Метрика Кобаяши

В математике и особенно в сложной геометрии метрика Кобаяши — это псевдометрика, внутренне связанная с любым комплексным многообразием . Оно было введено Сошичи Кобаяши в 1967 году. Гиперболические многообразия Кобаяши — важный класс комплексных многообразий, определяемый тем свойством, что псевдометрика Кобаяши является метрикой. Гиперболичность Кобаяши комплексного многообразия X означает, что каждое голоморфное отображение комплексной прямой C в X является постоянным.

Определение

Истоки понятия лежат в лемме Шварца о комплексном анализе . А именно, если f — голоморфная функция на открытом единичном круге D в комплексных числах C такая, что f (0) = 0 и | ж ( z )| < 1 для всех z в D , то производная f '(0) имеет абсолютное значение не более 1. В более общем смысле, для любого голоморфного отображения f из D в себя (не обязательно отправляющего 0 в 0), существует более сложная верхняя оценка производной f в любой точке D . Однако оценка имеет простую формулировку в терминах метрики Пуанкаре , которая является полной римановой метрикой на D с кривизной −1 (изометричной гиперболической плоскости ). А именно: каждое голоморфное отображение D в себя является убывающим по расстоянию относительно метрики Пуанкаре на D .

Это начало прочной связи между комплексным анализом и геометрией отрицательной кривизны. Для любого комплексного пространства X (например, комплексного многообразия) псевдометрика Кобаяши d _X определяется как наибольшая псевдометрика на X такая, что

$d_{X}(f(x),f(y))\leq \rho (x,y)$,

для всех голоморфных отображений f единичного круга D в X , где $\rho (x,y)$ обозначает расстояние в метрике Пуанкаре на D . В некотором смысле эта формула обобщает лемму Шварца на все комплексные пространства; но оно может быть пустым в том смысле, что псевдометрика Кобаяши d _X может быть тождественно нулю. Например, он тождественно равен нулю, когда — комплексная прямая C. X (Это происходит потому, что C содержит сколь угодно большие диски, образы голоморфных отображений f _a : D → C, заданные формулой f ( z ) = az для сколь угодно больших положительных чисел a .)

Комплексное пространство X называется гиперболическим Кобаяши, если псевдометрика Кобаяши d _X является метрикой, что означает, что d _X ( x , y ) > 0 для всех x ≠ y в X . Неформально это означает, что существует настоящая граница размера дисков, голоморфно отображающихся в X . В этих терминах лемма Шварца утверждает, что единичный круг D является гиперболическим Кобаяши, а точнее, что метрика Кобаяши на D является в точности метрикой Пуанкаре. Теория становится более интересной по мере того, как обнаруживается больше примеров гиперболических многообразий Кобаяши. (Для гиперболического многообразия Кобаяши X метрика Кобаяши — это метрика, внутренне определяемая комплексной структурой X ; совсем не ясно, должно ли это когда-либо происходить. Реальное многообразие положительной размерности никогда не имеет внутренней метрики в этом смысле, потому что его группа диффеоморфизмов слишком велика, чтобы это допустить.)

Примеры

1. Каждое голоморфное отображение f : X → Y комплексных пространств является убывающим на расстоянии относительно псевдометрики Кобаяши X и Y . Отсюда следует, что если две точки p и q в комплексном пространстве Y могут быть соединены цепочкой голоморфных отображений C → Y , то d _Y ( p , q ) = 0, поскольку d _C тождественно равен нулю. Это дает множество примеров комплексных многообразий, для которых псевдометрика Кобаяши равна тождественному нулю: комплексная проективная прямая CP ¹ или, в более общем плане, сложное проективное пространство CP ^н , C − {0} (с использованием показательной функции C → C − {0}), эллиптическая кривая или, в более общем смысле, компактный комплексный тор .
2. Гиперболичность Кобаяши сохраняется при переходе к открытым подмножествам или к замкнутым комплексным подпространствам. Отсюда следует, например, что любая ограниченная область в C ^н является гиперболическим.
3. Комплексное пространство является гиперболическим Кобаяши тогда и только тогда, когда его универсальное накрывающее пространство является гиперболическим Кобаяши. Это дает множество примеров гиперболических комплексных кривых, поскольку теорема униформизации показывает, что большинство сложных кривых (также называемых римановыми поверхностями изоморфное диску D. ) имеют универсальное накрытие , В частности, каждая компактная комплексная кривая рода не менее 2 является гиперболической, как и дополнение к 2 или более точкам в C .

Основные результаты

Для гиперболического пространства Кобаяши X каждое голоморфное отображение C → X является постоянным в силу свойства псевдометрики Кобаяши уменьшать расстояние. Зачастую это самое важное последствие гиперболичности. Например, из того факта, что C минус 2 точки является гиперболическим, следует теорема Пикара о том, что образ любой непостоянной целой функции C → C пропускает не более одной точки C . Теория Неванлинны является более количественным потомком теоремы Пикара.

