Классификация Нильсена – Терстона

В математике Тёрстона классификационная теорема характеризует гомеоморфизмы компактной ориентируемой поверхности . Теорема Уильяма Терстона завершает работу, начатую Якобом Нильсеном ( 1944 ).

Для гомеоморфизма f : S → S существует отображение g, изотопное такое f , что выполняется хотя бы одно из следующих условий:

g периодичен, т.е. некоторая степень g тождественна;
g сохраняет некоторое конечное объединение непересекающихся простых замкнутых кривых на S (в этом случае g называется приводимым ); или
г — псевдоаносов .

Случай, когда S является тором (т. е. поверхностью, род которой равен единице), рассматривается отдельно (см. расслоение торов ) и был известен до работы Терстона. Если род S равен двум или больше, то S естественно гиперболический , и инструменты теории Тейхмюллера становятся полезными. В дальнейшем мы предполагаем, что S имеет род не менее двух, как это и было рассмотрено Терстоном. (Обратите внимание, однако, что случаи, когда S имеет границу или неориентируемо , определенно по-прежнему представляют интерес.)

Три типа в этой классификации не исключают друг друга, хотя псевдоаносовский гомеоморфизм никогда не является периодическим или приводимым . Приводимый можно дополнительно проанализировать , гомеоморфизм g разрезав поверхность по сохранившемуся объединению простых замкнутых кривых Γ . На каждую из получившихся компактных поверхностей с краем действует некоторая степень (т.е. повторяющаяся композиция ) g , и к этому гомеоморфизму снова можно применить классификацию.

Группа классов отображения поверхностей высшего рода

Классификация Терстона применима к гомеоморфизмам ориентируемых поверхностей рода ≥ 2, но тип гомеоморфизма зависит только от ассоциированного с ним элемента группы классов отображений Mod(S) . Фактически доказательство классификационной теоремы приводит к каноническому представителю каждого класса отображений с хорошими геометрическими свойствами. Например:

Когда g периодичен, существует элемент его класса отображения, который является изометрией гиперболической структуры на S .
Когда g псевдоаносов , растягивая листья одного ( неустойчивое , существует элемент его класса отображения, который сохраняет пару трансверсальных сингулярных слоений S слоение ) и сжимая листья другого ( стабильное слоение).

Бычье картирование

Первоначальной мотивацией Терстона для разработки этой классификации было нахождение геометрических структур на отображении торов типа, предсказанного гипотезой геометризации . Тор отображения M _g гомеоморфизма g поверхности S — это 3-многообразие, полученное из S × [0,1] склейкой S × {0} с S × {1} с помощью g . S имеет род не менее двух, геометрическая структура Mg _Если связана с типом g в классификации следующим образом:

Если g периодичен, то M _g имеет H ² × R-структура;
Если g приводим, то M _g имеет несжимаемые торы , и его следует разрезать вдоль этих торов, чтобы получить части, каждая из которых имеет геометрическую структуру ( разложение JSJ );
Если g псевдоаносов . , то M _g имеет гиперболику (т. е H ³) структура.

Первые два случая сравнительно просты, тогда как существование гиперболической структуры на торе отображения псевдоаносовского гомеоморфизма представляет собой глубокую и трудную теорему (также принадлежащую Терстону ). Возникающие таким образом гиперболические 3-многообразия называются расслоенными , поскольку они представляют собой поверхностные расслоения над окружностью , и эти многообразия рассматриваются отдельно при доказательстве теоремы о геометризации Терстона для многообразий Хакена . Расслоенные гиперболические 3-многообразия обладают рядом интересных и патологических свойств; например, Кэннон и Терстон показали, что поверхностная подгруппа возникающей клейниевой группы имеет предельное множество , которое представляет собой кривую, заполняющую сферу .

Классификация фиксированной точки

Три типа поверхностных гомеоморфизмов также связаны с динамикой группы классов отображений Mod( S ) в пространстве Тейхмюллера T ( S ). Терстон ввел компактификацию T ) , ( S которая гомеоморфна замкнутому шару и на которую естественным образом распространяется действие Mod( S ). Тип элемента g группы классов отображений в классификации Терстона связан с его неподвижными точками при воздействии на компактификацию T ( S ):

Если g периодичен, то внутри T ( S ) существует неподвижная точка; эта точка соответствует гиперболической структуре на S которой , группа изометрий содержит элемент, изотопный g ;
Если g псевдоаносов ) , , то g не имеет неподвижных точек в T ( S но имеет пару неподвижных точек на границе Терстона; эти неподвижные точки соответствуют стабильному и нестабильному слоениям S, сохраняемым g .
Для некоторых приводимых классов отображений g на границе Терстона есть одна неподвижная точка; примером является мультиповорот по разложению штанов Γ . В этом случае неподвижная точка g на границе Терстона соответствует Γ .

Это напоминает классификацию гиперболических изометрий на эллиптический , параболический и гиперболический типы (которые имеют структуры с неподвижной точкой, аналогичные периодическим , приводимым и псевдоаносовским типам, перечисленным выше).

См. также

Карта железнодорожных путей

Ссылки

Бествина, М. ; Гендель, М. (1995). «Железнодорожные пути для поверхностных гомеоморфизмов» (PDF) . Топология . 34 (1): 109–140. дои : 10.1016/0040-9383(94)E0009-9 .
Фенхель, Вернер ; Нильсен, Джейкоб (2003). Шмидт, Асмус Л. (ред.). Разрывные группы изометрий в гиперболической плоскости . Де Грюйтер Исследования по математике. Том. 29. Берлин: Вальтер де Грюйтер и компания.
Работы Терстона о поверхностях , Asterisk, 66-67, Soc. Математика. Франция, Париж, 1979 год.
Гендель, М.; Терстон, WP (1985). «Новые доказательства некоторых результатов Нильсена» (PDF) . Достижения в математике . 56 (2): 173–191. дои : 10.1016/0001-8708(85)90028-3 . МР 0788938 .
Нильсен, Якоб (1944), «Классы поверхностных преобразований алгебраически конечного типа», Danske Vid. Компания. Матем.-Физ. сообщение , 21 (2): 89, МР 0015791
Пеннер, Р.К. (1988). «Конструкция псевдоаносовских гомеоморфизмов» . Труды Американского математического общества . 310 (1): 179–197. дои : 10.1090/S0002-9947-1988-0930079-9 . МР 0930079 .
Терстон, Уильям П. (1988), «О геометрии и динамике диффеоморфизмов поверхностей», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 19 (2): 417–431, номер документа : 10.1090/S0273-0979-1988- 15685-6 , ISSN 0002-9904 , МР 0956596