Декартов тензор

Два разных трехмерных ортонормированных базиса : каждый базис состоит из взаимно перпендикулярных единичных векторов.

В геометрии и линейной алгебре тензор использует ортонормированный базис для представления тензора декартов в евклидовом пространстве в виде компонентов. Преобразование компонентов тензора из одного такого базиса в другой осуществляется посредством ортогонального преобразования .

Наиболее распространенными системами координат являются двумерная и трехмерная декартова система координат . Декартовы тензоры могут использоваться с любым евклидовым пространством или, более технически, с любым конечномерным векторным пространством над полем действительных чисел , имеющим внутренний продукт .

Использование декартовых тензоров происходит в физике и технике , например, с тензором напряжений Коши и тензором момента инерции в динамике твердого тела . Иногда общие криволинейные координаты высокодеформированных удобны, как в механике сплошных сред , или даже необходимы, как в общей теории относительности . Хотя для некоторых таких систем координат можно найти ортонормированные основы (например, касательные к сферическим координатам ), декартовы тензоры могут обеспечить значительное упрощение для приложений, в которых достаточно вращения прямолинейных осей координат. Преобразование является пассивным преобразованием , поскольку изменяются координаты, а не физическая система.

Декартов базис и связанная с ним терминология

Векторы в трех измерениях

В трехмерном евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{3}$, базисом является ex _, e e _y , . _z стандартным Каждый базисный вектор указывает вдоль осей x, y и z, и все векторы являются единичными векторами (или нормализованы), поэтому базис ортонормирован .

Везде, когда речь идет о декартовых координатах в трех измерениях , предполагается правосторонняя система, и на практике это встречается гораздо чаще, чем левосторонняя система, см. в разделе «Ориентация (векторное пространство)» подробности .

Для декартовых тензоров порядка 1 декартов вектор a можно записать алгебраически как линейную комбинацию базисных векторов e _x , e _y , e _z :

$$\mathbf {a} =a_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}$$

где координаты вектора относительно декартова базиса обозначаются a _x , a _y , a _z . Обычно и полезно отображать базисные векторы в виде векторов-столбцов.

$$\mathbf {e} _{\text{x}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {e} _{\text{y}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {e} _{\text{z}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$$

когда у нас есть вектор координат в представлении вектора-столбца:

$$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{\text{x}}\\a_{\text{y}}\\a_{\text{z}}\end{pmatrix}}$$

Представление вектора -строки также допустимо, хотя в контексте общих криволинейных систем координат представления вектора-строки и вектора-столбца используются отдельно по определенным причинам - . Обозначение Эйнштейна , а также ковариацию и контравариантность векторов почему см .

Термин «компонент» вектора неоднозначен: он может относиться к:

• конкретная координата вектора, например ( _z скаляр), и аналогично для x и y , или
• координатный скаляр, умножающий соответствующий базисный вектор, и в этом случае « y ( вектор ) , _и y-компонент» a представляет собой y e _{аналогично} для x и z .

Более общая нотация — это нотация тензорного индекса , которая обеспечивает гибкость числовых значений, а не меток фиксированных координат. Декартовы метки заменяются тензорными индексами в базисных векторах e _x ↦ e ₁ , e _y ↦ e ₂ , e _z ↦ e ₃ и координатах a _x ↦ a ₁ , a _y ↦ a ₂ , a _z ↦ a ₃ . общем, обозначения e1 _, , e2 _В , e3 _; относятся к базису , а a2 _{соответствующей} , a3 _{относятся} любому к _a1 системе координат хотя здесь они ограничиваются картезианской системой. Затем:

$$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}=\sum _{i=1}^{3}a_{i}\mathbf {e} _{i}$$

Стандартно используется нотация Эйнштейна - знак суммирования для суммирования по индексу, который присутствует ровно дважды в термине, может быть подавлен для краткости обозначений:

$$\mathbf {a} =\sum _{i=1}^{3}a_{i}\mathbf {e} _{i}\equiv a_{i}\mathbf {e} _{i}$$

Преимущество индексной записи перед обозначениями, специфичными для координат, заключается в независимости размерности основного векторного пространства, т.е. одно и то же выражение в правой части принимает одну и ту же форму в более высоких измерениях (см. Ниже). Раньше декартовы метки x, y, z были просто метками, а не индексами. (Неофициально говорить « i = x, y, z»).

Тензоры второго порядка в трех измерениях

Диадический тензор T — это тензор второго порядка, образованный тензорным произведением ⊗ двух декартовых векторов a и b , записанных T = a ⊗ b . Аналогично векторам, его можно записать как линейную комбинацию тензорного базиса e _x ⊗ e _x ≡ e _xx , e _x ⊗ e _y ≡ e _xy , ..., e _z ⊗ e _z ≡ e _zz (право- обратная сторона каждого тождества — это всего лишь аббревиатура, не более того):

$${\begin{aligned}\mathbf {T} =\quad &\left(a_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\right)\otimes \left(b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}+b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\right)\\[5pt]{}=\quad &a_{\text{x}}b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{x}}b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{x}}b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}\\[4pt]{}+{}&a_{\text{y}}b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{y}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{y}}b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{y}}b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{y}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}\\[4pt]{}+{}&a_{\text{z}}b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{z}}b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{z}}b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}\end{aligned}}$$

Представление каждого базисного тензора в виде матрицы:

$${\begin{aligned}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}&\equiv \mathbf {e} _{\text{xx}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}&\equiv \mathbf {e} _{\text{xy}}={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}&\equiv \mathbf {e} _{\text{zz}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$$

тогда T можно более систематически представить в виде матрицы:

$$\mathbf {T} ={\begin{pmatrix}a_{\text{x}}b_{\text{x}}&a_{\text{x}}b_{\text{y}}&a_{\text{x}}b_{\text{z}}\\a_{\text{y}}b_{\text{x}}&a_{\text{y}}b_{\text{y}}&a_{\text{y}}b_{\text{z}}\\a_{\text{z}}b_{\text{x}}&a_{\text{z}}b_{\text{y}}&a_{\text{z}}b_{\text{z}}\end{pmatrix}}$$

См. умножение матриц , чтобы узнать о соответствии обозначений между матрицами и скалярным и тензорным произведениями.