Теорема Броуди утверждает, что компактное комплексное пространство X является гиперболическим Кобаяши тогда и только тогда, когда каждое голоморфное отображение C → X является постоянным. Приложение состоит в том, что гиперболичность является открытым условием (в евклидовой топологии) для семейств компактных комплексных пространств. Марк Грин использовал аргумент Броуди, чтобы охарактеризовать гиперболичность замкнутых комплексных подпространств X компактного комплексного тора: X является гиперболическим тогда и только тогда, когда оно не содержит перевода подтора положительной размерности.

Если комплексное многообразие X имеет эрмитову метрику с голоморфной секционной кривизной, ограниченной сверху отрицательной константой, то X является гиперболическим по Кобаяши. В размерности 1 это называется леммой Альфорса – Шварца.

Гипотеза Грина–Гриффитса–Лэнга

Приведенные выше результаты дают полное описание того, какие комплексные многообразия являются гиперболическими Кобаяши в комплексной размерности 1. В более высоких размерностях картина менее ясна. Центральной открытой проблемой является гипотеза Грина– Гриффитса – Ланга : если X — комплексное проективное многообразие общего типа , то должно существовать замкнутое алгебраическое подмножество Y, равное X , такое, что каждое непостоянное голоморфное отображение C → X отображается в Y. не

Клеменс и Вуазен показали, что при n не менее 2 очень общая гиперповерхность X в CP ^{п +1} степени d не ниже 2 n +1, обладает тем свойством, что каждое замкнутое подмногообразие в X имеет общий тип. («Очень общий» означает, что это свойство справедливо для всех гиперповерхностей степени d вне счетного объединения алгебраических подмножеств меньшей размерности проективного пространства всех таких гиперповерхностей.) В результате гипотеза Грина – Гриффитса – Лэнга будет означать, что очень общая гиперповерхность степени не ниже 2 n +1 является гиперболической Кобаяши. Обратите внимание, что нельзя ожидать, что все гладкие гиперповерхности заданной степени будут гиперболическими, например, потому, что некоторые гиперповерхности содержат линии (изоморфные CP ¹ ). Такие примеры показывают необходимость подмножества Y в гипотезе Грина – Гриффитса – Лэнга.

Гипотеза о гиперболичности известна для гиперповерхностей достаточно высокой степени благодаря ряду достижений Сиу , Демайи и других, использующих технику струйных дифференциалов. Например, Диверио, Меркер и Руссо показали, что общая гиперповерхность в CP ^{п +1} степени не менее 2 ^{н 5} удовлетворяет гипотезе Грина-Гриффитса-Лэнга. («Общий» означает, что это справедливо для всех гиперповерхностей заданной степени вне конечного объединения алгебраических подмножеств меньшей размерности проективного пространства всех таких гиперповерхностей.) В 2016 году Бротбек дал доказательство гипотезы Кобаяши о гиперболичности общих гиперповерхностей высокой степени, основанное на использовании дифференциальных уравнений Вронского; Явные границы степени были затем получены Я Дэном и Демайи в произвольной размерности, например [ (en) ²ⁿ⁺² /3 ] последним. Лучшие оценки степени известны в малых размерностях.

Маккуиллан доказал гипотезу Грина–Гриффитса–Ланга для любой комплексной проективной поверхности общего типа, числа Чженя которой удовлетворяют c ₁ ² > с ₂ . Для произвольного многообразия X общего типа Демайи показал, что каждое голоморфное отображение C → X удовлетворяет некоторым (фактически многим) алгебраическим дифференциальным уравнениям .

В противоположном направлении Кобаяши предположил, что псевдометрика Кобаяши равна тождественному нулю для многообразий Калаби – Яу . Это верно в случае поверхностей K3 , поскольку каждая проективная поверхность K3 покрыта семейством эллиптических кривых. В более общем смысле Кампана выдвинул точную гипотезу о том, какие комплексные проективные многообразия X имеют псевдометрику Кобаяши, равную нулю. А именно, это должно быть эквивалентно тому, что X является специальным в том смысле, что X не имеет рационального расслоения над положительномерным орбифолдом общего типа.

Аналогия с теорией чисел

Для проективного многообразия X изучение голоморфных отображений C → X имеет некоторую аналогию с изучением рациональных точек X — центральная тема теории чисел . Существует несколько предположений о связи между этими двумя предметами. В частности, пусть X — проективное многообразие над числовым полем k . Исправьте вложение k в C . Тогда Ланг предположил, что комплексное многообразие X ( C ) является гиперболическим Кобаяши тогда и только тогда, когда X имеет только конечное число F -рациональных точек для каждого конечного поля расширения F поля k . Это согласуется с известными результатами о рациональных точках, в частности с теоремой Фалтингса о подмногообразиях абелевых многообразий .

Точнее, пусть X — проективное многообразие общего типа над числовым полем k . Пусть исключительное множество Y является замыканием Зариского объединения образов всех непостоянных голоморфных C → X. отображений Согласно гипотезе Грина-Гриффитса-Лэнга, Y должно быть собственным замкнутым подмножеством X (и, в частности, не быть равным X ). Сильная гипотеза Ланга предсказывает, что Y определено над k и что X − Y имеет только конечное число F -рациональных точек для каждого конечного поля расширения F поля k .

