Псевдоевклидово пространство

В математике и теоретической физике псевдоевклидово пространство сигнатуры $(k, nk)$ представляет собой конечномерное вещественное вместе $n$ -пространство с невырожденной квадратичной формой $q$ . Такую квадратичную форму можно, при подходящем выборе базиса $(e 1, \dots,) en,$ применить к вектору $x = x 1 e 1 + \dots + x n e n$ , давая $q(x)=\left(x_{1}^{2}+\dots +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}\right)$ который называется скалярным квадратом вектора $x$ . ^[1]^: 3

Для евклидовых пространств k $= n,$ подразумевая, что квадратичная форма положительно определена . ^[2] Когда $0 < k < n$ , то $q$ — изотропная квадратичная форма . Обратите внимание, что если $1 ⩽ i ⩽ k < j ⩽ n$ , то $(e i + e j) = 0$ , так что $ei j + e q$ является нулевым вектором . В псевдоевклидовом пространстве с $k < n$ , в отличие от евклидова пространства, существуют векторы с отрицательным квадратом скаляра.

Как и в случае с термином «евклидово пространство» , термин «псевклидово пространство» может использоваться для обозначения аффинного пространства или векторного пространства в зависимости от автора, причем последнее альтернативно называется псевдоевклидовым векторным пространством. ^[3] (см. различие между точкой и вектором ).

Геометрия

Геометрия псевдоевклидова пространства последовательна, несмотря на то, что некоторые свойства евклидова пространства неприменимы, в первую очередь то, что оно не является метрическим пространством, как объясняется ниже. Аффинная структура неизменна, а значит, и понятия линия , плоскость и вообще аффинное подпространство ( плоское ), а также отрезки прямой .

Положительные, нулевые и отрицательные скалярные квадраты

$n = 3$ , $k$ 2 в зависимости от выбора знака q $равно 1 или$

Нулевой вектор — это вектор, для которого квадратичная форма равна нулю. В отличие от евклидова пространства, такой вектор может быть ненулевым, и в этом случае он самоортогонален .Если квадратичная форма неопределенна, псевдоевклидово пространство имеет линейный конус нулевых векторов, заданный формулой ${x | q (Икс) знак равно 0 }$ . Когда псевдоевклидово пространство представляет собой модель пространства-времени (см. ниже ), нулевой конус называется световым конусом начала координат.

Нулевой конус разделяет два открытых множества . ^[4] соответственно, для которых $q (x) > 0$ и $q (x) < 0$ . Если $k \geq 2$ , то множество векторов, для которых $q (x) > 0$ связно , . Если $k = 1$ , то он состоит из двух непересекающихся частей: одной с $x 1 > 0$ , а другой с $x 1 < 0$ . Аналогично, если $n - k \geq 2$ , то множество векторов, для которых $q (x) < 0,$ связно. Если $n - k = 1$ , то он состоит из двух непересекающихся частей: одной с $x n > 0$ , а другой с $x n < 0$ .

Интервал

Квадратичная форма $q$ соответствует квадрату вектора в евклидовом случае. Чтобы определить векторную норму (и расстояние) инвариантным способом , необходимо получить квадратные корни из скалярных квадратов, что приводит, возможно, к мнимым расстояниям; увидеть квадратный корень из отрицательных чисел . Но даже для треугольника с положительными скалярными квадратами всех трех сторон (квадратные корни которого действительны и положительны) неравенство треугольника , вообще говоря, не выполняется.

термины норма и расстояние Следовательно, в псевдоевклидовой геометрии избегаются , которые можно заменить скалярным квадратом и интервалом соответственно.

Однако для кривой которой , все касательные векторы имеют скалярные квадраты одного знака, длина дуги определена. У него есть важные применения: увидеть собственное время например, .

Вращения и сферы

Группа вращений неопределенная такого пространства — это ортогональная группа $O(q)$ , также обозначаемая как $O(k, n - k)$ без ссылки на конкретную квадратичную форму. ^[5] Такие «повороты» сохраняют форму $q$ и, следовательно, скалярный квадрат каждого вектора, включая то, является ли он положительным, нулевым или отрицательным.

В то время как евклидово пространство имеет единичную сферу , псевдоевклидово пространство имеет гиперповерхности ${x | q (Икс) знак равно 1 }$ и ${Икс | q (Икс) знак равно -1 }$ . Такая гиперповерхность, называемая квазисферой , сохраняется соответствующей неопределенной ортогональной группой.