В более общем смысле, независимо от того, является ли T тензорным произведением двух векторов, это всегда линейная комбинация базисных тензоров с координатами T _xx , T _xy , ..., T _zz :

$${\begin{aligned}\mathbf {T} =\quad &T_{\text{xx}}\mathbf {e} _{\text{xx}}+T_{\text{xy}}\mathbf {e} _{\text{xy}}+T_{\text{xz}}\mathbf {e} _{\text{xz}}\\[4pt]{}+{}&T_{\text{yx}}\mathbf {e} _{\text{yx}}+T_{\text{yy}}\mathbf {e} _{\text{yy}}+T_{\text{yz}}\mathbf {e} _{\text{yz}}\\[4pt]{}+{}&T_{\text{zx}}\mathbf {e} _{\text{zx}}+T_{\text{zy}}\mathbf {e} _{\text{zy}}+T_{\text{zz}}\mathbf {e} _{\text{zz}}\end{aligned}}$$

а в терминах тензорных индексов:

$$\mathbf {T} =T_{ij}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum _{ij}T_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,,$$

и в матричной форме:

$$\mathbf {T} ={\begin{pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{yy}}&T_{\text{yz}}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{zz}}\end{pmatrix}}$$

Тензоры второго порядка естественным образом возникают в физике и технике, когда физические величины имеют зависимость от направления в системе, часто по принципу «стимул-реакция». Математически это можно увидеть через один аспект тензоров — они являются полилинейными функциями . Тензор второго порядка T , который принимает вектор u некоторой величины и направления, вернет вектор v ; другой величины и в другом направлении по отношению к вам , вообще. Обозначения, используемые для функций в математическом анализе, приводят нас к записи v − T ( u ) , в то время как та же идея может быть выражена в матричных и индексных обозначениях (включая соглашение о суммировании) соответственно:

$${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}v_{\text{x}}\\v_{\text{y}}\\v_{\text{z}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{yy}}&T_{\text{yz}}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u_{\text{x}}\\u_{\text{y}}\\u_{\text{z}}\end{pmatrix}}\,,&v_{i}&=T_{ij}u_{j}\end{aligned}}$$

По «линейному», если u = ρ r + σ s для двух скаляров ρ и σ и векторов r и s , то в обозначениях функции и индекса:

$${\begin{aligned}\mathbf {v} &=&&\mathbf {T} (\rho \mathbf {r} +\sigma \mathbf {s} )&=&&\rho \mathbf {T} (\mathbf {r} )+\sigma \mathbf {T} (\mathbf {s} )\\[1ex]v_{i}&=&&T_{ij}(\rho r_{j}+\sigma s_{j})&=&&\rho T_{ij}r_{j}+\sigma T_{ij}s_{j}\end{aligned}}$$

и аналогично для матричной записи. Обозначения функций, матриц и индексов означают одно и то же. Матричные формы обеспечивают четкое отображение компонентов, а индексная форма позволяет упростить тензорно-алгебраические манипуляции с формулами в компактной форме. Оба обеспечивают физическую интерпретацию направлений ; векторы имеют одно направление, а тензоры второго порядка соединяют два направления вместе. Можно связать индекс тензора или метку координат с направлением базисного вектора.

Использование тензоров второго порядка является минимумом для описания изменений величин и направлений векторов, поскольку скалярное произведение двух векторов всегда является скаляром, а векторное произведение двух векторов всегда является псевдовектором, перпендикулярным плоскости, определяемой векторы, поэтому эти произведения векторов сами по себе не могут получить новый вектор любой величины в любом направлении. (Подробнее о точечных и векторных произведениях см. ниже). Тензорное произведение двух векторов является тензором второго порядка, хотя само по себе оно не имеет очевидной интерпретации направления.

Предыдущую идею можно продолжить: если T принимает два вектора p и q , он вернет скаляр r . В обозначениях функций мы пишем r = T ( p , q ) , а в обозначениях матриц и индексов (включая соглашение о суммировании) соответственно:

$$r={\begin{pmatrix}p_{\text{x}}&p_{\text{y}}&p_{\text{z}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{yy}}&T_{\text{yz}}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}q_{\text{x}}\\q_{\text{y}}\\q_{\text{z}}\end{pmatrix}}=p_{i}T_{ij}q_{j}$$

Тензор T линеен по обоим входным векторам. Когда векторы и тензоры записываются без привязки к компонентам и не используются индексы, иногда ставится точка ⋅ там, где суммирование по индексам (так называемое тензорное сжатие производится ). Для вышеуказанных случаев:

$${\begin{aligned}\mathbf {v} &=\mathbf {T} \cdot \mathbf {u} \\r&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {T} \cdot \mathbf {q} \end{aligned}}$$

мотивировано обозначением скалярного произведения:

$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \equiv a_{i}b_{i}$$

В более общем смысле, тензор порядка m , который принимает n векторов (где n находится в диапазоне от 0 до m включительно), вернет тензор порядка m - n , в разделе «Тензор § Как полилинейные карты» дополнительные обобщения и подробности см. . Приведенные выше концепции применимы к псевдовекторам так же, как и к векторам. Сами векторы и тензоры могут меняться в пределах пространства, в этом случае мы имеем векторные поля и тензорные поля , а также могут зависеть от времени.

Ниже приведены некоторые примеры:

Прикладное или данное...	...к материалу или объекту...	...результат...	...в материале или объекте, заданном:
единичный вектор n	Тензор напряжений Коши σ	сила тяги t	$\mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n}$
угловая скорость ω	момент инерции I	угловой момент J	$\mathbf {J} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}$
		вращательная кинетическая энергия T	$T={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}$
электрическое поле Е	электропроводность σ	поток плотности J тока	$\mathbf {J} ={\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {E}$
	поляризуемость α (связанная с диэлектрической проницаемостью ε и электрической восприимчивостью χ E )	индуцированной поляризации поле P	$\mathbf {P} ={\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {E}$
магнитное H поле	магнитная проницаемость μ	магнитное ​ B поле	$\mathbf {B} ={\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {H}$

Для примера электропроводности индексные и матричные обозначения будут следующими:

$${\begin{aligned}J_{i}&=\sigma _{ij}E_{j}\equiv \sum _{j}\sigma _{ij}E_{j}\\{\begin{pmatrix}J_{\text{x}}\\J_{\text{y}}\\J_{\text{z}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\sigma _{\text{xx}}&\sigma _{\text{xy}}&\sigma _{\text{xz}}\\\sigma _{\text{yx}}&\sigma _{\text{yy}}&\sigma _{\text{yz}}\\\sigma _{\text{zx}}&\sigma _{\text{zy}}&\sigma _{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}E_{\text{x}}\\E_{\text{y}}\\E_{\text{z}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$$

а для вращательной кинетической энергии T :

$${\begin{aligned}T&={\frac {1}{2}}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j}\equiv {\frac {1}{2}}\sum _{ij}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j}\,,\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\omega _{\text{x}}&\omega _{\text{y}}&\omega _{\text{z}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{\text{xx}}&I_{\text{xy}}&I_{\text{xz}}\\I_{\text{yx}}&I_{\text{yy}}&I_{\text{yz}}\\I_{\text{zx}}&I_{\text{zy}}&I_{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{\text{x}}\\\omega _{\text{y}}\\\omega _{\text{z}}\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}$$

См. также материальное уравнение для более специализированных примеров.

Векторы и тензоры в n измерениях

В n -мерном евклидовом пространстве над действительными числами $\mathbb {R} ^{n}$, стандартный базис обозначается e ₁ , e ₂ , e ₃ , en _. ... Каждый базисный вектор e _i направлен вдоль положительной оси x _i , причем базис ортонормирован. Компонент j e i _{Кронекера} определяется дельтой :

$$(\mathbf {e} _{i})_{j}=\delta _{ij}$$

Вектор в $\mathbb {R} ^{n}$ принимает форму:

$$\mathbf {a} =a_{i}\mathbf {e} _{i}\equiv \sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\,.$$

Аналогично для тензора второго порядка, приведенного выше, для каждого вектора a и b в $\mathbb {R} ^{n}$:

$$\mathbf {T} =a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum _{ij}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,,$$

или в более общем смысле:

$$\mathbf {T} =T_{ij}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum _{ij}T_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,.$$

Преобразования декартовых векторов (любое количество измерений)

Один и тот же вектор положения x, представленный в двух трехмерных прямоугольных системах координат, каждая из которых имеет ортонормированный базис , кубоиды иллюстрируют закон параллелограмма для сложения компонентов вектора.

