Псевдориманово многообразие

В математической физике — псевдориманово многообразие . ^[1]^[2] также называемое полуримановым многообразием , представляет собой дифференцируемое многообразие с метрическим тензором , который всюду невырожден . Это обобщение риманова многообразия , в котором требование положительной определенности ослаблено.

Каждое касательное пространство псевдориманова многообразия является псевдоевклидовым векторным пространством .

Особым случаем, используемым в общей теории относительности, является четырехмерное лоренцево многообразие для моделирования пространства-времени , где касательные векторы можно классифицировать как времениподобные, нулевые и пространственноподобные .

Введение

Коллекторы

В дифференциальной геометрии дифференцируемое многообразие — это пространство, локально подобное евклидову пространству . В n -мерном евклидовом пространстве любая точка может быть задана n действительными числами. Они называются координатами точки.

n - мерное дифференцируемое многообразие является обобщением n -мерного евклидова пространства. В многообразии координаты можно определить только локально . Это достигается путем определения участков координат : подмножеств многообразия, которые можно отобразить в n -мерное евклидово пространство.

См. «Манифолд» , «Дифференцируемое многообразие» , «Координатный участок» для получения более подробной информации.

Касательные пространства и метрические тензоры

Связано с каждой точкой $p$ в $n$ -мерное дифференцируемое многообразие $M$ является касательным пространством (обозначается $T_{p}M$ ). Это $n$ -мерное векторное пространство , элементы которого можно рассматривать как классы эквивалентности кривых, проходящих через точку. $p$ .

Метрический тензор — это невырожденное , гладкое, симметричное, билинейное отображение , которое ставит в соответствие действительное число парам касательных векторов в каждом касательном пространстве многообразия. Обозначая метрический тензор через $g$ мы можем выразить это как

g:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} .

Карта симметрична и билинейна, поэтому если $X,Y,Z\in T_{p}M$ являются касательными векторами в точке $p$ к коллектору $M$ тогда у нас есть

$\,g(X,Y)=g(Y,X)$
$\,g(aX+Y,Z)=ag(X,Z)+g(Y,Z)$

для любого действительного числа $a\in \mathbb {R}$ .

Что $g$ невырождено , означает, что не существует ненулевого $X\in T_{p}M$ такой, что $\,g(X,Y)=0$ для всех $Y\in T_{p}M$ .

Метрические подписи

Учитывая метрический тензор g на n -мерном вещественном многообразии, квадратичная форма q ( x ) = g ( x , x ), связанная с метрическим тензором, примененным к каждому вектору любого ортогонального базиса, дает n действительных значений. Согласно закону инерции Сильвестра , количество каждых положительных, отрицательных и нулевых значений, полученных таким образом, является инвариантами метрического тензора, независимо от выбора ортогонального базиса. Сигнатура ) ( p , q , r . метрического тензора дает эти числа, показанные в том же порядке Невырожденный метрический тензор имеет r = 0 , и сигнатуру можно обозначить ( p , q ), где p + q = n .

Определение

Псевдориманово многообразие $(M,g)$ является дифференцируемым многообразием $M$ снабженный всюду невырожденным гладким симметричным метрическим тензором $g$ .

Такая метрика называется псевдоримановой метрикой . Применительно к векторному полю результирующее значение скалярного поля в любой точке многообразия может быть положительным, отрицательным или нулевым.

Сигнатура псевдоримановой метрики — ( p , q ) , где p и q неотрицательны. Условие невырожденности вместе с непрерывностью означает, что p и q остаются неизменными во всем многообразии (при условии, что оно связно).

Лоренцево многообразие

Лоренцево многообразие — это важный частный случай псевдориманова многообразия, в котором сигнатура метрики равна (1, n −1) (эквивалентно ( n −1, 1) ; см. Соглашение о знаках ). Такие метрики называются лоренцевыми метриками . Они названы в честь голландского физика Хендрика Лоренца .

Приложения в физике

После римановых многообразий лоренцевы многообразия образуют наиболее важный подкласс псевдоримановых многообразий. Они важны в приложениях общей теории относительности .

