Граница Терстона

В математике граница Терстона пространства Тейхмюллера поверхности получается как граница ее замыкания в проективном пространстве функционалов на простых замкнутых кривых на поверхности. Границу Терстона можно интерпретировать как пространство проективно измеренных слоений на поверхности.

Граница Тёрстона пространства Тейхмюллера замкнутой поверхности рода $g$ гомеоморфна сфере размерности $6g-7$. Действие группы классов отображений на пространстве Тейхмюллера непрерывно продолжается по объединению с краем.

Измеренные слоения на поверхностях

Позволять $S$ быть закрытой поверхностью. Измеренное слоение $({\mathcal {F}},\mu )$ на $S$ является слоением ${\mathcal {F}}$ на $S$ которая может допускать изолированные особенности вместе с поперечной мерой $\mu$, т.е. функция, которая для каждой дуги $\alpha$ поперечно слоению ${\mathcal {F}}$ связывает положительное действительное число $\mu (\alpha )$. Слоение и мера должны быть совместимы в том смысле, что мера инвариантна, если дуга деформируется, а концы остаются в одном листе.

Позволять ${\mathcal {S}}$ – пространство изотопических классов замкнутых простых кривых на $S$. Измеренное слоение $({\mathcal {F}},\mu )$ может использоваться для определения функции $i(({\mathcal {F}},\mu ),\cdot )\in \mathbb {R} _{+}^{\mathcal {S}}$ следующим образом: если $\gamma$ любая кривая пусть

$\mu (\gamma )=\sup _{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}\left(\sum _{i=1}^{r}\mu (\alpha _{i})\right)$

где верхняя грань берется по всем наборам непересекающихся дуг $\alpha _{1}\ldots ,\alpha _{r}\subset \gamma$ которые поперечны ${\mathcal {F}}$ (в частности $\mu (\gamma )=0$ если $\gamma$ представляет собой закрытый лист ${\mathcal {F}}$). Тогда, если $\sigma \in {\mathcal {S}}$ номер перекрестка определяется:

$i{\bigl (}({\mathcal {F}},\mu ),\sigma {\bigr )}=\inf _{\gamma \in \sigma }\mu (\gamma )$.

Два измеренных слоения называются эквивалентными , если они определяют одну и ту же функцию на ${\mathcal {S}}$ (существует топологический критерий этой эквивалентности посредством ходов Уайтхеда ). Пространство ${\mathcal {PMF}}$ проективных измеренных слоений – это образ множества измеренных слоений в проективном пространстве $\mathbb {P} (\mathbb {R} _{+}^{\mathcal {S}})$ через встраивание $i$. Если род $g$ из $S$ не менее 2, пространство ${\mathcal {PMF}}$ гомеоморфен $6g-7$-мерная сфера (в случае тора это 2-сфера; на сфере нет измеренных слоений).

Компактификация пространства Тейхмюллера

Вложение в пространство функционалов

Позволять $S$ быть закрытой поверхностью. Напомним, что точка в пространстве Тейхмюллера – это пара $(X,f)$ где $X$ — гиперболическая поверхность ( риманово многообразие с секционными кривизнами, равными $-1$) и $f$ гомеоморфизм с точностью до естественного отношения эквивалентности. Пространство Тейхмюллера можно реализовать как пространство функционалов на множестве ${\mathcal {S}}$ изотопических классов простых замкнутых кривых на ${\mathcal {S}}$ следующее. Если $x=(X,f)\in T(S)$ и $\sigma \in {\mathcal {S}}$ затем $\ell (x,\sigma )$ определяется как длина единственной замкнутой геодезической на $X$ в классе изотопии $f_{*}\sigma$. Карта $x\mapsto \ell (x,\cdot )$ представляет собой вложение $T(S)$ в $\mathbb {R} _{+}^{\mathcal {S}}$, который можно использовать для придания топологии пространству Тейхмюллера (в правой части задана топология произведения).

