Гиперболическое метрическое пространство

В математике гиперболическое метрическое пространство — это метрическое пространство, удовлетворяющее определенным метрическим отношениям (количественно зависящим от неотрицательного действительного числа δ) между точками. Определение, введенное Михаилом Громовым , обобщает метрические свойства классической гиперболической геометрии и деревьев . Гиперболичность — это крупномасштабное свойство, которое очень полезно для изучения некоторых бесконечных групп, называемых громовско-гиперболическими группами .

Определения

В этом параграфе мы даем различные определения понятия $\delta$-гиперболическое пространство. Метрическое пространство называется (громов-)гиперболическим, если оно $\delta$- гиперболично для некоторых $\delta >0$.

Определение с использованием произведения Громова

Main article: Gromov product

Позволять $(X,d)$ быть метрическим пространством . Произведение Громова двух точек $y,z\in X$ относительно третьего $x\in X$ определяется по формуле:

$(y,z)_{x}={\frac {1}{2}}\left(d(x,y)+d(x,z)-d(y,z)\right).$

Тогда определение Громова гиперболического метрического пространства выглядит следующим образом: $X$ является $\delta$-гиперболический тогда и только тогда, когда все $x,y,z,w\in X$ удовлетворять четырехточечному условию

$(x,z)_{w}\geq \min \left((x,y)_{w},(y,z)_{w}\right)-\delta$

Заметим, что если это условие выполняется для всех $x,y,z\in X$ и одна фиксированная базовая точка $w_{0}$, то оно удовлетворяется для всех ${\displaystyle }$ с постоянной $2\delta$. Таким образом, условие гиперболичности необходимо проверять только для одной фиксированной базовой точки; по этой причине индекс базовой точки часто опускается из произведения Громова.

Определения с использованием треугольников

См. Также: Идеальный треугольник и Гиперболический треугольник.

Вплоть до изменения $\delta$ постоянным кратным, существует эквивалентное геометрическое определение, включающее треугольники, когда метрическое пространство $X$ является геодезическим , т.е. любые две точки $x,y\in X$ являются конечными точками геодезического сегмента $[x,y]$ (изометрическое изображение компактного подинтервала $[a,b]$ реальных). Обратите внимание, что определение через произведение Громова не требует, чтобы пространство было геодезическим.

Позволять $x,y,z\in X$. Геодезический треугольник с вершинами $x,y,z$ представляет собой объединение трех геодезических отрезков $[x,y],[y,z],[z,x]$ (где $[p,q]$ обозначает сегмент с конечными точками $p$ и $q$).

$x$

$y$

$z$

$B_{\delta }([x,y])$

$B_{\delta }([z,x])$

$B_{\delta }([y,z])$

Условие δ-тонкого треугольника

Если для любой точки $m\in [x,y]$ есть смысл в $[y,z]\cup [z,x]$ на расстоянии менее $\delta$ из $m$, и аналогично для точек на других ребрах, и $\delta \geq 0$ тогда говорят, что треугольник $\delta$-стройный .

Определение $\delta$-гиперболическое пространство тогда является геодезическим метрическим пространством, все геодезические треугольники которого являются $\delta$-стройный. Это определение обычно приписывают Элияху Рипсу .

Другое определение можно дать, используя понятие $C$-приблизительный центр геодезического треугольника: это точка, которая находится на максимальном расстоянии $C$ любого края треугольника («приблизительная» версия центра ) . Пространство - это $\delta$-гиперболическим, если каждый геодезический треугольник имеет $\delta$-центр.

Эти два определения А. $\delta$-гиперболическое пространство с использованием геодезических треугольников не совсем эквивалентно, но существует $k>1$ такой, что $\delta$-гиперболическое пространство в первом смысле есть $k\cdot \delta$-гиперболическое во втором, и наоборот. Таким образом, понятие гиперболического пространства не зависит от выбранного определения.

