Кривая сложная

В математике комплекс кривых — это симплициальный комплекс C ( S конечного типа ), связанный с поверхностью S , который кодирует комбинаторику простых замкнутых на S. кривых Комплекс кривых оказался фундаментальным инструментом в изучении геометрии пространства Тейхмюллера , групп классов отображений и клейновых групп . Он был представлен WJHarvey в 1978 году.

Кривые комплексы

Определение

Позволять $S$ — связная ориентированная поверхность конечного типа. Точнее, пусть $S=S_{g,b,n}$ быть связной ориентированной поверхностью рода $g\geq 0$ с $b\geq 0$ граничные компоненты и $n\geq 0$ проколы.

Комплекс кривой $C(S)$ является симплициальным комплексом, определяемым следующим образом: ^[1]

Вершины — это свободные гомотопические классы существенных (ни гомотопически тривиальных, ни периферийных ) простых замкнутых кривых на $S$ ;
Если $c_{1},\ldots ,c_{n}$ представляют собой отдельные вершины $C(S)$ , они охватывают симплекс тогда и только тогда, когда их можно гомотопировать так, чтобы они были попарно непересекающимися.

Примеры

Для поверхностей небольшой сложности (по сути, тор , проколотый тор и сфера с четырьмя отверстиями) согласно приведенному выше определению комплекс кривых имеет бесконечно много компонент связности. Можно дать альтернативное и более полезное определение, соединив вершины, если соответствующие кривые имеют минимальное число пересечений. При таком альтернативном определении результирующий комплекс изоморфен графу Фэрея .

Геометрия кривой сложной

Основные свойства

Если $S$ представляет собой компактную поверхность рода $g$ с $b$ граничные компоненты размерность $C(S)$ равно $\xi (S)=3g-3+b$ . В дальнейшем мы будем предполагать, что $\xi (S)\geq 2$ . Комплекс кривых никогда не бывает локально конечным (т. е. каждая вершина имеет бесконечное число соседей). Результат Харера ^[2] утверждает, что $C(S)$ фактически гомотопически эквивалентен клиновой сумме сфер.

Номера перекрестков и расстояние по C ( S )

Комбинаторное расстояние на 1-остове $C(S)$ связано с числом пересечений простых замкнутых кривых на поверхности, которое представляет собой наименьшее количество пересечений двух кривых в изотопических классах. Например ^[3]

d_{S}(\alpha ,\beta )\leq 2\log _{2}(i(\alpha ,\beta ))+2

для любых двух непересекающихся простых замкнутых кривых $\alpha ,\beta$ . Можно сравнить и в другом направлении, но результаты будут гораздо более тонкими (например, не существует единой нижней границы даже для данной поверхности) и их труднее доказать. ^[4]

Гиперболичность

Это доказали Мазур и Минский. ^[5] что комплекс кривых является гиперболическим пространством Громова . Более поздние работы различных авторов дали альтернативные доказательства этого факта и лучшую информацию о гиперболичности. ^[4]^[6]

Связь с группой классов отображений и пространством Тейхмюллера

Действие группы классов отображения

Группа отображения классов $S$ действует на комплекс $C(S)$ естественным образом: он действует на вершины $\phi \cdot \alpha =\phi _{*}\alpha$ и это распространяется на действие на весь комплекс. Это действие позволяет доказать многие интересные свойства групп классов отображений. ^[7]

Хотя группа классов отображения сама по себе не является гиперболической группой , тот факт, что $C(S)$ является гиперболическим, что по-прежнему влияет на его структуру и геометрию. ^[8]^[9]

Сравнение с пространством Тейхмюллера

Существует естественное отображение пространства Тейхмюллера в комплекс кривых, которое переносит отмеченные гиперболические структуры в набор замкнутых кривых, реализующих наименьшую возможную длину ( систолу ). Оно позволяет считать некоторые геометрические свойства последнего, в частности, объясняет тот эмпирический факт, что, хотя пространство Тейхмюллера само по себе не является гиперболическим, оно сохраняет определенные черты гиперболичности.

Приложения к трехмерной топологии

Хегор разделяется

Симплекс в $C(S)$ определяет «наполнение» $S$ к корпусу ручки. Выбор двух симплексов в $C(S)$ таким образом определяет расщепление Хигора трехмерного многообразия: ^[10] с дополнительными данными диаграммы Хегора (максимальной системы непересекающихся простых замкнутых кривых, ограничивающих диски для каждого из двух ручек). Некоторые свойства расщеплений Хигора можно очень эффективно прочитать по относительным положениям симплексов:

расщепление приводимо тогда и только тогда, когда оно имеет диаграмму, представленную симплексами, имеющими общую вершину;
расщепление слабо приводимо тогда и только тогда, когда оно имеет диаграмму, представленную симплексами, соединенными ребром.

