Риманова геометрия

Риманова геометрия — это раздел дифференциальной геометрии , изучающий римановы многообразия , определяемые как гладкие многообразия с римановой метрикой ( скалярным произведением в касательном пространстве в каждой точке, которое плавно меняется от точки к точке). Это дает, в частности, локальные понятия угла , длины кривых , площади поверхности и объема . Из них можно получить некоторые другие глобальные величины путем интегрирования местных вкладов.

Риманова геометрия возникла из видения Бернхарда Римана, выраженного в его вступительной лекции « Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grundeliegen » («О гипотезах, на которых основана геометрия»). ^{[ 1 ]} Это очень широкое и абстрактное обобщение дифференциальной геометрии поверхностей в R. ³. Развитие римановой геометрии привело к синтезу разнообразных результатов, касающихся геометрии поверхностей и поведения геодезических на них, с методами, которые можно применить к изучению дифференцируемых многообразий более высоких размерностей. Это позволило сформулировать Эйнштейна общую теорию относительности , оказало глубокое влияние на теорию групп и теорию представлений , а также анализ и стимулировало развитие алгебраической и дифференциальной топологии .

Введение

Риманова геометрия была впервые выдвинута в общих чертах Бернхардом Риманом в 19 веке. Он имеет дело с широким диапазоном геометрий, метрические свойства которых изменяются от точки к точке, включая стандартные типы неевклидовой геометрии .

Каждое гладкое многообразие допускает риманову метрику , которая часто помогает решать задачи дифференциальной топологии . Он также служит начальным уровнем для более сложной структуры псевдоримановых многообразий , которые (в четырёх измерениях) являются основными объектами теории общей относительности . Другие обобщения римановой геометрии включают геометрию Финслера .

Существует близкая аналогия дифференциальной геометрии с математической структурой дефектов в регулярных кристаллах. Дислокации и дисклинации вызывают кручение и искривление. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Следующие статьи содержат полезный вводный материал:

Классические теоремы

Далее следует неполный список наиболее классических теорем римановой геометрии. Выбор делается в зависимости от его важности и элегантности формулировки. Большую часть результатов можно найти в классической монографии Джеффа Чигера и Д. Эбина (см. ниже).

Приведенные формулировки далеко не являются ни очень точными, ни наиболее общими. Этот список ориентирован на тех, кто уже знает основные определения и хочет знать, о чем эти определения.

Общие теоремы

Теорема Гаусса–Бонне многообразии равен 2πχ( M ), где χ( M ) обозначает эйлерову характеристику M Интеграл от кривизны Гаусса на компактном двумерном римановом . Эта теорема имеет обобщение на любое компактное четномерное риманово многообразие, см. обобщенную теорему Гаусса-Бонне .
Теоремы Нэша вложения . Они утверждают, что каждое риманово многообразие можно изометрически вложить в евклидово пространство R. ^н.

Геометрия в целом

Во всех следующих теоремах мы предполагаем некоторое локальное поведение пространства (обычно формулируемое с использованием предположения кривизны), чтобы получить некоторую информацию о глобальной структуре пространства, включая некоторую информацию о топологическом типе многообразия или о поведении точек. на «достаточно больших» расстояниях.

Сжатая кривизна сечения

Теорема о сфере . Если M — односвязное компактное n -мерное риманово многообразие с секционной кривизной, строго зажатой между 1/4 и 1, то M диффеоморфно сфере.
Теорема Чигера о конечности. Учитывая константы C , D и V , существует лишь конечное число (с точностью до диффеоморфизма) компактных n -мерных римановых многообразий с секционной кривизной | К | ≤ C , диаметр ≤ D объем ≥ V. и
Почти плоские многообразия Громова . Существует ε _n > 0 такое, что если n -мерное риманово многообразие имеет метрику секционной кривизны | К | ⩽ εn _и диаметр ⩽ 1, то его конечное накрытие диффеоморфно ниль -многообразию .

Секционная кривизна, ограниченная снизу

Чигера-Громолла Теорема о душе . Если M — некомпактное полное n -мерное риманово многообразие неотрицательной кривизны, то M компактное вполне геодезическое подмногообразие S такое, что M диффеоморфно нормальному расслоению S ( S называется душой M содержит ). в частности, если всюду имеет строго положительную кривизну, то оно диффеоморфно R M ^н. Г. Перельман в 1994 году дал удивительно элегантное и краткое доказательство гипотезы души: M диффеоморфно R. ^н если он имеет положительную кривизну только в одной точке.
Теорема Громова о числах Бетти. Существует константа C = C ( n ) такая, что если M — компактное связное n то сумма его чисел Бетти не превосходит C. -мерное риманово многообразие с положительной секционной кривизной ,
Теорема Гроува – Петерсена о конечности. Учитывая константы C , D и V , существует только конечное число гомотопических типов компактных - мерных римановых многообразий с секционной кривизной K ≥ C , диаметром ≤ D и объемом ≥ V. n

Секционная кривизна, ограниченная сверху

Теорема Картана –Адамара утверждает, что полное односвязное риманово многообразие M с неположительной секционной кривизной диффеоморфно евклидову пространству R. ^н с n = dim M через экспоненциальное отображение в любой точке. Это означает, что любые две точки односвязного полного риманова многообразия неположительной секционной кривизны соединены единственной геодезической.
Геодезический поток любого компактного риманова многообразия отрицательной секционной кривизны эргодичен .
Если M — полное риманово многообразие с секционной кривизной, ограниченной сверху строго отрицательной константой k , то это пространство CAT( k ) . Следовательно, ее фундаментальная группа Γ = $π$ ₁ ( M ) является гиперболической по Громову . Это имеет множество последствий для структуры фундаментальной группы:

