Хороцикл

В гиперболической геометрии орицикл орициклом ( от греческих корней, означающих «граничный круг»), иногда называемый или предельным кругом , представляет собой кривую постоянной кривизны, где все перпендикулярные геодезические ( нормали ), проходящие через точку орицикла, являются предельно параллельными , и все они асимптотически сходятся к одной идеальной точке, называемой центром орицикла.В некоторых моделях гиперболической геометрии кажется, что два «конца» орицикла становятся все ближе и ближе друг к другу и ближе к его центру, это не так; два «конца» орицикла удаляются все дальше и дальше друг от друга и остаются на бесконечном расстоянии от его центра.Горосфера . – это трехмерная версия гороцикла

В евклидовом пространстве все кривые постоянной кривизны представляют собой либо прямые линии (геодезические), либо окружности , а в гиперболическом пространстве секционной кривизны $-1,$ кривые постоянной кривизны бывают четырех типов: геодезические с кривизной $\kappa =0,$ гиперциклы с кривизной $0<|\kappa |<1,$ орициклы с искривлением $|\kappa |=1,$ и круги с кривизной $|\kappa |>1.$

Любые два орицикла конгруэнтны и могут быть наложены друг на друга с помощью изометрии (переноса и вращения) гиперболической плоскости.

Орицикл также можно описать как предел кругов, имеющих общую касательную в данной точке, поскольку их радиусы стремятся к бесконечности , или как предел гиперциклов, касающихся этой точки, поскольку расстояния от их осей стремятся к бесконечности.

Два орицикла с одинаковым центром называются концентрическими . Что касается концентрических окружностей, то любая геодезическая, перпендикулярная орициклу, также перпендикулярна каждому концентрическому орициклу.

Характеристики

Через каждую пару точек проходит 2 орицикла. Центры орициклов являются идеальными точками серединного перпендикуляра отрезка между ними.
Никакие три точки орицикла не лежат на прямой, окружности или гиперцикле.
орициклы конгруэнтны Все . (Даже концентрические орициклы конгруэнтны друг другу)
, Прямая линия окружность , гиперцикл или другой орицикл разрезает орицикл не более чем в двух точках.
Биссектриса осью хорды орицикла является нормалью этого орицикла, а биссектриса делит пополам дугу, опирающуюся на хорду, и является симметрии этого орицикла.
Длина дуги орицикла между двумя точками равна:

длиннее, чем длина отрезка между этими двумя точками,

длиннее, чем длина дуги гиперцикла между этими двумя точками и

короче, чем длина любой дуги окружности между этими двумя точками.

Расстояние от орицикла до его центра бесконечно, и хотя в некоторых моделях гиперболической геометрии кажется, что два «конца» орицикла становятся все ближе и ближе друг к другу и ближе к его центру, это не так; два «конца» орицикла удаляются все дальше и дальше друг от друга.
Правильный апейрогон описан либо орициклом, либо гиперциклом.
Если C — центр орицикла, а A и B — точки орицикла, то углы CAB и CBA равны. ^[1]
Площадь сектора орицикла (площадь между двумя радиусами и орициклом) конечна. ^[2]

Стандартизованная гауссова кривизна

Когда гиперболическая плоскость имеет стандартизированную гауссову кривизну K, равную -1:

Длина s : дуги орицикла между двумя точками равна $s=2\sinh \left({\frac {1}{2}}d\right)={\sqrt {2(\cosh d-1)}}$ где d — расстояние между двумя точками, а sinh и cosh — гиперболические функции . ^[3]
Длина дуги орицикла, при которой касательная на одном конце ограничивается радиусом, проходящим через другой конец, равна 1. ^[4] площадь, заключенная между этим орициклом и радиусами, равна 1. ^[5]
Отношение длин дуг между двумя радиусами двух концентрических орициклов, где орициклы находятся на расстоянии 1 друг от друга, равно e : 1. ^[6]

Представления в моделях гиперболической геометрии.

Модель диска Пуанкаре

В модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости орициклы изображаются окружностями, касающимися граничной окружности; центр орицикла - это идеальная точка, где орицикл касается граничной окружности.

Конструкция циркуля и линейки для двух орициклов, проходящих через две точки, аналогична конструкции CPP для особых случаев задачи Аполлония , когда обе точки находятся внутри круга.

Модель полуплоскости Пуанкаре

В модели полуплоскости Пуанкаре орициклы представлены окружностями, касающимися граничной линии, и в этом случае их центром является идеальная точка, в которой круг касается граничной линии.

Когда центр орицикла является идеальной точкой $y=\infty$ тогда орицикл представляет собой линию, параллельную граничной линии.