В общем, минимальное расстояние между симплексами, представляющими диаграмму расщепления, может дать информацию о топологии и геометрии (в смысле гипотезы геометризации многообразия) и наоборот. ^[10] Руководящий принцип заключается в том, что минимальное расстояние расщепления Хигора является мерой сложности многообразия. ^[11]

Клейнианские группы

Как частный случай философии предыдущего абзаца, геометрия комплекса кривых является важным инструментом, позволяющим связать комбинаторные и геометрические свойства гиперболических трехмерных многообразий, и, следовательно, это полезный инструмент при изучении клейновых групп. ^[12] Например, он использовался при доказательстве гипотезы о конечном расслоении . ^[13]^[14]

Случайные многообразия

Возможная модель случайных трехмерных многообразий состоит в случайном расщеплении Хегора. ^[15] Доказательство гиперболичности этой модели почти наверняка (в определенном смысле) использует геометрию комплекса кривых. ^[16]

Примечания

^ Фарб и Маргалит, Гл. 4.1, с. 92
^ Харер, Джон Л. (1 февраля 1986 г.). «Виртуальная когомологическая размерность группы классов отображений ориентируемой поверхности». Математические изобретения . 84 (1): 157–176. Бибкод : 1986InMat..84..157H . дои : 10.1007/BF01388737 . ISSN 0020-9910 . S2CID 121871169 .
^ Шлимер 2006 , Лемма 1.21.
^ Jump up to: ^а ^б Боудич 2006 .
^ Мазур и Мински 1999 .
^ Аугаб, Тарик (2013). «Равномерная гиперболичность графиков кривых». Геом. Тополь . 17 (5): 2855–2875. arXiv : 1212.3160 . дои : 10.2140/gt.2013.17.2855 . МР 3190300 . S2CID 55100877 .
^ Иванов 1992 , Глава 7.
^ Манганас, Джоанна (2010). «Равномерный равномерный экспоненциальный рост подгрупп группы классов отображений». Геом. Функц. Анал . 19 (5): 1468–1480. arXiv : 0805.0133 . дои : 10.1007/s00039-009-0038-y . МР 2585580 . S2CID 15662174 .
^ Дамани, Франсуа; Гирардель, Винсент; Осин, Денис (2017). «Гиперболически вложенные подгруппы и вращающиеся семейства в группах, действующих в гиперболических пространствах». Мемуары Американского математического общества . 245 (1156). arXiv : 1111.7048 . дои : 10.1090/memo/1156 . S2CID 119137328 .
^ Jump up to: ^а ^б Хемпель 2001 .
^ Абрамс, Аарон; Шлеймер, Саул (2005). «Расстояния расщеплений Хигора». Геом. Тополь . 9 : 95–119. arXiv : math/0306071 . дои : 10.2140/gt.2005.9.95 . МР 2115669 . S2CID 8546698 .
^ Боудич, Брайан Х. (2005). «Гиперболические трехмерные многообразия и геометрия комплекса кривых». Европейский математический конгресс . Евро. Математика. Соц. стр. 103–115.
^ Минский, Яир (2010). «Классификация групп клейновых поверхностей I: модели и границы» . Анналы математики . 171 (1): 1–107. arXiv : математика/0302208 . дои : 10.4007/анналы.2010.171.1 . ISSN 0003-486X . S2CID 115634421 .
^ Брок, Джеффри; Канарейка, Ричард; Минский, Яир (2012). «Классификация групп клейнианских поверхностей, II: Гипотеза о конечном расслоении» . Анналы математики . 176 (3): 1–149. arXiv : математика/0412006 . дои : 10.4007/анналы.2012.176.1.1 . ISSN 0003-486X . S2CID 119719908 .
^ Данфилд, Натан М.; Терстон, Уильям П. (2006). «Конечные накрытия случайных трехмерных многообразий». Изобретать. Математика . 166 (3): 457–521. arXiv : math/0502567 . Бибкод : 2006InMat.166..457D . дои : 10.1007/s00222-006-0001-6 . МР 2257389 . S2CID 14446676 .
^ Махер, Джозеф (2010). «Случайное расщепление Хигора». Журнал топологии . 3 (4): 997–1025. arXiv : 0809.4881 . дои : 10.1112/jtopol/jtq031 . S2CID 14179122 .