Значение слова «инвариантность» при преобразованиях координат.

Вектор положения x в $\mathbb {R} ^{n}$ является простым и распространенным примером вектора и может быть представлен в любой системе координат . Рассмотрим случай прямоугольных систем координат только с ортонормированными основаниями. Можно иметь систему координат с прямоугольной геометрией, если все базисные векторы взаимно перпендикулярны и не нормализованы, и в этом случае базис ортогонален , но не ортонормален . Однако ортонормированными базисами легче манипулировать, и они часто используются на практике. Следующие результаты верны для ортонормированных, а не ортогональных базисов.

В одной прямоугольной системе координат x как контрвектор имеет координаты x ^я и базисные векторы e _i , а как ковектор он имеет координаты x _i и базисные вектора e ^я , и мы имеем:

$${\begin{aligned}\mathbf {x} &=x^{i}\mathbf {e} _{i}\,,&\mathbf {x} &=x_{i}\mathbf {e} ^{i}\end{aligned}}$$

В другой прямоугольной системе координат x как контрвектор имеет координаты x ^я и базис e _i , а как ковектор он имеет координаты x _i и базис e ^я , и мы имеем:

$${\begin{aligned}\mathbf {x} &={\bar {x}}^{i}{\bar {\mathbf {e} }}_{i}\,,&\mathbf {x} &={\bar {x}}_{i}{\bar {\mathbf {e} }}^{i}\end{aligned}}$$

Каждая новая координата является функцией всех старых, и наоборот для обратной функции :

$${\begin{aligned}{\bar {x}}{}^{i}={\bar {x}}{}^{i}\left(x^{1},x^{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad x{}^{i}=x{}^{i}\left({\bar {x}}^{1},{\bar {x}}^{2},\ldots \right)\\{\bar {x}}{}_{i}={\bar {x}}{}_{i}\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad x{}_{i}=x{}_{i}\left({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2},\ldots \right)\end{aligned}}$$

и аналогично каждый новый базисный вектор является функцией всех старых, и наоборот для обратной функции:

$${\begin{aligned}{\bar {\mathbf {e} }}{}_{j}={\bar {\mathbf {e} }}{}_{j}\left(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad \mathbf {e} {}_{j}=\mathbf {e} {}_{j}\left({\bar {\mathbf {e} }}_{1},{\bar {\mathbf {e} }}_{2},\ldots \right)\\{\bar {\mathbf {e} }}{}^{j}={\bar {\mathbf {e} }}{}^{j}\left(\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad \mathbf {e} {}^{j}=\mathbf {e} {}^{j}\left({\bar {\mathbf {e} }}^{1},{\bar {\mathbf {e} }}^{2},\ldots \right)\end{aligned}}$$

для всех я , j .

Вектор инвариантен при любом изменении базиса, поэтому, если координаты преобразуются в соответствии с матрицей преобразования L , основания преобразуются в соответствии с обратной матрицей L. ⁻¹ , и наоборот, если координаты преобразуются согласно обратному L ⁻¹ , основания преобразуются в соответствии с матрицей L . Разницу между каждым из этих преобразований условно показывают через индексы в виде верхних индексов для контравариантности и нижних индексов для ковариации, а координаты и основания преобразуются линейно по следующим правилам:

Векторные элементы	Контравариантный закон преобразования	Ковариантный закон преобразования
Координаты	${\bar {x}}^{j}=x^{i}({\boldsymbol {\mathsf {L}}})_{i}{}^{j}=x^{i}{\mathsf {L}}_{i}{}^{j}$	${\bar {x}}_{j}=x_{k}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j}{}^{k}$
Основа	${\bar {\mathbf {e} }}_{j}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j}{}^{k}\mathbf {e} _{k}$	${\bar {\mathbf {e} }}^{j}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}})_{i}{}^{j}\mathbf {e} ^{i}={\mathsf {L}}_{i}{}^{j}\mathbf {e} ^{i}$
Любой вектор	${\bar {x}}^{j}{\bar {\mathbf {e} }}_{j}=x^{i}{\mathsf {L}}_{i}{}^{j}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j}{}^{k}\mathbf {e} _{k}=x^{i}\delta _{i}{}^{k}\mathbf {e} _{k}=x^{i}\mathbf {e} _{i}$	${\bar {x}}_{j}{\bar {\mathbf {e} }}^{j}=x_{i}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j}{}^{i}{\mathsf {L}}_{k}{}^{j}\mathbf {e} ^{k}=x_{i}\delta ^{i}{}_{k}\mathbf {e} ^{k}=x_{i}\mathbf {e} ^{i}$

где L _я ^дж представляет записи матрицы преобразования (номер строки — i , номер столбца — j ) и ( L ⁻¹ ) _я ^к обозначает элементы обратной матрицы матрицы L _i ^к .

Если L — ортогональное преобразование ( ортогональная матрица ), то преобразуемые им объекты определяются как декартовы тензоры . Геометрически это интерпретируется так: прямоугольная система координат отображается в другую прямоугольную систему координат, в которой норма вектора x сохраняется (и сохраняются расстояния).

Определителем и L вращений является det( L ) = ±1 , что соответствует двум типам ортогонального преобразования: ( +1 ) для −1 ( ) для неправильных вращений (включая отражения ).

Существуют значительные алгебраические упрощения: транспонирование матрицы является обратным определению ортогонального преобразования:

$${\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\Rightarrow \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{i}{}^{j}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}\right)_{i}{}^{j}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}})^{j}{}_{i}={\mathsf {L}}^{j}{}_{i}$$

Судя по предыдущей таблице, ортогональные преобразования ковекторов и контрвекторов идентичны. Нет необходимости различать повышение и понижение индексов , и в этом контексте и в приложениях к физике и технике все индексы обычно имеют индексы, чтобы избежать путаницы в показателях степени . Все индексы будут снижены в оставшейся части этой статьи. Фактические повышенные и пониженные индексы можно определить, рассмотрев, какие величины являются ковекторами или контрвекторами, а также соответствующие правила преобразования.

Точно такие же правила преобразования применяются к любому вектору a , а не только к вектору положения. Если его компоненты a _i не преобразуются по правилам, a не является вектором.

Несмотря на схожесть приведенных выше выражений, для замены координат типа x ^дж = Л _я ^дж х ^я , и действие тензора на вектор типа b _i = T _ij   a _j , L не является тензором, а T является. При замене координат L представляет собой матрицу , используемую для связи двух прямоугольных систем координат с ортонормированными основаниями. Для тензора, связывающего вектор с вектором, все векторы и тензоры в уравнении принадлежат одной и той же системе координат и базису.

Производные и матричные элементы Якобиана

Элементы L являются частными производными новых или старых координат относительно старых или новых координат соответственно.