В том же духе для проективного многообразия X над числовым полем k (или, в более общем смысле, конечно порожденного поля k нулевой характеристики) Кампана предположил, что псевдометрика Кобаяши X ( C ) тождественно равна нулю тогда и только тогда, когда X имеет потенциально плотные рациональные точки, что означает, что существует конечное поле расширения F поля k такое, что множество X ( F ) F -рациональных точек плотно по Зарисскому в X .

Варианты

Метрика Каратеодори — еще одна внутренняя псевдометрика комплексных многообразий, основанная на голоморфных отображениях единичного диска, а не единичного диска. Инфинитезимальная псевдометрика Кобаяши — это псевдометрика Финслера , связанная с которой функция расстояния является псевдометрикой Кобаяши, как определено выше. Форма псевдообъема Кобаяши-Эйзенмана — это внутренняя комплексного n - мерного многообразия, основанная на голоморфных отображениях n -мерного полидиска в X. мера Это понимается лучше, чем псевдометрика Кобаяши. В частности, каждое проективное многообразие общего типа является мерно-гиперболическим , что означает, что форма псевдообъема Кобаяши-Эйзенмана положительна вне алгебраического подмножества меньшей размерности.

Аналогичные псевдометрики рассмотрены для плоских аффинных и проективных структур, а также для более общих проективных и конформных связностей .

Ссылки

• Бротбек, Дамиан (2017), «О гиперболичности общих гиперповерхностей», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 126 : 1–34, arXiv : 1604.00311 , doi : 10.1007/s10240-017-0090-3 , MR   3735863 , ID   119665113
• Кампана, Фредерик (2004), «Орбифолды, специальные разновидности и теория классификации» (PDF) , Annales de l'Institut Fourier , 54 (3): 499–630, doi : 10.5802/aif.2027 , MR   2097416
• Демайи, Жан-Пьер (1997), «Алгебраические критерии для гиперболических проективных многообразий Кобаяши и реактивных дифференциалов» (PDF) , Алгебраическая геометрия - Санта-Крус 1995 , Труды симпозиумов по чистой математике, том. 62, Часть 2, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 285–360, MR   1492539.
• Демайи, Жан-Пьер (2011), «Голоморфные неравенства Морса и гипотеза Грина – Гриффитса – Ланга», Pure and Applied Mathematics Quarterly , 7 (4): 1165–1207, arXiv : 1011.3636 , doi : 10.4310/PAMQ.2011. v7.n4.a6 , MR   2918158 , S2CID   16065414
• Демайи, Жан-Пьер (2018). «Недавние результаты по гипотезам Кобаяши и Грина-Гриффитса-Лэнга». arXiv : 1801.04765 [ math.AG ].
• Диверио, Симона; Меркер, Жоэль; Руссо, Эрван (2010), «Эффективное алгебраическое вырождение», Inventiones Mathematicae , 180 (1): 161–223, arXiv : 0811.2346 , Bibcode : 2010InMat.180..161D , doi : 10.1007/s00222-010-0232-4 , МР   2593279 , S2CID   2530752
• Кобаяши, Шошичи (1976), «Внутренние расстояния, меры и теория геометрических функций», Бюллетень Американского математического общества , 82 (3): 357–416, doi : 10.1090/S0002-9904-1976-14018-9 , MR   0414940
• Кобаяши, Шошичи (1977), «Внутренние расстояния, связанные с плоскими аффинными или проективными структурами», Журнал факультета естественных наук Токийского университета , 24 : 129–135, MR   0445016.
• Кобаяши, Шошичи (1998), Гиперболические комплексные пространства , Берлин: Springer Nature , ISBN  3-540-63534-3 , МР   1635983
• Кобаяши, Шошичи (2005) [1970], Гиперболические многообразия и голоморфные отображения , Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific , ISBN  981-256-496-9 , МР   2194466
• Ланг, Серж (1986). «Гиперболический и диофантов анализ» . Бюллетень Американского математического общества . 14 (2): 159–205. дои : 10.1090/s0273-0979-1986-15426-1 . МР   0828820 .
• Маккуиллан, Майкл (1998), «Диофантовые приближения и слоения» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 87 : 121–174, doi : 10.1007/BF02698862 , MR   1659270 , S2CID   53635826
• Вуазен, Клер (1996), «О гипотезе Клеменса о рациональных кривых на гиперповерхностях» , Журнал дифференциальной геометрии , 44 : 200–213, MR   1420353 «Поправка» , Журнал дифференциальной геометрии , 49 : 601–611, 1998, MR   1669712.
• Вуазен, Клэр (2003), «О некоторых проблемах Кобаяши и Ланга: алгебраические подходы» (PDF) , Current Developments in Mathematics , Somerville, MA: International Press, стр. 53–125, MR   2132645