Фактически, отображение проективного пространства $\mathbb {P} (\mathbb {R} _{+}^{\mathcal {S}})$ все еще является вложением: пусть ${\mathcal {T}}$ обозначаем образ $T(S)$ там. Поскольку это пространство компактно, замыкание ${\overline {\mathcal {T}}}$ компактно: оно называется компактификацией Терстона пространства Тейхмюллера.

Граница Терстона

Граница ${\overline {\mathcal {T}}}\setminus {\mathcal {T}}$ равно подмножеству ${\mathcal {PMF}}$ из $\mathbb {P} (\mathbb {R} _{+}^{\mathcal {S}})$. Из доказательства также следует, что компактификация Тёрстона гомеоморфна $6g-6$-мерный закрытый шар.

Приложения

Псевдоаносовы диффеоморфизмы

Диффеоморфизм $S\to S$ называется псевдоаносовым, если существуют два поперечных измеренных слоения, такие, что под его действием лежащие в основе слоения сохраняются, а меры умножаются на множитель $\lambda ,\lambda ^{-1}$ соответственно для некоторых $\lambda >1$ (называемый коэффициентом растяжения). С помощью своей компактификации Тёрстон доказал следующую характеризацию классов псевдоаносовских отображений (т. е. классов отображений, содержащих псевдоаносовский элемент), которая была по существу известна Нильсену и обычно называется классификацией Нильсена-Тёрстона . Класс сопоставления $\phi$ является псевдоаносовым тогда и только тогда, когда:

• оно неприводимо (т.е. не существует $k\geq 1$ и $\sigma \in {\mathcal {S}}$ такой, что $(\phi ^{k})_{*}\sigma =\sigma$);
• оно не имеет конечного порядка (т.е. не существует $k\geq 1$ такой, что $\phi ^{k}$ — изотопический класс единицы).

Доказательство основано на теореме Брауэра о неподвижной точке, примененной к действию $\phi$ о компактификации Терстона ${\overline {\mathcal {T}}}$. Если неподвижная точка находится внутри, то класс имеет конечный порядок; если оно находится на границе и лежащее в его основе слоение имеет замкнутый слой, то оно приводимо; в остальном случае можно показать, что существует еще одна неподвижная точка, соответствующая поперечному измеренному слоению, и вывести псевдоаносовское свойство.

Приложения к группе классов отображения

Действие группы классов отображения поверхности $S$ в пространстве Тейхмюллера непрерывно продолжается до компактификации Терстона. Это дает мощный инструмент для изучения структуры этой группы; например, он используется при доказательстве альтернативы Титса для группы классов отображения. Его также можно использовать для доказательства различных результатов о подгрупповой структуре группы классов отображения.

Приложения к 3-многообразиям

Компактификация пространства Тейхмюллера путем добавления измеренных слоений важна для определения конечных слоев гиперболического трехмерного многообразия .

Действия над реальными деревьями

Точка в пространстве Тейхмюллера. $T(S)$ альтернативно можно рассматривать как точное представление фундаментальной группы $\pi _{1}(S)$ в группу изометрии $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ гиперболической плоскости $\mathbb {H} ^{2}$, с точностью до сопряжения. Такое изометрическое действие порождает (через выбор главного ультрафильтра ) действие на асимптотический конус $\mathbb {H} ^{2}$, которое является настоящим деревом . Два таких действия эквивариантно изометричны тогда и только тогда, когда они исходят из одной и той же точки пространства Тейхмюллера. Пространство таких действий (наделенное естественной топологией) компактно, и, следовательно, мы получаем еще одну компактификацию пространства Тейхмюллера. Теорема Р. Скоры утверждает, что эта компактификация эквивариантно гомеоморфна компактификации Терстона.

Ссылки

• Фатхи, Альберт; Лауденбах, Франсуа; Поэнару, Валентин (2012). Работа Терстона над поверхностями. Перевод с французского оригинала 1979 года Джуна М. Кима и Дэна Маргалита . Математические заметки. Том. 48. Издательство Принстонского университета. стр. xvi+254. ISBN  978-0-691-14735-2 .
• Иванов, Николай (1992). Подгруппы модульных групп Тейхмюллера . Американская математика. Соц.