Основная предпосылка общей теории относительности состоит в том, что пространство-время можно смоделировать как 4-мерное лоренцево многообразие сигнатуры (3, 1) или, что то же самое, (1, 3) . В отличие от римановых многообразий с положительно определенной метрикой, неопределенная сигнатура позволяет классифицировать касательные векторы на времениподобные , нулевые или пространственноподобные . С сигнатурой ( p , 1) или (1, q ) многообразие также локально (и, возможно, глобально) ориентируемо по времени (см. Причинная структура ).

Свойства псевдоримановых многообразий

Так же, как евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ можно рассматривать как модель риманова многообразия , пространства Минковского. $\mathbb {R} ^{n-1,1}$ с плоской метрикой Минковского – модельное лоренцево многообразие. Аналогично, модельное пространство псевдориманова многообразия сигнатуры ( p , q ) равно $\mathbb {R} ^{p,q}$ с метрикой

g=dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{p}^{2}-dx_{p+1}^{2}-\cdots -dx_{p+q}^{2}

Некоторые основные теоремы римановой геометрии можно обобщить на псевдориманов случай. В частности, основная теорема римановой геометрии справедлива и для псевдоримановых многообразий. Это позволяет говорить о связности Леви-Чивита на псевдоримановом многообразии вместе с соответствующим тензором кривизны . С другой стороны, в римановой геометрии существует множество теорем, которые не выполняются в обобщенном случае. Например, неверно , что каждое гладкое многообразие допускает псевдориманову метрику заданной сигнатуры; существуют определенные топологические препятствия. Более того, подмногообразие не всегда наследует структуру псевдориманова многообразия; например, метрический тензор обращается в ноль на любой светоподобной кривой . Тор Клифтона – Пола представляет собой пример псевдориманова многообразия, которое является компактным, но не полным, комбинацией свойств, которые теорема Хопфа – Риноу запрещает для римановых многообразий. ^[3]

См. также

Примечания

Ссылки

Бенн, ИМ; Такер, Р.В. (1987), Введение в спиноры и геометрию с приложениями в физике (впервые опубликовано в 1987 году), Адам Хилгер, ISBN 0-85274-169-3
Бишоп, Ричард Л .; Гольдберг, Сэмюэл И. (1968), Тензорный анализ многообразий (первое изд. Дувра, 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
Чен, Банг-Йен (2011), Псевдориманова геометрия, [дельта]-инварианты и приложения , World Scientific Publisher, ISBN 978-981-4329-63-7
О'Нил, Барретт (1983), Полуриманова геометрия с приложениями к теории относительности , Чистая и прикладная математика, том. 103, Академическое издательство, ISBN 9780080570570
Вранчану, Г.; Рошка, Р. (1976), Введение в теорию относительности и псевдориманову геометрию , Бухарест: Издательство Академии Социалистической Республики Румыния .

Внешние ссылки

СМИ, связанные с лоренцевыми многообразиями, на Викискладе?

[1] Бенн и Такер (1987) , с. 172.

[2] Бишоп и Голдберг (1968) , с. 208

[3] О'Нил (1983) , с. 193.

[1]

[2]

[3]

v т и Риманова геометрия ( Глоссарий )
Basic concepts	Curvature tensor Scalar Ricci Sectional Exponential map Geodesic Inner product Metric tensor Levi-Civita connection Covariant derivative Signature Raising and lowering indices/Musical isomorphism Parallel transport Riemannian manifold Pseudo-Riemannian manifold Riemannian volume form
Types of manifolds	Hermitian Hyperbolic Kähler Kenmotsu
Main results	Fundamental theorem of Riemannian geometry Gauss's lemma Gauss–Bonnet theorem Hopf–Rinow theorem Nash embedding theorem Ricci flow Schur's lemma
Generalizations	Finsler Hilbert Sub-Riemannian
Applications	General relativity Geometrization conjecture Poincaré conjecture Uniformization theorem