Дифференцируя x _i по x _k :

$${\frac {\partial {\bar {x}}_{i}}{\partial x_{k}}}={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}(x_{j}{\mathsf {L}}_{ji})={\mathsf {L}}_{ji}{\frac {\partial x_{j}}{\partial x_{k}}}=\delta _{kj}{\mathsf {L}}_{ji}={\mathsf {L}}_{ki}$$

так

$${{\mathsf {L}}_{i}}^{j}\equiv {\mathsf {L}}_{ij}={\frac {\partial {\bar {x}}_{j}}{\partial x_{i}}}$$

является элементом матрицы Якобиана . Существует (частично мнемоническое) соответствие между позициями индексов, прикрепленных к L и в частной производной: i вверху и j внизу, в каждом случае, хотя для декартовых тензоров индексы могут быть понижены.

И наоборот, дифференцируя x _j по x _i :

$${\frac {\partial x_{j}}{\partial {\bar {x}}_{k}}}={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}_{k}}}\left({\bar {x}}_{i}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}\right)={\frac {\partial {\bar {x}}_{i}}{\partial {\bar {x}}_{k}}}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}=\delta _{ki}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{kj}$$

так

$$\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{i}{}^{j}\equiv \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}={\frac {\partial x_{j}}{\partial {\bar {x}}_{i}}}$$

является элементом обратной матрицы Якобиана с аналогичным соответствием индексов.

Во многих источниках преобразования указываются в терминах частных производных:

${\begin{array}{c}\displaystyle {\bar {x}}_{j}=x_{i}{\frac {\partial {\bar {x}}_{j}}{\partial x_{i}}}\\[3pt]\upharpoonleft \downharpoonright \\[3pt]\displaystyle x_{j}={\bar {x}}_{i}{\frac {\partial x_{j}}{\partial {\bar {x}}_{i}}}\end{array}}$

и явные матричные уравнения в 3d:

$${\begin{aligned}{\bar {\mathbf {x} }}&={\boldsymbol {\mathsf {L}}}\mathbf {x} \\{\begin{pmatrix}{\bar {x}}_{1}\\{\bar {x}}_{2}\\{\bar {x}}_{3}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$$

аналогично для

$$\mathbf {x} ={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}{\bar {\mathbf {x} }}={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}{\bar {\mathbf {x} }}$$

Проекции по координатным осям

Вверху: углы между осями x _i и осями x _i . Внизу: наоборот.

Как и все линейные преобразования, L зависит от выбранного базиса. Для двух ортонормированных базисов

$${\begin{aligned}{\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\bar {\mathbf {e} }}_{j}&=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}\,,&\left|\mathbf {e} _{i}\right|&=\left|{\bar {\mathbf {e} }}_{i}\right|=1\,,\end{aligned}}$$

• проецирование x на оси x : ${\bar {x}}_{i}={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \mathbf {x} ={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot x_{j}\mathbf {e} _{j}=x_{i}{\mathsf {L}}_{ij}\,,$
• проецирование x на оси x : $x_{i}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {x} =\mathbf {e} _{i}\cdot {\bar {x}}_{j}{\bar {\mathbf {e} }}_{j}={\bar {x}}_{j}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ji}\,.$

Следовательно, компоненты сводятся к направляющим косинусам между осями x _i и x _j : $${\begin{aligned}{\mathsf {L}}_{ij}&={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\cos \theta _{ij}\\\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}&=\mathbf {e} _{i}\cdot {\bar {\mathbf {e} }}_{j}=\cos \theta _{ji}\end{aligned}}$$

где θ _ij и θ _ji — углы между осями x _i и x _j . В общем, θ _ij не равен θ _ji , потому что, например, θ ₁₂ и θ ₂₁ представляют собой два разных угла.

Преобразование координат можно записать:

${\begin{array}{c}{\bar {x}}_{j}=x_{i}\left({\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \mathbf {e} _{j}\right)=x_{i}\cos \theta _{ij}\\[3pt]\upharpoonleft \downharpoonright \\[3pt]x_{j}={\bar {x}}_{i}\left(\mathbf {e} _{i}\cdot {\bar {\mathbf {e} }}_{j}\right)={\bar {x}}_{i}\cos \theta _{ji}\end{array}}$

и явные матричные уравнения в 3d:

$${\begin{aligned}{\bar {\mathbf {x} }}&={\boldsymbol {\mathsf {L}}}\mathbf {x} \\{\begin{pmatrix}{\bar {x}}_{1}\\{\bar {x}}_{2}\\{\bar {x}}_{3}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{1}&{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2}&{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{3}\\{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{1}&{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{2}&{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\\{\bar {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1}&{\bar {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{2}&{\bar {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{11}&\cos \theta _{12}&\cos \theta _{13}\\\cos \theta _{21}&\cos \theta _{22}&\cos \theta _{23}\\\cos \theta _{31}&\cos \theta _{32}&\cos \theta _{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$$

аналогично для

$$\mathbf {x} ={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}{\bar {\mathbf {x} }}={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}{\bar {\mathbf {x} }}$$

Геометрическая интерпретация заключается в том, что компоненты x _i равны сумме проекций компонентов x _j на оси x _j .

Числа e _i ⋅ e _j , организованные в матрицу, образуют симметричную матрицу (матрицу, равную ее собственному транспонированию) из-за симметрии скалярного произведения, фактически это метрический тензор g . Напротив, i _⋅ e j _или e i _⋅ e j _вообще . e не образуют симметричных матриц, как показано выше Следовательно, хотя матрицы L по-прежнему ортогональны, они не симметричны.

За исключением поворота вокруг какой-либо одной оси, при котором x _i и x _i для некоторого i совпадают, углы не совпадают с углами Эйлера , и поэтому матрицы L не совпадают с матрицами вращения .

Преобразование скалярного и векторного произведения (только три измерения)

Скалярное произведение и векторное произведение встречаются очень часто в приложениях векторного анализа в физике и технике, примеры включают:

• мощность, передаваемая P объектом, оказывающим силу F со скоростью v по прямолинейному пути: $$P=\mathbf {v} \cdot \mathbf {F}$$
• касательная скорость v в точке x вращающегося твердого тела с угловой скоростью ω : $$\mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x}$$
• потенциальная энергия U магнитного диполя с магнитным моментом m в однородном внешнем магнитном поле B : $$U=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B}$$
• угловой момент J для частицы с вектором положения r и импульсом p : $$\mathbf {J} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$$
• крутящий момент τ, действующий на электрический диполь с электрическим дипольным моментом p в однородном внешнем электрическом поле E : $${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E}$$
• индуцированного поверхностного Плотность тока j _S в магнитном материале намагниченностью M на поверхности с единичной нормалью n : $$\mathbf {j} _{\mathrm {S} }=\mathbf {M} \times \mathbf {n}$$

Как эти произведения трансформируются при ортогональных преобразованиях, показано ниже.

Скалярное произведение, дельта Кронекера и метрический тензор

Скалярное произведение ⋅ каждой возможной пары базисных векторов следует из того, что базис ортонормирован. Для перпендикулярных пар имеем

$${\begin{array}{llll}\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&=\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}&=\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&=\\\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&=\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&=\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}&=0\end{array}}$$

а для параллельных пар имеем

$$\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}=\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}=\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}=1.$$

Заменив декартовы метки индексными обозначениями, как показано выше , эти результаты можно резюмировать следующим образом:

$$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}$$

где δij _— компоненты дельты Кронекера . можно использовать декартов базис для представления δ Таким образом, .