Примеры

Гиперболическая плоскость является гиперболической: на самом деле вписанная окружность геодезического треугольника - это круг наибольшего диаметра, содержащийся в треугольнике, и каждый геодезический треугольник лежит внутри идеального треугольника, все из которых изометричны с вписанными окружностями диаметром 2 log 3. Обратите внимание, что в этом случае произведение Громова также имеет простую интерпретацию в терминах вписанной окружности геодезического треугольника. На самом деле величина ( A , B ) _C — это просто гиперболическое расстояние p от C до любой из точек контакта вписанной окружности с соседними сторонами: ибо из диаграммы c = ( a – p ) + ( b – p ) , так что п знак равно ( а + б – c )/2 знак равно ( А , B ) _C .

Евклидова плоскость не является гиперболической, например, из-за существования гомотетий .

Двумя «вырожденными» примерами гиперболических пространств являются пространства с ограниченным диаметром (например, конечные или компактные пространства) и вещественная линия.

Метрические деревья и, в более общем смысле, реальные деревья являются простейшими интересными примерами гиперболических пространств, поскольку они 0-гиперболичны (т. е. все треугольники являются треногами).

1-скелет триангуляции евклидовыми равносторонними треугольниками не является гиперболическим (фактически он квазиизометричен евклидовой плоскости). Триангуляция плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ имеет гиперболический 1-остов, если каждая вершина имеет степень 7 или более.

Двумерная сетка не является гиперболической (она квазиизометрична евклидовой плоскости). Это Кэли фундаментальной группы тора ; граф Графы Кэли фундаментальных групп поверхности высшего рода гиперболичны (фактически они квазиизометричны гиперболической плоскости).

Гиперболичность и кривизна

Гиперболическая плоскость (и, в более общем плане, любые многообразия Адамара секционной кривизны $\leq -1$) является $2$-гиперболический. Если мы масштабируем риманову метрику в коэффициент $\lambda >0$ тогда расстояния умножаются на $\lambda$ и таким образом мы получаем пространство, которое $\lambda \cdot \delta$-гиперболический. Поскольку кривизна умножается на $\lambda ^{-1}$ мы видим, что в этом примере, чем больше (отрицательно) искривлено пространство, тем ниже константа гиперболичности.

Аналогичными примерами являются CAT-пространства отрицательной кривизны. Что касается кривизны и гиперболичности, следует, однако, отметить, что, хотя кривизна является свойством, которое по существу является локальным, гиперболичность является крупномасштабным свойством, которое не учитывает локальные (т.е. происходящие в ограниченной области) метрические явления. Например, объединение гиперболического пространства с компактом с любой метрикой, расширяющей исходные, остается гиперболическим.

Важные свойства

Инвариантность относительно квазиизометрии

Один из способов уточнить значение слова «крупный масштаб» — потребовать инвариантности относительно квазиизометрии . Это справедливо в отношении гиперболичности.

Если геодезическое метрическое пространство $Y$ квазиизометрична $\delta$-гиперболическое пространство $X$ тогда существует $\delta '$ такой, что $Y$ является $\delta '$-гиперболический.

Константа $\delta '$ зависит от $\delta$ и о мультипликативных и аддитивных константах квазиизометрии.

Приближенные деревья в гиперболических пространствах

Определение гиперболического пространства в терминах произведения Громова можно рассматривать как утверждение, что метрические отношения между любыми четырьмя точками такие же, как они были бы в дереве, с точностью до аддитивной константы. $\delta$. В более общем смысле следующее свойство показывает, что любое конечное подмножество гиперболического пространства выглядит как конечное дерево.

Для любого $n,\delta$ есть константа $C$ такая, что имеет место следующее: если $x_{1},\ldots ,x_{n}$ являются точками в $\delta$-гиперболическое пространство $X$ существует конечное дерево $T$ и вложение $f:T\to X$ такой, что $x_{i}\in f(T)$ для всех $i=1,\ldots ,n$ и

$\forall i,j:d(f^{-1}(x_{i}),f^{-1}(x_{j}))\leq d(x_{i},x_{j})\leq d(f^{-1}(x_{i}),f^{-1}(x_{j}))+C$

Константа $C$ можно принять за $\delta \cdot h(n)$ с $h(n)=O(\log n)$ и это оптимально.

