon ^{ijk}B_{k}

Чтобы получить ковариантный тензор $F αβ$ , заключите контракт с обратным метрическим тензором:

{\begin{aligned}F_{\alpha \beta }&=\eta _{\alpha \gamma }\eta _{\beta \delta }F^{\gamma \delta }\\&=\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta 0}F^{00}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta 0}F^{i0}+\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta i}F^{0i}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta j}F^{ij}\end{aligned}}

и поскольку $Ф 00 = 0$ и $F 0 я = - Ф я 0$ , это сводится к

F_{\alpha \beta }=\left(\eta _{\alpha i}\eta _{\beta 0}-\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta i}\right)F^{i0}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta j}F^{ij}

Теперь для $α = 0$ , $β = k = 1, 2, 3$ :

{\begin{aligned}F_{0k}&=\left(\eta _{0i}\eta _{k0}-\eta _{00}\eta _{ki}\right)F^{i0}+\eta _{0i}\eta _{kj}F^{ij}\\&={\bigl (}0-(-\delta _{ki}){\bigr )}F^{i0}+0\\&=F^{k0}=-F^{0k}\\\end{aligned}}

и по антисимметрии для $α = k = 1, 2, 3$ , $β = 0$ :

F_{k0}=-F^{k0}

затем, наконец, для $α = k = 1, 2, 3$ , $β = l = 1, 2, 3$ ;

{\begin{aligned}F_{kl}&=\left(\eta _{ki}\eta _{l0}-\eta _{k0}\eta _{li}\right)F^{i0}+\eta _{ki}\eta _{lj}F^{ij}\\&=0+\delta _{ki}\delta _{lj}F^{ij}\\&=F^{kl}\\\end{aligned}}

Тогда (ковариантный) нижний индексированный тензор:

F_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&{\frac {E_{x}}{c}}&{\frac {E_{y}}{c}}&{\frac {E_{z}}{c}}\\-{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}

Эта операция эквивалентна умножению матрицы

{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\frac {E_{x}}{c}}&{\frac {E_{y}}{c}}&{\frac {E_{z}}{c}}\\-{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.

Генеральное звание

Для тензора порядка $n$ индексы повышаются (совместимо с вышеизложенным): ^[1]

g^{j_{1}i_{1}}g^{j_{2}i_{2}}\cdots g^{j_{n}i_{n}}A_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}=A^{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}

и снижен на:

g_{j_{1}i_{1}}g_{j_{2}i_{2}}\cdots g_{j_{n}i_{n}}A^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}=A_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}

и для смешанного тензора:

g_{p_{1}i_{1}}g_{p_{2}i_{2}}\cdots g_{p_{n}i_{n}}g^{q_{1}j_{1}}g^{q_{2}j_{2}}\cdots g^{q_{m}j_{m}}{A^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{m}}={A_{p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}}^{q_{1}q_{2}\cdots q_{m}}

Нам не нужно повышать или понижать все индексы одновременно: вполне нормально повышать или понижать один индекс. Снижение индекса $(r,s)$ тензор дает $(r-1,s+1)$ тензор, а повышение индекса дает $(r+1,s-1)$ (где $r,s$ иметь подходящие значения, например, мы не можем снизить индекс $(0,2)$ тензор.)

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Кей, округ Колумбия (1988). Тензорное исчисление . Очерки Шаума. Нью-Йорк: МакГроу Хилл. ISBN 0-07-033484-6 .
^ NB: Некоторые тексты, например: Гриффитс, Дэвид Дж . (1987). Введение в элементарные частицы . Wiley, John & Sons, Inc. ISBN 0-471-60386-4 . , покажет этот тензор с общим коэффициентом −1. Это связано с тем, что они использовали отрицательный результат используемого здесь метрического тензора: $(- + + +)$ , см. метрическую сигнатуру . отсутствуют, $В более старых текстах, таких как Джексон (2-е издание), коэффициенты c$ поскольку в них используются гауссовы единицы . Здесь единицы СИ . используются

[Schaum’s_Outlines-1] Jump up to: ^а ^б Кей, округ Колумбия (1988). Тензорное исчисление . Очерки Шаума. Нью-Йорк: МакГроу Хилл. ISBN 0-07-033484-6 .

[2] NB: Некоторые тексты, например: Гриффитс, Дэвид Дж . (1987). Введение в элементарные частицы . Wiley, John & Sons, Inc. ISBN 0-471-60386-4 . , покажет этот тензор с общим коэффициентом −1. Это связано с тем, что они использовали отрицательный результат используемого здесь метрического тензора: $(- + + +)$ , см. метрическую сигнатуру . отсутствуют, $В более старых текстах, таких как Джексон (2-е издание), коэффициенты c$ поскольку в них используются гауссовы единицы . Здесь единицы СИ . используются

[1]

[2]

v т и Риманова геометрия ( Глоссарий )
Basic concepts	Curvature tensor Scalar Ricci Sectional Exponential map Geodesic Inner product Metric tensor Levi-Civita connection Covariant derivative Signature Raising and lowering indices/Musical isomorphism Parallel transport Riemannian manifold Pseudo-Riemannian manifold Riemannian volume form
Types of manifolds	Hermitian Hyperbolic Kähler Kenmotsu
Main results	Fundamental theorem of Riemannian geometry Gauss's lemma Gauss–Bonnet theorem Hopf–Rinow theorem Nash embedding theorem Ricci flow Schur's lemma
Generalizations	Finsler Hilbert Sub-Riemannian
Applications	General relativity Geometrization conjecture Poincaré conjecture Uniformization theorem