Симметричная билинейная форма

Квадратичная форма $q$ порождает симметричную билинейную форму, определяемую следующим образом:

\langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{2}}[q(x+y)-q(x)-q(y)]=\left(x_{1}y_{1}+\ldots +x_{k}y_{k}\right)-\left(x_{k+1}y_{k+1}+\ldots +x_{n}y_{n}\right).

Квадратичная форма может быть выражена через билинейную форму: $q (x) = ⟨ x, x ⟩$ .

Когда $⟨ x, y ⟩ = 0$ , тогда $x$ и $y$ — ортогональные векторы псевдоевклидова пространства.

Эту билинейную форму часто называют скалярным произведением , а иногда и «внутренним произведением» или «скалярным произведением», но она не определяет пространство внутреннего произведения и не обладает свойствами скалярного произведения евклидовых векторов.

Если $x$ и $y$ ортогональны и $(x) q (y) < 0$ , то $x$ гиперболически -ортогонален y $q$ .

Стандартный базис реального $n$ -пространства ортогонален . нет ортонормальных базисов В псевдоевклидовом пространстве , для которых билинейная форма неопределенна, поскольку ее нельзя использовать для определения векторной нормы .

Подпространства и ортогональность

Для (положительномерного) подпространства ^[6] $U$ псевдоевклидова пространства, когда квадратичная форма $ограничена$ U , q $возможны$ следующие три случая:

$д | U$ либо положительно, либо отрицательно определен . Тогда $U$ существенно евклидово (с точностью до знака $q$ ).
$д | U$ неопределенно, но невырождено. Тогда $U$ само является псевдоевклидовым. Это возможно только в том случае, если $dim U \geq 2$ ; если $dim U = 2$ , что означает, что $U$ — плоскость , то она называется гиперболической плоскостью .
$д | У$ деградировал.

Одним из наиболее неприятных свойств (для евклидовой интуиции) псевдоевклидовых векторов и квартир является их ортогональность . Когда два ненулевых евклидовых вектора ортогональны, они не коллинеарны . Пересечения любого евклидова линейного подпространства с его ортогональным дополнением представляют собой ${0}$ подпространство . Но из определения из предыдущего подраздела сразу следует, что любой вектор $ν$ нулевого скалярного квадрата ортогонален сам себе. Следовательно, изотропная линия $N = ⟨ ν ⟩,$ порожденная нулевым вектором ν, является подмножеством его ортогонального дополнения $N ⊥$ .

Формальное определение ортогонального дополнения векторного подпространства в псевдоевклидовом пространстве дает совершенно корректный результат, который удовлетворяет равенству $dim U + dim U ⊥ = n$ из-за невырожденности квадратичной формы. Это просто условие

У \cap У ⊥ = {0}

или, что то же самое,

U + U ⊥ =

все пространство,

которое можно нарушить, если подпространство $U$ содержит нулевое направление. ^[7] Хотя подпространства образуют решетку , как и в любом векторном пространстве, эта $⊥$ операция не является ортодополнением , в отличие от пространств внутреннего произведения .

Для подпространства $N,$ состоящего полностью из нулевых векторов (что означает, что скалярный квадрат $q$ , ограниченный $N$ , равен $0$ ), всегда выполняется:

Н \subset Н ⊥

или, что то же самое,

N \cap N ⊥ = Н.

до $min(k, n - k)$ Такое подпространство может иметь размерность . ^[8]

Для (положительного) евклидова $k$ -подпространства его ортогональным дополнением является $(n - k)$ -мерное отрицательное «евклидово» подпространство, и наоборот.Обычно для $(d + + d - + d 0)$ -мерного подпространства $U,$ состоящего из $d +$ положительных и $d -$ отрицательных измерений (см. закон инерции Сильвестра для пояснения), его ортогональное «дополнение» $U ⊥$ имеет $(k - d + - d 0)$ положительные и $(n - k - d - - d 0)$ отрицательные размерности, а остальные $d 0$ вырождены и образуют $U \cap U ⊥$ пересечение.

Закон параллелограмма и теорема Пифагора

Закон параллелограмма принимает вид

q(x)+q(y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)+q(x-y)).

Используя квадрат тождества суммы , для произвольного треугольника можно выразить скалярный квадрат третьей стороны из скалярных квадратов двух сторон и произведения их билинейной формы:

q(x+y)=q(x)+q(y)+2\langle x,y\rangle .

Это показывает, что для ортогональных векторов справедлив псевдоевклидов аналог теоремы Пифагора :

\langle x,y\rangle =0\Rightarrow q(x)+q(y)=q(x+y).

