Gromov product

В математике произведение Громова — понятие в теории метрических пространств, названное в честь математика Михаила Громова . Произведение Громова также можно использовать для определения δ -гиперболических метрических пространств в смысле Громова.

Определение

( X , d ) — метрическое пространство и пусть x , y , z ∈ X. Пусть Тогда произведение Громовское y и z в точке x , обозначаемое ( y , z ) _x , определяется формулой

$(y,z)_{x}={\frac {1}{2}}{\big (}d(x,y)+d(x,z)-d(y,z){\big )}.$

Мотивация

Для данных трех точек x , y , z в метрическом пространстве X по неравенству треугольника существуют неотрицательные числа a , b , c такие, что $d(x,y)=a+b,\ d(x,z)=a+c,\ d(y,z)=b+c$. Тогда произведения Громова $(y,z)_{x}=a,\ (x,z)_{y}=b,\ (x,y)_{z}=c$. В случае, если точки x , y , z являются внешними узлами треноги , то эти произведения Громова являются длинами ребер.

В гиперболической, сферической или евклидовой плоскости произведение Громова ( A , B ) _C равно расстоянию p между C и точкой, где окружность геодезического треугольника ABC касается края CB или CA. вписанная Действительно, из диаграммы c = ( a – p ) + ( b – p ) , так что p = ( a + b – c )/2 = ( A , B ) _C . Таким образом, для любого метрического пространства геометрическая интерпретация ( A , B ) _C получается путем изометрического вложения (A, B, C) в евклидову плоскость.

Свойства

• Произведение Громова симметрично: ( y , z ) _x знак равно ( z , y ) _x .
• Произведение Громова вырождается в конечных точках: ( y , z ) _y = ( y , z ) _z = 0.
• Для любых точек p , q , x , y и z ,

$d(x,y)=(x,z)_{y}+(y,z)_{x},$

$0\leq (y,z)_{x}\leq \min {\big \{}d(y,x),d(z,x){\big \}},$

${\big |}(y,z)_{p}-(y,z)_{q}{\big |}\leq d(p,q),$

${\big |}(x,y)_{p}-(x,z)_{p}{\big |}\leq d(y,z).$

Точки в бесконечности

Рассмотрим гиперболическое пространство H ^н . Зафиксируйте базовую точку p и пусть $x_{\infty }$ и $y_{\infty }$ быть двумя различными точками на бесконечности. Тогда предел

$\liminf _{x\to x_{\infty } \atop y\to y_{\infty }}(x,y)_{p}$

существует и конечен, поэтому его можно рассматривать как обобщенное произведение Громова. Фактически оно определяется формулой

$(x_{\infty },y_{\infty })_{p}=\log \csc(\theta /2),$

где $\theta$ угол между геодезическими лучами $px_{\infty }$ и $py_{\infty }$.

δ-гиперболические пространства и расходимость геодезических

Произведение Громова можно использовать для определения δ -гиперболических пространств в смысле Громова: ( X , d ) называется δ -гиперболическим если для всех p , x , y и z в X ,

$(x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta .$

В этом случае. Произведение Громова измеряет, как долго геодезические остаются близко друг к другу. А именно, если x , y и z — три точки δ -гиперболического метрического пространства, то начальные отрезки длины ( y , z ) _x геодезических от x до y и x до z находятся не дальше, чем на 2 δ друг от друга (в смысле расстояния Хаусдорфа между замкнутыми множествами).

Ссылки

• Коорнарт, М.; Дельзант, Т.; Пападопулос, А. (1990), Геометрия и теория групп. Гиперболические группы Громова , Конспекты лекций по математике (на французском языке), вып. 1441, Шпрингер-Верлаг, ISBN  3-540-52977-2
• Капович, Илья; Бенакли, Надя (2002). «Границы гиперболических групп». Комбинаторная и геометрическая теория групп (Нью-Йорк, 2000 г./Хобокен, Нью-Джерси, 2001 г.) . Созерцание Математика. 296. Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц. стр. 39–93. МР   1921706 .
• Вяйсяля, Юсси (2005). «Гиперболические пространства Громова». Математические изложения . 23 (3): 187–231. дои : 10.1016/j.exmath.2005.01.010 .