Конструкция циркуля и линейки в первом случае аналогична конструкции ЛПП для частных случаев задачи Аполлония .

Гиперболоидная модель

В модели гиперболоида они представлены пересечениями гиперболоида с плоскостями, нормаль которых лежит на асимптотическом конусе (т. е. является нулевым вектором в трехмерном пространстве Минковского ).

Метрика

Если метрика нормирована так, чтобы иметь гауссову кривизну -1, то орицикл представляет собой кривую геодезической кривизны 1 в каждой точке.

Поток орицикла

Каждый орицикл является орбитой унипотентной подгруппы PSL (2,R) в гиперболической плоскости. Более того, перемещение с единичной скоростью вдоль орицикла, касательного к заданному единичному касательному вектору, индуцирует поток на единичном касательном расслоении гиперболической плоскости. Этот поток называется орициклическим потоком гиперболической плоскости.

Отождествляя единичное касательное расслоение с группой PSL(2,R) , поток орициклов задается правым действием унипотентной подгруппы $U=\{u_{t},\,t\in \mathbb {R} \}$ , где: $u_{t}=\pm \left({\begin{array}{cc}1&t\\0&1\end{array}}\right).$ То есть поток во времени $t$ начиная с вектора, представленного $g\in \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ равно $gu_{t}$ .

Если $S$ является гиперболической поверхностью, ее единичное касательное расслоение также поддерживает поток орицикла. Если $S$ унифицирован как $S=\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}$ единичное касательное расслоение отождествляется с $\Gamma \backslash \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ и поток, начинающийся в $\Gamma g$ дается $t\mapsto \Gamma gu_{t}$ . Когда $S$ компактен или, в более общем смысле, когда $\Gamma$ является решеткой , этот поток эргодичен (относительно нормированной меры Лиувилля ). Более того, в этом случае теоремы Ратнера очень точно описывают возможные замыкания его орбит. ^[7]

См. также

Ссылки

^ Сосинский, А.Б. (2012). Геометрии . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 141–2. ISBN 9780821875711 .
^ Коксетер, HSM (1998). Неевклидова геометрия (6-е изд.). Вашингтон, округ Колумбия: Математический доц. Америки. стр. 243–244 . ISBN 978-0-88385-522-5 .
^ Смогоржевский (1976). Лобачевская геометрия . Москва: Мир. п. 65.
^ Соммервилл, DMY (2005). Элементы неевклидовой геометрии (Унабр. и неизмененное республиканское изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 58. ИСБН 0-486-44222-5 .
^ Коксетер, HSM (1998). Неевклидова геометрия (6-е изд.). Вашингтон, округ Колумбия: Математический доц. Америки. п. 250 . ISBN 978-0-88385-522-5 .
^ Соммервилл, DMY (2005). Элементы неевклидовой геометрии (Унабр. и неизмененное республиканское изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 58. ИСБН 0-486-44222-5 .
^ Моррис, Дэйв Витте (2005). Теоремы Ратнера об унипотентных потоках . Чикагские лекции по математике. Чикаго, Иллинойс: Издательство Чикагского университета. arXiv : math/0310402 . ISBN 978-0-226-53984-3 . МР 2158954 .

HSM Coxeter (1961) «Введение в геометрию» , §16.6: «Окружности, орициклы и эквидистантные кривые», стр. 300, 1, John Wiley & Sons .
Четыре столпа геометрии с. 198

[1] Сосинский, А.Б. (2012). Геометрии . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 141–2. ISBN 9780821875711 .

[2] Коксетер, HSM (1998). Неевклидова геометрия (6-е изд.). Вашингтон, округ Колумбия: Математический доц. Америки. стр. 243–244 . ISBN 978-0-88385-522-5 .

[3] Смогоржевский (1976). Лобачевская геометрия . Москва: Мир. п. 65.

[4] Соммервилл, DMY (2005). Элементы неевклидовой геометрии (Унабр. и неизмененное республиканское изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 58. ИСБН 0-486-44222-5 .

[5] Коксетер, HSM (1998). Неевклидова геометрия (6-е изд.). Вашингтон, округ Колумбия: Математический доц. Америки. п. 250 . ISBN 978-0-88385-522-5 .

[6] Соммервилл, DMY (2005). Элементы неевклидовой геометрии (Унабр. и неизмененное республиканское изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 58. ИСБН 0-486-44222-5 .

[7] Моррис, Дэйв Витте (2005). Теоремы Ратнера об унипотентных потоках . Чикагские лекции по математике. Чикаго, Иллинойс: Издательство Чикагского университета. arXiv : math/0310402 . ISBN 978-0-226-53984-3 . МР 2158954 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]