Ссылки

Харви, WJ (1981). «Граничная структура модульной группы». Римановы поверхности и смежные темы. Материалы конференции в Стоуни-Брук 1978 года . 1981.
Боудич, Брайан Х. (2006). «Числа пересечений и гиперболичность комплекса кривых». Дж. Рейн Анжью. Математика . 598 : 105–129. МР 2270568 .
Хемпель, Джон (2001). «3-многообразия, если смотреть со стороны комплекса кривых». Топология . 40 (3): 631–657. arXiv : математика/9712220 . дои : 10.1016/s0040-9383(00)00033-1 . МР 1838999 . S2CID 16532184 .
Иванов, Николай (1992). Подгруппы модульных групп Тейхмюллера . Американская математика. Соц.
Мазур, Ховард А.; Минский, Яир Н. (1999). «Геометрия комплекса кривых. I. Гиперболичность». Изобретать. Математика . 138 (1): 103–149. arXiv : математика/9804098 . Бибкод : 1999InMat.138..103M . дои : 10.1007/s002220050343 . МР 1714338 . S2CID 16199015 .
Шлеймер, Саул (2006). «Заметки о комплексе кривых» (PDF) .
Бенсон Фарб и Дэн Маргалит, Учебник по отображению групп классов . Принстонская математическая серия, 49. Издательство Принстонского университета , Принстон, Нью-Джерси, 2012. ISBN 978-0-691-14794-9

[1] Фарб и Маргалит, Гл. 4.1, с. 92

[2] Харер, Джон Л. (1 февраля 1986 г.). «Виртуальная когомологическая размерность группы классов отображений ориентируемой поверхности». Математические изобретения . 84 (1): 157–176. Бибкод : 1986InMat..84..157H . дои : 10.1007/BF01388737 . ISSN 0020-9910 . S2CID 121871169 .

[FOOTNOTESchleimer2006Lemma_1.21-3] Шлимер 2006 , Лемма 1.21.

[FOOTNOTEBowditch2006-4] Jump up to: ^а ^б Боудич 2006 .

[FOOTNOTEMasurMinsky1999-5] Мазур и Мински 1999 .

[6] Аугаб, Тарик (2013). «Равномерная гиперболичность графиков кривых». Геом. Тополь . 17 (5): 2855–2875. arXiv : 1212.3160 . дои : 10.2140/gt.2013.17.2855 . МР 3190300 . S2CID 55100877 .

[FOOTNOTEIvanov1992Chapter_7-7] Иванов 1992 , Глава 7.

[8] Манганас, Джоанна (2010). «Равномерный равномерный экспоненциальный рост подгрупп группы классов отображений». Геом. Функц. Анал . 19 (5): 1468–1480. arXiv : 0805.0133 . дои : 10.1007/s00039-009-0038-y . МР 2585580 . S2CID 15662174 .

[9] Дамани, Франсуа; Гирардель, Винсент; Осин, Денис (2017). «Гиперболически вложенные подгруппы и вращающиеся семейства в группах, действующих в гиперболических пространствах». Мемуары Американского математического общества . 245 (1156). arXiv : 1111.7048 . дои : 10.1090/memo/1156 . S2CID 119137328 .

[FOOTNOTEHempel2001-10] Jump up to: ^а ^б Хемпель 2001 .

[11] Абрамс, Аарон; Шлеймер, Саул (2005). «Расстояния расщеплений Хигора». Геом. Тополь . 9 : 95–119. arXiv : math/0306071 . дои : 10.2140/gt.2005.9.95 . МР 2115669 . S2CID 8546698 .

[12] Боудич, Брайан Х. (2005). «Гиперболические трехмерные многообразия и геометрия комплекса кривых». Европейский математический конгресс . Евро. Математика. Соц. стр. 103–115.

[13] Минский, Яир (2010). «Классификация групп клейновых поверхностей I: модели и границы» . Анналы математики . 171 (1): 1–107. arXiv : математика/0302208 . дои : 10.4007/анналы.2010.171.1 . ISSN 0003-486X . S2CID 115634421 .

[14] Брок, Джеффри; Канарейка, Ричард; Минский, Яир (2012). «Классификация групп клейнианских поверхностей, II: Гипотеза о конечном расслоении» . Анналы математики . 176 (3): 1–149. arXiv : математика/0412006 . дои : 10.4007/анналы.2012.176.1.1 . ISSN 0003-486X . S2CID 119719908 .

[15] Данфилд, Натан М.; Терстон, Уильям П. (2006). «Конечные накрытия случайных трехмерных многообразий». Изобретать. Математика . 166 (3): 457–521. arXiv : math/0502567 . Бибкод : 2006InMat.166..457D . дои : 10.1007/s00222-006-0001-6 . МР 2257389 . S2CID 14446676 .

[16] Махер, Джозеф (2010). «Случайное расщепление Хигора». Журнал топологии . 3 (4): 997–1025. arXiv : 0809.4881 . дои : 10.1112/jtopol/jtq031 . S2CID 14179122 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]