Экспоненциальный рост расстояний и изопериметрические неравенства

В гиперболическом пространстве $X$ у нас есть следующее свойство:

Есть $\mu ,K>0$ такой, что для всех $p,x,y\in X$ с $d(p,x)=d(p,y)=:r$, каждый путь $\alpha$ присоединение $x$ к $y$ и держаться на расстоянии хотя бы $r$ из $p$ имеет длину как минимум $e^{\mu \cdot d(x,y)}-K$.

Неформально это означает, что длина окружности радиуса $r$ растет в геометрической прогрессии с $r$. Это напоминает изопериметрическую задачу в евклидовой плоскости . Вот более конкретное заявление на этот счет.

Предположим, что $X$ представляет собой клеточный комплекс размерности 2 такой, что его 1-остов гиперболический и существует $C$ такая, что граница любой 2-клетки содержит не более $C$ 1-клет. Тогда есть константа $\lambda >0$ такой, что для любого конечного подкомплекса $Y\subset X$ у нас есть

$\operatorname {area} (Y)\leq \lambda \cdot \operatorname {length(\partial Y)}$

Здесь площадь 2-комплекса равна числу 2-клеток, а длина 1-комплекса равна числу 1-клеток. Приведенное выше утверждение представляет собой линейное изопериметрическое неравенство ; оказывается, что наличие такого изопериметрического неравенства характеризует громовско-гиперболические пространства. Линейные изопериметрические неравенства были основаны на условиях малого сокращения из комбинаторной теории групп .

Квазивыпуклые подпространства

Подпространство $Y$ геодезического метрического пространства $X$ называется квазивыпуклым, если существует постоянная $C$ такая, что любая геодезическая в $X$ между двумя точками $Y$ остается на расстоянии $C$ из $Y$.

Квазивыпуклое подпространство гиперболического пространства является гиперболическим.

Асимптотические конусы

Все асимптотические конусы гиперболического пространства являются действительными деревьями . Это свойство характеризует гиперболические пространства.

Граница гиперболического пространства

Обобщая конструкцию концов симплициального дерева, существует естественное понятие границы на бесконечности для гиперболических пространств, которое оказалось очень полезным для анализа групповых действий.

В этом параграфе $X$ — геодезическое метрическое пространство, которое является гиперболическим.

Определение с использованием произведения Громова

Последовательность $(x_{n})\in X^{\mathbb {N} }$ говорят, что оно сходится к бесконечности, если для некоторой (или любой) точки $p$ у нас есть это $(x_{n},x_{m})_{p}\rightarrow \infty$ как оба $n$ и $m$ идти в бесконечность. Две последовательности $(x_{n}),(y_{n})$ сходящиеся к бесконечности, считаются эквивалентными, если $\lim _{n\to +\infty }(x_{n},y_{n})_{p}=+\infty$ (для некоторых или каких-либо $p$). Граница ​ ​ $X$ — множество классов эквивалентности последовательностей, сходящихся к бесконечности, который обозначается $\partial X$.

Если $\xi ,\eta$ являются двумя точками на границе, то их произведение Громова определяется как:

$(\xi ,\eta )_{p}=\sup _{(x_{n})=\xi ,(y_{n})=\eta }\left(\liminf _{n,m\to +\infty }(x_{n},y_{m})_{p}\right)$

которое конечно тогда и только тогда, когда $\xi \neq \eta$. Затем можно определить топологию на $\partial X$ используя функции $(\cdot ,\xi )$. Эта топология на $\partial X$ метризуема, и существует выделенное семейство метрик, определенное с помощью произведения Громова.

Определение правильных пространств с использованием лучей

Позволять $\alpha ,\beta$ — два квазиизометрических вложения $[0,+\infty [$ в $X$ («квазигеодезические лучи»). Они считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда функция $t\mapsto d(\alpha (t),\beta (t))$ ограничен $[0,+\infty [$. Если пространство $X$ является собственным, то множество всех таких вложений по модулю эквивалентности со своей естественной топологией гомеоморфно $\partial X$ как определено выше.

Аналогичная реализация состоит в том, чтобы зафиксировать базовую точку и рассматривать только квазигеодезические лучи, исходящие из этой точки. В случае $X$ является геодезическим и собственным, можно также ограничиться настоящими геодезическими лучами.