Кроме того, каждый метрического тензора компонент g _ij относительно любого базиса представляет собой скалярное произведение пары базисных векторов:

$$g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}.$$

Для декартова основы компоненты, организованные в матрицу:

$$\mathbf {g} ={\begin{pmatrix}g_{\text{xx}}&g_{\text{xy}}&g_{\text{xz}}\\g_{\text{yx}}&g_{\text{yy}}&g_{\text{yz}}\\g_{\text{zx}}&g_{\text{zy}}&g_{\text{zz}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$$

так же как и простейший из возможных для метрического тензора, а именно δ :

$$g_{ij}=\delta _{ij}$$

Это неверно для общих баз: ортогональные координаты имеют диагональные метрики, содержащие различные масштабные коэффициенты (т.е. не обязательно 1), тогда как общие криволинейные координаты также могут иметь ненулевые записи для недиагональных компонентов.

Скалярное произведение двух векторов a и b преобразуется в соответствии с

$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{j}=a_{i}{\mathsf {L}}_{ij}b_{k}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{jk}=a_{i}\delta _{i}{}_{k}b_{k}=a_{i}b_{i}$$

что интуитивно понятно, поскольку скалярное произведение двух векторов представляет собой один скаляр, не зависящий от каких-либо координат. Это также применимо в более общем плане к любым системам координат, а не только к прямоугольным; скалярное произведение в одной системе координат одинаково в любой другой.

Перекрестное произведение, символ Леви-Чивита и псевдовекторы

Циклические перестановки значений индекса и положительно ориентированный кубический объем.

Антициклические перестановки значений индексов и отрицательно ориентированный кубический объем.

Ненулевые значения символа Леви-Чивита ε _ijk как объёма e _i ⋅ e _j × e _k куба, натянутого на трёхмерный ортонормированный базис.

Для векторного произведения ( × ) двух векторов результаты (почти) обратные. Опять же, предполагая правую трехмерную декартову систему координат, циклические перестановки в перпендикулярных направлениях дают следующий вектор в циклическом наборе векторов:

$${\begin{aligned}\mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}&=\mathbf {e} _{\text{z}}&\mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}&=\mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}&=\mathbf {e} _{\text{y}}\\[1ex]\mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}&=-\mathbf {e} _{\text{z}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}&=-\mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}&=-\mathbf {e} _{\text{y}}\end{aligned}}$$

а параллельные векторы явно исчезают:

$$\mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}=\mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}=\mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}={\boldsymbol {0}}$$

и заменив декартовы метки индексными обозначениями, как указано выше , их можно резюмировать следующим образом:

$$\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{j}={\begin{cases}+\mathbf {e} _{k}&{\text{cyclic permutations: }}(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\[2pt]-\mathbf {e} _{k}&{\text{anticyclic permutations: }}(i,j,k)=(2,1,3),(3,2,1),(1,3,2)\\[2pt]{\boldsymbol {0}}&i=j\end{cases}}$$

где i , j , k — индексы, принимающие значения 1, 2, 3 . Отсюда следует, что:

$${\mathbf {e} _{k}\cdot \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{j}}={\begin{cases}+1&{\text{cyclic permutations: }}(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\[2pt]-1&{\text{anticyclic permutations: }}(i,j,k)=(2,1,3),(3,2,1),(1,3,2)\\[2pt]0&i=j{\text{ or }}j=k{\text{ or }}k=i\end{cases}}$$

Эти перестановочные отношения и соответствующие им значения важны, и существует объект, совпадающий с этим свойством: символ Леви-Чивита , обозначаемый ε . Записи символов Леви-Чивита могут быть представлены в декартовой системе координат:

$$\varepsilon _{ijk}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k}$$

который геометрически соответствует объему куба , натянутого ортонормированными базисными векторами, со знаком, указывающим ориентацию (а не «положительный или отрицательный объем»). Здесь ориентация фиксируется соотношением ε ₁₂₃ = +1 для правосторонней системы. Левая система зафиксирует ε ₁₂₃ = −1 или, что то же самое, ε ₃₂₁ = +1 .

Скалярное тройное произведение теперь можно записать:

$$\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} \times \mathbf {b} =c_{i}\mathbf {e} _{i}\cdot a_{j}\mathbf {e} _{j}\times b_{k}\mathbf {e} _{k}=\varepsilon _{ijk}c_{i}a_{j}b_{k}$$

с геометрической интерпретацией объема (параллелепипеда, натянутого на a , b , c ) и алгебраически является определителем :

$$\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}c_{\text{x}}&a_{\text{x}}&b_{\text{x}}\\c_{\text{y}}&a_{\text{y}}&b_{\text{y}}\\c_{\text{z}}&a_{\text{z}}&b_{\text{z}}\end{vmatrix}}$$

Это, в свою очередь, можно использовать для перезаписи векторного произведения двух векторов следующим образом:

$${\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{i}={\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {a} \times \mathbf {b} }&=\varepsilon _{\ell jk}{(\mathbf {e} _{i})}_{\ell }a_{j}b_{k}=\varepsilon _{\ell jk}\delta _{i\ell }a_{j}b_{k}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\\\Rightarrow \quad {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{i}\mathbf {e} _{i}&=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\mathbf {e} _{i}\end{aligned}}$$

Вопреки своему внешнему виду, символ Леви-Чивита является не тензором , а псевдотензором , компоненты которого преобразуются по закону:

$${\bar {\varepsilon }}_{pqr}=\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\varepsilon _{ijk}{\mathsf {L}}_{ip}{\mathsf {L}}_{jq}{\mathsf {L}}_{kr}\,.$$

Следовательно, преобразование векторного произведения a и b равно: $${\begin{aligned}&\left({\bar {\mathbf {a} }}\times {\bar {\mathbf {b} }}\right)_{i}\\[1ex]{}={}&{\bar {\varepsilon }}_{ijk}{\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{k}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;\varepsilon _{pqr}\;\;{\mathsf {L}}_{pi}{\mathsf {L}}_{qj}{\mathsf {L}}_{rk}\;\;a_{m}{\mathsf {L}}_{mj}\;\;b_{n}{\mathsf {L}}_{nk}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;\varepsilon _{pqr}\;\;{\mathsf {L}}_{pi}\;\;{\mathsf {L}}_{qj}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{jm}\;\;{\mathsf {L}}_{rk}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{kn}\;\;a_{m}\;\;b_{n}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;\varepsilon _{pqr}\;\;{\mathsf {L}}_{pi}\;\;\delta _{qm}\;\;\delta _{rn}\;\;a_{m}\;\;b_{n}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;{\mathsf {L}}_{pi}\;\;\varepsilon _{pqr}a_{q}b_{r}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{p}{\mathsf {L}}_{pi}\end{aligned}}$$

и поэтому a × b преобразуется в псевдовектор из-за определяющего фактора.

Обозначение тензорного индекса применяется к любому объекту, который имеет сущности, образующие многомерные массивы — не все, что имеет индексы, по умолчанию является тензором. Вместо этого тензоры определяются тем, как изменяются их координаты и базисные элементы при преобразовании из одной системы координат в другую.

Обратите внимание, что векторное произведение двух векторов является псевдовектором, а векторное произведение псевдовектора на вектор — это другой вектор.