Угол

Как правило, абсолютное значение $| ⟨ х, у ⟩ |$ билинейной формы на двух векторах может быть больше $\sqrt | q (Икс) q (y) |$ , равно ему или меньше. Это вызывает те же проблемы с определением угла (см. Скалярное произведение § Геометрическое определение ), как показано выше для расстояний.

Если $k = 1$ (только один положительный член в $q$ ), то для векторов положительного скалярного квадрата: $|\langle x,y\rangle |\geq {\sqrt {q(x)q(y)}}\,,$

что позволяет определить гиперболический угол , аналог угла между этими векторами через обратный гиперболический косинус : ^[9] $\operatorname {arcosh} {\frac {|\langle x,y\rangle |}{\sqrt {q(x)q(y)}}}\,.$

Оно соответствует расстоянию в $(n - 1)$ -мерном гиперболическом пространстве . Это известно как быстрота в контексте теории относительности, обсуждаемой ниже . В отличие от евклидова угла, он принимает значения из $[0, +\infty)$ и равен 0 для антипараллельных векторов .

Не существует разумного определения угла между нулевым вектором и другим вектором (нулевым или ненулевым).

Алгебра и тензорное исчисление

Подобно евклидовым пространствам, каждое псевдоевклидово векторное пространство порождает алгебру Клиффорда . В отличие от свойств, приведенных выше, где замена $q$ на $- q$ меняла числа, но не геометрию , изменение знака квадратичной формы приводит к отдельной алгебре Клиффорда, поэтому, например, $Cl 1,2 (R)$ и $Cl 2,1 (R)$ являются не изоморфен.

Как и в любом векторном пространстве, существуют псевдоевклидовы тензоры . Как и в евклидовой структуре, здесь есть операторы повышения и понижения индексов , но, в отличие от случая с евклидовыми тензорами , нет баз, в которых эти операции не меняли бы значений компонентов . Если существует вектор $v б$ , соответствующий ковариантный вектор :

v_{\alpha }=q_{\alpha \beta }v^{\beta }\,,

и со стандартной формой

q_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}I_{k\times k}&0\\0&-I_{(n-k)\times (n-k)}\end{pmatrix}}

первые $k$ компонентов $v α$ численно такие же, как и компоненты $v б$ , но остальные $n - k$ имеют противоположные знаки .

Соответствие между контравариантными и ковариантными тензорами делает тензорное исчисление на псевдоримановых многообразиях обобщением исчисления на римановых многообразиях.

Примеры

Очень важным псевдоевклидовым пространством является пространство Минковского специальная теория относительности , которое представляет собой математическую основу, в которой формулируется . Для пространства Минковского $n = 4$ и $k = 3.$ ^[10] так что

q(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2},

Геометрию, связанную с этой псевдометрикой, исследовал Пуанкаре . ^[11]^[12] Его группа вращения — группа Лоренца . Группа Пуанкаре включает в себя также трансляции и играет ту же роль, что и евклидовы группы обычных евклидовых пространств.

Другое псевдоевклидово пространство — это плоскость $z = x + yj,$ состоящая из расщепленных комплексных чисел , снабженная квадратичной формой

\lVert z\rVert =zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}.

Это простейший случай неопределенного псевдоевклидова пространства ( $n = 2$ , $k = 1$ ) и единственный случай, когда нулевой конус делит оставшееся пространство на четыре открытых множества. Группа $СО + (1, 1)$ состоит из так называемых гиперболических вращений .

См. также

Сноски

^ Эли Картан (1981), Теория спиноров , Dover Publications , ISBN 0-486-64070-1
^ Евклидовы пространства считаются псевдоевклидовыми пространствами - см., например. Рафал Абламович; П. Лунесто (2013), Алгебры Клиффорда и спинорные структуры , Springer Science & Business Media , стр. 32 .
^ Рафал Абламович; П. Лунесто (2013), Алгебры Клиффорда и спинорные структуры , Springer Science & Business Media , стр. 32 [1]
^ Стандартная топология на $R н$ предполагается.
^ Что такое «группа вращений», зависит от точного определения вращения. Группы «О» содержат неправильные вращения . Преобразования, сохраняющие ориентацию, образуют группу $SO(q)$ или $SO(k, n - k)$ , но она также не связна , если оба $k$ и $n - k$ положительны. Группа $СО + (q)$ , который сохраняет ориентацию на положительных и отрицательных скалярных квадратных частях отдельно, является (связным) аналогом евклидовой группы вращений $SO(n)$ . Действительно, все эти группы являются группами Ли размерности $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 1 / 2 ⁠ п ( п - 1)$ .
^ квартиры с Предполагается линейное подпространство, но те же выводы верны и для аффинной той единственной сложностью, что квадратичная форма всегда определяется на векторах, а не на точках.
^ На самом деле $U \cap U ⊥$ не равен нулю только в том случае, если квадратичная форма $q,$ ограниченная на $U$ , вырождена.
^ Томас Э. Сесил (1992) Геометрия сферы Ли , страница 24, Universitext Springer ISBN 0-387-97747-3
^ Обратите внимание, что $cos (i arcosh s) = s$ , поэтому для $s > 0$ их можно понимать как мнимые углы.
^ Другое устоявшееся представление использует $k = 1$ и индексы координат, начиная с $0$ (следовательно, $q (x) = x 02 - х 12 - х 22 - х 32$ ), но они эквивалентны с точностью до знака $q$ . См. Соглашение о знаках § Метрическая подпись .
^ Х. Пуанкаре (1906) О динамике электрона , отчеты Математического круга Палермо
^ Б. А. Розенфельд (1988) История неевклидовой геометрии , стр. 266, Исследования по истории математики и физических наук № 12, Springer ISBN 0-387-96458-4