оно конечно представлено ;
проблема слов для Γ имеет положительное решение;
группа Γ имеет конечную виртуальную когомологическую размерность ;
он содержит лишь конечное число классов сопряженности элементов конечного порядка ;
абелевы подгруппы группы Γ практически цикличны , так что она не содержит подгруппы, Z × Z. изоморфной

Кривизна Риччи ограничена снизу

Теорема Майерса . Если полное риманово многообразие имеет положительную кривизну Риччи, то его фундаментальная группа конечна.
Формула Бохнера . Если компактное риманово n -многообразие имеет неотрицательную кривизну Риччи, то его первое число Бетти не превосходит n , причем равенство тогда и только тогда, когда риманово многообразие является плоским тором.
Теорема о расщеплении . Если полное n -мерное риманово многообразие имеет неотрицательную кривизну Риччи и прямую линию (т. е. геодезическую, минимизирующую расстояние на каждом интервале), то оно изометрично прямому произведению вещественной линии и полного ( n -1)-мерного риманова многообразия. многообразие, имеющее неотрицательную кривизну Риччи.
Неравенство Бишопа–Громова . Объем метрического шара радиуса r в полном n -мерном римановом многообразии с положительной кривизной Риччи не превосходит объема шара того же радиуса r в евклидовом пространстве.
Теорема Громова о компактности . Множество всех римановых многообразий с положительной кривизной Риччи и диаметром не более D предкомпактно в метрике Громова-Хаусдорфа .

Отрицательная кривизна Риччи

Группа изометрий компактного риманова многообразия отрицательной кривизны Риччи дискретна .
Любое гладкое многообразие размерности n ≥ 3 допускает риманову метрику с отрицательной кривизной Риччи. ^{[ 4 ]} ( Это не относится к поверхностям .)

Положительная скалярная кривизна

n -мерный тор не допускает метрики положительной скалярной кривизны.
Если радиус инъективности компактного n -мерного риманова многообразия ≥ π, то средняя скалярная кривизна не превосходит n ( n -1).

См. также

Форма Вселенной
Введение в математику общей теории относительности
Нормальные координаты
Систолическая геометрия
Геометрия Римана–Картана в теории Эйнштейна–Картана (мотивация)
Минимальная поверхность Римана
Формула Рейли

Примечания

^ maths.tcd.ie
^ Кляйнерт, Хаген (1989), Калибровочные поля в конденсированном состоянии, том II , World Scientific, стр. 743–1440.
^ Кляйнерт, Хаген (2008), Многозначные поля в конденсированном веществе, электромагнетизме и гравитации (PDF) , World Scientific, стр. 1–496, Bibcode : 2008mfcm.book.....K
^ Иоахим Локамп показал (Анналы математики, 1994), что любое многообразие размерности больше двух допускает метрику отрицательной кривизны Риччи.

Ссылки

Книги

Бергер, Марсель (2000), Риманова геометрия во второй половине двадцатого века , Серия университетских лекций, том. 17, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN. 0-8218-2052-4 . (Содержит исторический обзор и обзор, включая сотни ссылок.)
Чигер, Джефф ; Эбин, Дэвид Г. (2008), Теоремы сравнения в римановой геометрии , Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing ; Переработанное переиздание оригинала 1975 года.
Галло, Сильвестр; Хулин, Доминик ; Лафонтен, Жак (2004), Риманова геометрия , Universitext (3-е изд.), Берлин: Springer-Verlag .
Йост, Юрген (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2 .
Петерсен, Питер (2006), Риманова геометрия , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98212-4

От Римана к дифференциальной геометрии и теории относительности (Лижен Цзи, Атанасе Пападопулос и Сумио Ямада, ред.) Springer, 2017, XXXIV, 647 стр. ISBN 978-3-319-60039-0

Статьи

Брендл, Саймон ; Шон, Ричард М. (2008), «Классификация многообразий со слабо защемленной кривизной 1/4», Acta Math , 200 : 1–13, arXiv : 0705.3963 , Bibcode : 2007arXiv0705.3963B , doi : 10.1007/s11511-008- 0022-7 , S2CID 15463483

Внешние ссылки

Риманова геометрия В. А. Топоногова в Математической энциклопедии
Вайсштейн, Эрик В. , «Риманова геометрия» , MathWorld

[1] ths.tcd.ie

[2] Кляйнерт, Хаген (1989), Калибровочные поля в конденсированном состоянии, том II , World Scientific, стр. 743–1440.

[3] Кляйнерт, Хаген (2008), Многозначные поля в конденсированном веществе, электромагнетизме и гравитации (PDF) , World Scientific, стр. 1–496, Bibcode : 2008mfcm.book.....K

[4] Иоахим Локамп показал (Анналы математики, 1994), что любое многообразие размерности больше двух допускает метрику отрицательной кривизны Риччи.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

v т и Риманова геометрия ( Глоссарий )
Basic concepts	Curvature tensor Scalar Ricci Sectional Exponential map Geodesic Inner product Metric tensor Levi-Civita connection Covariant derivative Signature Raising and lowering indices/Musical isomorphism Parallel transport Riemannian manifold Pseudo-Riemannian manifold Riemannian volume form
Types of manifolds	Hermitian Hyperbolic Kähler Kenmotsu
Main results	Fundamental theorem of Riemannian geometry Gauss's lemma Gauss–Bonnet theorem Hopf–Rinow theorem Nash embedding theorem Ricci flow Schur's lemma
Generalizations	Finsler Hilbert Sub-Riemannian
Applications	General relativity Geometrization conjecture Poincaré conjecture Uniformization theorem