Применение тензора δ и ε псевдотензора

Другие тождества могут быть сформированы из тензора δ и псевдотензора ε . Примечательным и очень полезным тождеством является тождество, которое преобразует два символа Леви-Чивита, смежно сжатых по двум индексам, в антисимметричную комбинацию дельт Кронекера:

$$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{pqk}=\delta _{ip}\delta _{jq}-\delta _{iq}\delta _{jp}$$

Индексные формы скалярного и векторного произведений вместе с этим тождеством значительно облегчают манипулирование и вывод других тождеств в векторном исчислении и алгебре, которые, в свою очередь, широко используются в физике и технике. Например, ясно, что скалярное и векторное произведение являются распределительными по отношению к сложению векторов:

$${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=a_{i}(b_{i}+c_{i})=a_{i}b_{i}+a_{i}c_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\[1ex]\mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=\mathbf {e} _{i}\varepsilon _{ijk}a_{j}(b_{k}+c_{k})=\mathbf {e} _{i}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}+\mathbf {e} _{i}\varepsilon _{ijk}a_{j}c_{k}=\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times \mathbf {c} \end{aligned}}$$

не прибегая к каким-либо геометрическим построениям – вывод в каждом случае представляет собой быстрый набор алгебры. Хотя процедура менее очевидна, можно также получить тройное произведение векторов. Переписывание в индексной записи:

$$\left[\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right]_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}(\varepsilon _{k\ell m}b_{\ell }c_{m})=(\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m})a_{j}b_{\ell }c_{m}$$

и поскольку циклические перестановки индексов в символе ε не меняют его значения, циклическая перестановка индексов в ε _kℓm для получения ε _ℓmk позволяет нам использовать приведенное выше тождество δ - ε для преобразования символов ε в тензоры δ :

$${\begin{aligned}\left[\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right]_{i}{}={}&\left(\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{j\ell }\right)a_{j}b_{\ell }c_{m}\\{}={}&\delta _{i\ell }\delta _{jm}a_{j}b_{\ell }c_{m}-\delta _{im}\delta _{j\ell }a_{j}b_{\ell }c_{m}\\{}={}&a_{j}b_{i}c_{j}-a_{j}b_{j}c_{i}\\{}={}&\left[(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \right]_{i}\end{aligned}}$$

таким образом:

$$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c}$$

Обратите внимание, что это антисимметрично по b и c , как и ожидалось с левой стороны. Аналогично, с помощью индексной записи или даже просто циклически переименовывая a , b и c в предыдущем результате и принимая отрицательный результат:

$$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} -(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a}$$

и разница в результатах показывает, что векторное произведение не является ассоциативным. Более сложные тождества, например четверные произведения;

$$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} ),\quad (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {c} \times \mathbf {d} ),\quad \ldots$$

и так далее, могут быть получены аналогичным образом.

Преобразования декартовых тензоров (любое количество измерений)

Тензоры определяются как величины, которые определенным образом преобразуются при линейных преобразованиях координат.

Второй заказ

Пусть a = a _i e _i и b = b _i e _i — два вектора, так что они преобразуются в соответствии с a _j = a _i L _ij , b _j = b _i L _ij .

Взятие тензорного произведения дает:

$$\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =a_{i}\mathbf {e} _{i}\otimes b_{j}\mathbf {e} _{j}=a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}$$

затем применяя преобразование к компонентам

$${\bar {a}}_{p}{\bar {b}}_{q}=a_{i}{\mathsf {L}}_{i}{}_{p}b_{j}{\mathsf {L}}_{j}{}_{q}={\mathsf {L}}_{i}{}_{p}{\mathsf {L}}_{j}{}_{q}a_{i}b_{j}$$

и на базы

$${\bar {\mathbf {e} }}_{p}\otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{q}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{pi}\mathbf {e} _{i}\otimes \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{qj}\mathbf {e} _{j}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{pi}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{qj}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}={\mathsf {L}}_{ip}^{-1}{\mathsf {L}}_{jq}^{-1}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}$$

дает закон преобразования тензора второго порядка. Тензор a ⊗ b инвариантен относительно этого преобразования:

$${\begin{aligned}{\bar {a}}_{p}{\bar {b}}_{q}{\bar {\mathbf {e} }}_{p}\otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{q}{}={}&{\mathsf {L}}_{kp}{\mathsf {L}}_{\ell q}a_{k}b_{\ell }\,\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{pi}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{qj}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\\[1ex]{}={}&{\mathsf {L}}_{kp}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{pi}{\mathsf {L}}_{\ell q}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{qj}\,a_{k}b_{\ell }\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\\[1ex]{}={}&\delta _{k}{}_{i}\delta _{\ell j}\,a_{k}b_{\ell }\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\\[1ex]{}={}&a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\end{aligned}}$$

В более общем смысле, для любого тензора второго порядка

$$\mathbf {R} =R_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,,$$

компоненты преобразуются в соответствии с;

$${\bar {R}}_{pq}={\mathsf {L}}_{i}{}_{p}{\mathsf {L}}_{j}{}_{q}R_{ij},$$

и базис преобразуется следующим образом:

$${\bar {\mathbf {e} }}_{p}\otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{q}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ip}\mathbf {e} _{i}\otimes \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{jq}\mathbf {e} _{j}$$

Если R не преобразуется в соответствии с этим правилом – какой бы величиной R ни была – это не тензор второго порядка.

Любой заказ

любого порядка p В более общем смысле, для тензора

$$\mathbf {T} =T_{j_{1}j_{2}\cdots j_{p}}\mathbf {e} _{j_{1}}\otimes \mathbf {e} _{j_{2}}\otimes \cdots \mathbf {e} _{j_{p}}$$

компоненты преобразуются в соответствии с;

$${\bar {T}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{p}}={\mathsf {L}}_{i_{1}j_{1}}{\mathsf {L}}_{i_{2}j_{2}}\cdots {\mathsf {L}}_{i_{p}j_{p}}T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}$$

и базис преобразуется следующим образом:

$${\bar {\mathbf {e} }}_{j_{1}}\otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{j_{2}}\cdots \otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{j_{p}}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j_{1}i_{1}}\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j_{2}i_{2}}\mathbf {e} _{i_{2}}\cdots \otimes \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{j_{p}i_{p}}\mathbf {e} _{i_{p}}$$

Для псевдотензора S порядка p компоненты преобразуются в соответствии с;

$${\bar {S}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{p}}=\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}}){\mathsf {L}}_{i_{1}j_{1}}{\mathsf {L}}_{i_{2}j_{2}}\cdots {\mathsf {L}}_{i_{p}j_{p}}S_{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}\,.$$

Псевдовекторы как антисимметричные тензоры второго порядка

Антисимметричная природа векторного произведения может быть преобразована в тензорную форму следующим образом. Пусть c — вектор, a — псевдовектор, b — другой вектор, а T — тензор второго порядка такой, что:

$$\mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {T} \cdot \mathbf {b}$$

Поскольку векторное произведение линейно по a и b , компоненты T можно найти путем проверки:

$$\mathbf {T} ={\begin{pmatrix}0&-a_{\text{z}}&a_{\text{y}}\\a_{\text{z}}&0&-a_{\text{x}}\\-a_{\text{y}}&a_{\text{x}}&0\\\end{pmatrix}}$$