Ссылки

Картан, Эли (1981) [1938], Теория спиноров , Нью-Йорк: Dover Publications , стр. 3, ISBN 978-0-486-64070-9 , МР 0631850
Вернер Греуб (1963) Линейная алгебра , 2-е издание, §12.4 Псевдоевклидовы пространства, стр. 237–49, Springer-Verlag.
Уолтер Нолл (1964) «Евклидова геометрия и хронометрия Минковского», American Mathematical Monthly 71:129–44.
Новиков, ИП; Фоменко А.Т.; [перевод с русского М. Цаплиной] (1990). Основные элементы дифференциальной геометрии и топологии . Дордрехт; Бостон: Академическое издательство Kluwer. ISBN 0-7923-1009-8 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Секерес, Питер (2004). Курс современной математической физики: группы, гильбертово пространство и дифференциальная геометрия . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-82960-7 .
Шафаревич, ИР ; А.О. Ремизов (2012). Линейная алгебра и геометрия . Спрингер . ISBN 978-3-642-30993-9 .

Внешние ссылки

Д. Д. Соколов (составитель), Псевдоевклидово пространство , Энциклопедия математики

[1] Эли Картан (1981), Теория спиноров , Dover Publications , ISBN 0-486-64070-1

[2] Евклидовы пространства считаются псевдоевклидовыми пространствами - см., например. Рафал Абламович; П. Лунесто (2013), Алгебры Клиффорда и спинорные структуры , Springer Science & Business Media , стр. 32 .

[3] Рафал Абламович; П. Лунесто (2013), Алгебры Клиффорда и спинорные структуры , Springer Science & Business Media , стр. 32 [1]

[4] Стандартная топология на $R н$ предполагается.

[5] Что такое «группа вращений», зависит от точного определения вращения. Группы «О» содержат неправильные вращения . Преобразования, сохраняющие ориентацию, образуют группу $SO(q)$ или $SO(k, n - k)$ , но она также не связна , если оба $k$ и $n - k$ положительны. Группа $СО + (q)$ , который сохраняет ориентацию на положительных и отрицательных скалярных квадратных частях отдельно, является (связным) аналогом евклидовой группы вращений $SO(n)$ . Действительно, все эти группы являются группами Ли размерности $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 1 / 2 ⁠ п ( п - 1)$ .

[6] квартиры с Предполагается линейное подпространство, но те же выводы верны и для аффинной той единственной сложностью, что квадратичная форма всегда определяется на векторах, а не на точках.

[7] На самом деле $U \cap U ⊥$ не равен нулю только в том случае, если квадратичная форма $q,$ ограниченная на $U$ , вырождена.

[8] Томас Э. Сесил (1992) Геометрия сферы Ли , страница 24, Universitext Springer ISBN 0-387-97747-3

[9] Обратите внимание, что $cos (i arcosh s) = s$ , поэтому для $s > 0$ их можно понимать как мнимые углы.

[10] Другое устоявшееся представление использует $k = 1$ и индексы координат, начиная с $0$ (следовательно, $q (x) = x 02 - х 12 - х 22 - х 32$ ), но они эквивалентны с точностью до знака $q$ . См. Соглашение о знаках § Метрическая подпись .

[11] Х. Пуанкаре (1906) О динамике электрона , отчеты Математического круга Палермо

[12] Б. А. Розенфельд (1988) История неевклидовой геометрии , стр. 266, Исследования по истории математики и физических наук № 12, Springer ISBN 0-387-96458-4

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]