Примеры

Когда $X=T$ — симплициальное регулярное дерево, граница — это просто пространство концов, которое является канторовым множеством. Исправление точки $x\in T$ дает естественное расстояние на $\partial T$: две точки, представленные лучами $\alpha ,\beta$ происходящий из $x$ находятся на расстоянии $\exp(-\operatorname {Length} (\alpha \cap \beta ))$.

Когда $X$ – единичный круг, т.е. модель диска Пуанкаре для гиперболической плоскости, гиперболическая метрика на диске равна

$ds^{2}={4|dz|^{2} \over (1-|z|^{2})^{2}}$

а границу Громова можно отождествить с единичной окружностью.

Граница $n$-мерное гиперболическое пространство гомеоморфно $n-1$-мерная сфера и метрика аналогичны приведенным выше.

Функции Буземана

Если $X$ является собственным, то его граница гомеоморфна пространству функций Буземана на $X$ переводы по модулю.

Действие изометрий на границу и их классификация

Квазиизометрия между двумя гиперболическими пространствами $X,Y$ индуцирует гомеоморфизм между границами.

В частности, группа изометрий $X$ действует гомеоморфизмами на $\partial X$. Это действие можно использовать классифицировать изометрии в соответствии с их динамическим поведением на границе, обобщая это для деревьев и классических гиперболических пространств. Позволять $g$ быть изометрией $X$, то имеет место один из следующих случаев:

• Первый случай: $g$ имеет ограниченную орбиту на $X$ (в случае $X$ правильно, это означает, что $g$ имеет фиксированную точку в $X$). Тогда это называется эллиптической изометрией.
• Второй случай: $g$ имеет ровно две неподвижные точки $\xi _{+},\xi _{-}$ на $\partial X$ и каждая положительная орбита $\{g^{n}\xi :n\geq 0\},\xi \not =\xi _{-}$ накапливается только в $\xi _{+}$. Затем $g$ называется гиперболической изометрией.
• Третий случай: $g$ имеет ровно одну неподвижную точку на границе, и все орбиты собираются в этой точке. Тогда это называется параболической изометрией.

Больше примеров

Подмножества теории гиперболических групп можно использовать, чтобы дать больше примеров гиперболических пространств, например, граф Кэли малой группы сокращения . Также известно, что графы Кэли некоторых моделей случайных групп (которые по сути представляют собой случайно сгенерированный бесконечный регулярный граф) очень часто имеют тенденцию быть гиперболическими.

Доказать, что некоторые пространства гиперболичны, может быть сложно и интересно. Например, следующие результаты о гиперболичности привели к открытию новых явлений для действующих на них групп.

• Гиперболичность комплекса кривых привело к новым результатам по группе картографических классов.
• Аналогично, гиперболичность некоторых графов связанный с внешней группой автоморфизмов Out(Fn), привел к новым результатам об этой группе.

См. также

• Отрицательно изогнутая группа
• Идеальный треугольник

Ссылки

• Боудич, Брайан (2006), Курс геометрической теории групп (PDF) , Матем. соц. Япония
• Бридсон, Мартин Р.; Хефлигер, Андре (1999), Метрические пространства неположительной кривизны , Спрингер
• Коорнарт, М.; Дельзант, Т.; Пападопулос, А. (1990), Геометрия и теория групп. Гиперболические группы Громова , Конспекты лекций по математике (на французском языке), вып. 1441, Шпрингер-Верлаг, ISBN  3-540-52977-2
• де ла Арп, Пьер; Гис, Этьен (1990), О гиперболических группах Михаила Громова (на французском языке), Биркхойзер
• Громов, Михаил (1987), «Гиперболические группы», Герстен, С.М. (ред.), Очерки теории групп , Springer, стр. 75–264.
• Роу, Джон (2003), Лекции по грубой геометрии , Серия университетских лекций, том. 31, Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-3332-2
• Вяйсяля, Юсси (2005), «Гиперболические пространства Громова», Mathematical Expositions , 23 (3): 187–231, doi : 10.1016/j.exmath.2005.01.010 , MR   2164775 .