поэтому псевдовектор a можно записать как антисимметричный тензор. Это преобразуется как тензор, а не псевдотензор. Для приведенного выше механического примера тангенциальной скорости твердого тела, заданной выражением v = ω × x , это можно переписать как v = Ω ⋅ x, где Ω — тензор, соответствующий псевдовектору ω :

$${\boldsymbol {\Omega }}={\begin{pmatrix}0&-\omega _{\text{z}}&\omega _{\text{y}}\\\omega _{\text{z}}&0&-\omega _{\text{x}}\\-\omega _{\text{y}}&\omega _{\text{x}}&0\\\end{pmatrix}}$$

Например, в электромагнетизме , хотя электрическое поле E является векторным полем , магнитное поле B является псевдовекторным полем. Эти поля определяются силой Лоренца для частицы с электрическим зарядом q, движущейся со скоростью v :

$$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )=q(\mathbf {E} -\mathbf {B} \times \mathbf {v} )$$

и учитывая второй член, содержащий векторное произведение псевдовектора B и вектора скорости v , его можно записать в матричной форме, где F , E и v являются векторами-столбцами, а B — антисимметричной матрицей:

$${\begin{pmatrix}F_{\text{x}}\\F_{\text{y}}\\F_{\text{z}}\\\end{pmatrix}}=q{\begin{pmatrix}E_{\text{x}}\\E_{\text{y}}\\E_{\text{z}}\\\end{pmatrix}}-q{\begin{pmatrix}0&-B_{\text{z}}&B_{\text{y}}\\B_{\text{z}}&0&-B_{\text{x}}\\-B_{\text{y}}&B_{\text{x}}&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{\text{x}}\\v_{\text{y}}\\v_{\text{z}}\\\end{pmatrix}}$$

Если псевдовектор явно задается векторным произведением двух векторов (в отличие от векторного произведения с другим вектором), то такие псевдовекторы также можно записать как антисимметричные тензоры второго порядка, где каждая запись является компонентом векторного произведения. Угловой момент классической точечной частицы, вращающейся вокруг оси, определяемой соотношением J = x × p , является еще одним примером псевдовектора с соответствующим антисимметричным тензором:

$$\mathbf {J} ={\begin{pmatrix}0&-J_{\text{z}}&J_{\text{y}}\\J_{\text{z}}&0&-J_{\text{x}}\\-J_{\text{y}}&J_{\text{x}}&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-(xp_{\text{y}}-yp_{\text{x}})&(zp_{\text{x}}-xp_{\text{z}})\\(xp_{\text{y}}-yp_{\text{x}})&0&-(yp_{\text{z}}-zp_{\text{y}})\\-(zp_{\text{x}}-xp_{\text{z}})&(yp_{\text{z}}-zp_{\text{y}})&0\\\end{pmatrix}}$$

Хотя декартовы тензоры не встречаются в теории относительности; тензорная форма орбитального углового момента J входит в пространственноподобную часть тензора релятивистского углового момента , а указанная выше тензорная форма магнитного поля B входит в пространственноподобную часть электромагнитного тензора .

Векторное и тензорное исчисление

Следующие формулы очень просты в декартовых координатах - в общих криволинейных координатах есть факторы метрики и ее определителя - см. тензоры в криволинейных координатах для более общего анализа .

Векторное исчисление

Ниже приведены дифференциальные операторы векторного исчисления . Пусть далее Φ( r , t ) — скалярное поле и

$${\begin{aligned}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)&=A_{\text{x}}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {e} _{\text{x}}+A_{\text{y}}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {e} _{\text{y}}+A_{\text{z}}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {e} _{\text{z}}\\[1ex]\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=B_{\text{x}}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {e} _{\text{x}}+B_{\text{y}}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {e} _{\text{y}}+B_{\text{z}}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {e} _{\text{z}}\end{aligned}}$$

быть векторными полями , в которых все скалярные и векторные поля являются функциями вектора положения r и времени t .

Оператор градиента в декартовых координатах определяется следующим образом:

$$\nabla =\mathbf {e} _{\text{x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{\text{y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{\text{z}}{\frac {\partial }{\partial z}}$$

а в индексных обозначениях это обычно сокращается по-разному:

$$\nabla _{i}\equiv \partial _{i}\equiv {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$$

Этот оператор воздействует на скалярное поле Φ, получая векторное поле, направленное с максимальной скоростью возрастания Φ:

$$\left(\nabla \Phi \right)_{i}=\nabla _{i}\Phi$$

Обозначение индекса для скалярного и векторного произведений переносится на дифференциальные операторы векторного исчисления.

Производная по направлению скалярного поля Φ — это скорость изменения Φ вдоль некоторого вектора направления a (не обязательно единичного вектора ), сформированного из компонентов a и градиента:

$$\mathbf {a} \cdot (\nabla \Phi )=a_{j}(\nabla \Phi )_{j}$$

Дивергенция равна векторного поля A :

$$\nabla \cdot \mathbf {A} =\nabla _{i}A_{i}$$

Обратите внимание, что замена компонентов градиента и векторного поля дает другой дифференциальный оператор.

$$\mathbf {A} \cdot \nabla =A_{i}\nabla _{i}$$

который может действовать на скалярные или векторные поля. Фактически, если A заменить полем скорости u ( r , t ) жидкости, это член материальной производной (со многими другими названиями) механики сплошной среды , а другим термином является частная производная по времени:

$${\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla$$

которое обычно действует на поле скорости, приводящее к нелинейности в уравнениях Навье-Стокса .

Что касается ротора векторного поля A , то его можно определить как псевдовекторное поле с помощью символа ε :

$$\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)_{i}=\varepsilon _{ijk}\nabla _{j}A_{k}$$

которое действительно только в трех измерениях, или антисимметричное тензорное поле второго порядка посредством антисимметризации индексов, на что указывает разделение антисимметричных индексов квадратными скобками (см. исчисление Риччи ):

$$\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)_{ij}=\nabla _{i}A_{j}-\nabla _{j}A_{i}=2\nabla _{[i}A_{j]}$$

которое справедливо в любом количестве измерений. В каждом случае порядок компонентов градиента и векторного поля не следует менять местами, поскольку это приведет к другому дифференциальному оператору:

$$\varepsilon _{ijk}A_{j}\nabla _{k}=A_{i}\nabla _{j}-A_{j}\nabla _{i}=2A_{[i}\nabla _{j]}$$

который может действовать на скалярные или векторные поля.

Наконец, оператор Лапласа определяется двумя способами: дивергенция градиента скалярного поля Φ :

$$\nabla \cdot (\nabla \Phi )=\nabla _{i}(\nabla _{i}\Phi )$$

или квадрат оператора градиента, действующего на скалярное поле Φ или векторное поле A :

$${\begin{aligned}(\nabla \cdot \nabla )\Phi &=(\nabla _{i}\nabla _{i})\Phi \\(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {A} &=(\nabla _{i}\nabla _{i})\mathbf {A} \end{aligned}}$$

В физике и технике градиент, дивергенция, ротор и оператор Лапласа неизбежно возникают в механике жидкости , ньютоновской гравитации , электромагнетизме , теплопроводности и даже в квантовой механике .

Тождества векторного исчисления могут быть получены аналогично тождествам векторных точечных, векторных произведений и комбинаций. Например, в трех измерениях ротор векторного произведения двух векторных полей A и B :

$${\begin{aligned}&\left[\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\right]_{i}\\{}={}&\varepsilon _{ijk}\nabla _{j}(\varepsilon _{k\ell m}A_{\ell }B_{m})\\{}={}&(\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{\ell mk})\nabla _{j}(A_{\ell }B_{m})\\{}={}&(\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{j\ell })(B_{m}\nabla _{j}A_{\ell }+A_{\ell }\nabla _{j}B_{m})\\{}={}&(B_{j}\nabla _{j}A_{i}+A_{i}\nabla _{j}B_{j})-(B_{i}\nabla _{j}A_{j}+A_{j}\nabla _{j}B_{i})\\{}={}&(B_{j}\nabla _{j})A_{i}+A_{i}(\nabla _{j}B_{j})-B_{i}(\nabla _{j}A_{j})-(A_{j}\nabla _{j})B_{i}\\{}={}&\left[(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )-(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} \right]_{i}\\\end{aligned}}$$

где правило произведения использовалось , и повсюду дифференциальный оператор не менялся местами с A или B . Таким образом:

$$\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )-(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B}$$

Тензорное исчисление

Можно продолжить действия с тензорами более высокого порядка. Пусть T = T ( r , t ) обозначает тензорное поле второго порядка, снова зависящее от вектора положения r и времени t .

Например, градиент векторного поля в двух эквивалентных обозначениях («двоичном» и «тензорном» соответственно):

$$(\nabla \mathbf {A} )_{ij}\equiv (\nabla \otimes \mathbf {A} )_{ij}=\nabla _{i}A_{j}$$

которое является тензорным полем второго порядка.

Дивергенция тензора равна:

$$(\nabla \cdot \mathbf {T} )_{j}=\nabla _{i}T_{ij}$$

которое является векторным полем. Это возникает в механике сплошной среды в законах движения Коши - дивергенция тензора напряжений Коши σ представляет собой векторное поле, связанное с объемными силами, действующими на жидкость.

Отличие от стандартного тензорного исчисления

Декартовы тензоры такие же, как в тензорной алгебре , но евклидова структура и ограничение базиса вносят некоторые упрощения по сравнению с общей теорией.

Общая тензорная алгебра состоит из общих смешанных тензоров типа ( p , q ) :

$$\mathbf {T} =T_{j_{1}j_{2}\cdots j_{q}}^{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}\mathbf {e} _{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}^{j_{1}j_{2}\cdots j_{q}}$$

с базовыми элементами:

$$\mathbf {e} _{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}^{j_{1}j_{2}\cdots j_{q}}=\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes \mathbf {e} _{i_{2}}\otimes \cdots \mathbf {e} _{i_{p}}\otimes \mathbf {e} ^{j_{1}}\otimes \mathbf {e} ^{j_{2}}\otimes \cdots \mathbf {e} ^{j_{q}}$$

компоненты преобразуются в соответствии с:

$${\bar {T}}_{\ell _{1}\ell _{2}\cdots \ell _{q}}^{k_{1}k_{2}\cdots k_{p}}={\mathsf {L}}_{i_{1}}{}^{k_{1}}{\mathsf {L}}_{i_{2}}{}^{k_{2}}\cdots {\mathsf {L}}_{i_{p}}{}^{k_{p}}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{\ell _{1}}{}^{j_{1}}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{\ell _{2}}{}^{j_{2}}\cdots \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{\ell _{q}}{}^{j_{q}}T_{j_{1}j_{2}\cdots j_{q}}^{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}$$

что касается баз:

$${\bar {\mathbf {e} }}_{k_{1}k_{2}\cdots k_{p}}^{\ell _{1}\ell _{2}\cdots \ell _{q}}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{k_{1}}{}^{i_{1}}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{k_{2}}{}^{i_{2}}\cdots \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{k_{p}}{}^{i_{p}}{\mathsf {L}}_{j_{1}}{}^{\ell _{1}}{\mathsf {L}}_{j_{2}}{}^{\ell _{2}}\cdots {\mathsf {L}}_{j_{q}}{}^{\ell _{q}}\mathbf {e} _{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}^{j_{1}j_{2}\cdots j_{q}}$$

Для декартовых тензоров в евклидовом пространстве с ортонормированным базисом имеет значение только порядок p + q тензора, и все p + q индексы могут быть понижены. Декартов базис не существует, если векторное пространство не имеет положительно определенной метрики, и поэтому его нельзя использовать в релятивистском контексте.

История

Диадические тензоры исторически были первым подходом к формулированию тензоров второго порядка, аналогично триадическим тензорам для тензоров третьего порядка и так далее. Декартовы тензоры используют обозначение тензорного индекса , в котором дисперсия может быть замаскирована и часто игнорируется, поскольку компоненты остаются неизменными при повышении и понижении индексов .

См. также

• Тензорная алгебра
• Тензорное исчисление
• Тензоры в криволинейных координатах
• Группа вращения

Ссылки

Общие ссылки

• Округ Колумбия Кей (1988). Тензорное исчисление . Очерки Шаума. МакГроу Хилл. стр. 18–19, 31–32. ISBN  0-07-033484-6 .
• г-н Шпигель; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ . Очерки Шаума (2-е изд.). МакГроу Хилл. п. 227. ИСБН  978-0-07-161545-7 .
• Дж. Р. Тилдесли (1975). Введение в тензорный анализ для инженеров и ученых-прикладников . Лонгман. стр. 5–13. ISBN  0-582-44355-5 .

Дальнейшее чтение и приложения

• С. Липшуц; М. Липсон (2009). Линейная алгебра . Очерки Шаума (4-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN  978-0-07-154352-1 .
• Пей Чи Чжоу (1992). Эластичность: тензорный, диадический и инженерный подходы . Публикации Courier Dover. ISBN  048-666-958-0 .
• Т.В. Кернер (2012). Векторы, чистые и прикладные: общее введение в линейную алгебру . Издательство Кембриджского университета. п. 216. ИСБН  978-11070-3356-6 .
• Р. Торретти (1996). Относительность и геометрия . Публикации Courier Dover. п. 103. ИСБН  0-4866-90466 .
• JJL Синг; А. Шильд (1978). Тензорное исчисление . Публикации Courier Dover. п. 128. ИСБН  0-4861-4139-Х .
• К.А. Балафутис; Р. В. Патель (1991). Динамический анализ роботов-манипуляторов: декартово-тензорный подход . Международная серия Kluwer по инженерным и компьютерным наукам: Робототехника: зрение, манипулирование и датчики. Том. 131. Спрингер. ISBN  0792-391-454 .
• С.Г. Цафестас (1992). Робототехнические системы: передовые технологии и приложения . Спрингер. ISBN  0-792-317-491 .
• Т. Дасс; С.К. Шарма (1998). Математические методы в классической и квантовой физике . Университетская пресса. п. 144. ИСБН  817-371-0899 .
• Храм GFJ (2004). Декартовы тензоры: введение . Серия Дуврских книг по математике. Дувр. ISBN  0-4864-3908-9 .
• Х. Джеффрис (1961). Декартовы тензоры . Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521054232 .

Внешние ссылки

• Декартовы тензоры
• В. Н. Калякин, Краткий обзор тензоров , Университет штата Делавэр.
• Р.Э. Хант, Декартовы тензоры , Кембриджский университет