гамильтонова механика

сэр Уильям Роуэн Гамильтон

В физике гамильтонова механика представляет собой переформулировку лагранжевой механики , возникшую в 1833 году. Представлена ​​сэром Уильямом Роуэном Гамильтоном . Гамильтонова механика заменяет (обобщенные) скорости. ${\dot {q}}^{i}$ используется в лагранжевой механике с (обобщенными) импульсами . Обе теории дают интерпретации классической механики и описывают одни и те же физические явления.

Гамильтонова механика имеет тесную связь с геометрией (в частности, симплектической геометрией и пуассоновскими структурами ) и служит связующим звеном между классической и квантовой механикой .

Обзор

Координаты фазового пространства ( p , q ) и гамильтониан H

Позволять $(M,{\mathcal {L}})$ быть механической системой с конфигурационным пространством $M$ и гладкий лагранжиан ${\mathcal {L}}.$ Выберите стандартную систему координат $({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$ на $M.$ Количества $\textstyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\dot {q}}^{i}}$ называются импульсами . (Также обобщенные импульсы , сопряженные импульсы и канонические импульсы ). На мгновение $t,$ Лежандра Преобразование ​ ${\mathcal {L}}$ определяется как карта $({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\to \left({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}\right)$ предполагается, что он имеет гладкую обратную $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\to ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}).$ Для системы с $n$ степеней свободы, лагранжева механика определяет энергетическую функцию $$E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}^{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\mathcal {L}}.$$

Преобразование Лежандра ${\mathcal {L}}$ поворачивается $E_{\mathcal {L}}$ в функцию ${\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)$ известный как гамильтониан . Гамильтониан удовлетворяет $${\mathcal {H}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}},{\boldsymbol {q}},t\right)=E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$$что подразумевает, что $${\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t),$$где скорости ${\boldsymbol {\dot {q}}}=({\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})$ находятся из ( $n$-мерное) уравнение $\textstyle {\boldsymbol {p}}={\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}$ которое по предположению однозначно разрешимо для ⁠ ${\boldsymbol {\dot {q}}}$⁠ . ( $2n$-мерная) пара $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})$ называется координатами фазового пространства . (Также канонические координаты ).

От уравнения Эйлера–Лагранжа к уравнениям Гамильтона

В координатах фазового пространства ⁠ $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})$⁠ , ( $n$-мерное) уравнение Эйлера – Лагранжа $${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}}=0$$превращается в уравнения Гамильтона в $2n$ размеры

${\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {q}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}},\quad {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}.$

Доказательство

Гамильтониан ${\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})$ - преобразование Лежандра лагранжиана ⁠ ${\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$⁠ , таким образом, имеем

${\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})={\boldsymbol {p}}{\boldsymbol {\dot {q}}}$

и таким образом

${\begin{aligned}\partial {\mathcal {H}}/\partial {\boldsymbol {p}}&={\boldsymbol {\dot {q}}}\\\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {q}}&=-\partial {\mathcal {H}}/\partial {\boldsymbol {q}}\end{aligned}},$

Кроме того, поскольку ${\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}$уравнения Эйлера-Лагранжа дают $\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}/\mathrm {d} t=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {q}}=-\partial {\mathcal {H}}/\partial {\boldsymbol {q}}.$

От стационарного принципа действия к уравнениям Гамильтона

Позволять ${\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ быть набором гладких путей ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to M$ для чего ${\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}$ и ${\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}.$ действия Функционал ${\mathcal {S}}:{\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ определяется через $${\mathcal {S}}[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}{\mathcal {L}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)\right)\,dt,$$где ⁠ ${\boldsymbol {q}}={\boldsymbol {q}}(t)$⁠ и ${\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}$ (см. выше). Путь ${\boldsymbol {q}}\in {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ является стационарной точкой ${\mathcal {S}}$ (и, следовательно, является уравнением движения) тогда и только тогда, когда путь $({\boldsymbol {p}}(t),{\boldsymbol {q}}(t))$ в координатах фазового пространства подчиняется уравнениям Гамильтона.

Основная физическая интерпретация

Простая интерпретация гамильтоновой механики основана на ее применении к одномерной системе, состоящей из одной нерелятивистской частицы массы m . Значение $H(p,q)$ гамильтониана — это полная энергия системы, в данном случае сумма кинетической и потенциальной энергии , традиционно обозначаемая T и V соответственно. Здесь p — импульс mv , q — пространственная координата. Затем $${\mathcal {H}}=T+V,\qquad T={\frac {p^{2}}{2m}},\qquad V=V(q)$$T является функцией только p , тогда как V является функцией только q (т. е. T и V являются склерономными ).

В этом примере производная q по времени — это скорость, и поэтому первое уравнение Гамильтона означает, что скорость частицы равна производной ее кинетической энергии по ее импульсу. Производная по времени импульса p равна силе Ньютона , и поэтому второе уравнение Гамильтона означает, что сила равна отрицательному градиенту потенциальной энергии.

Пример

Основная статья: Сферический маятник

Сферический маятник состоит из массы m, движущейся без трения по поверхности сферы . Единственные силы, действующие на массу, — это реакция сферы и гравитация . Сферические координаты используются для описания положения массы в терминах ( r , θ , φ ) , где r фиксировано, r = ℓ .

Сферический маятник : углы и скорости.

Лагранжиан для этой системы равен $$L={\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\varphi }}^{2}\right)+mg\ell \cos \theta .$$

Таким образом, гамильтониан $$H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\varphi }{\dot {\varphi }}-L$$где $$P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=m\ell ^{2}{\dot {\theta }}$$и $$P_{\varphi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}.$$В терминах координат и импульсов гамильтониан имеет вид $$H=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\Big [}-mg\ell \cos \theta {\Big ]}} _{V}={\frac {P_{\theta }^{2}}{2m\ell ^{2}}}+{\frac {P_{\varphi }^{2}}{2m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }}-mg\ell \cos \theta .$$Уравнения Гамильтона дают временную эволюцию координат и сопряженных импульсов в четырех дифференциальных уравнениях первого порядка: $${\begin{aligned}{\dot {\theta }}&={P_{\theta } \over m\ell ^{2}}\\[6pt]{\dot {\varphi }}&={P_{\varphi } \over m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }\\[6pt]{\dot {P_{\theta }}}&={P_{\varphi }^{2} \over m\ell ^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mg\ell \sin \theta \\[6pt]{\dot {P_{\varphi }}}&=0.\end{aligned}}$$Импульс ⁠ $P_{\varphi }$⁠ , что соответствует вертикальной составляющей углового момента ⁠ $L_{z}=\ell \sin \theta \times m\ell \sin \theta \,{\dot {\varphi }}$⁠ , — константа движения. Это следствие вращательной симметрии системы вокруг вертикальной оси. Будучи отсутствующим в гамильтониане, азимут $\varphi$ – циклическая координата , что предполагает сохранение сопряженного ей импульса.

Вывод уравнений Гамильтона

Уравнения Гамильтона могут быть получены путем расчета с помощью лагранжиана ⁠ ${\mathcal {L}}$⁠ , обобщенные позиции q ^я , и обобщенные скорости ⋅ q ^я , где ⁠ $i=1,\ldots ,n$⁠ . Здесь мы работаем вне оболочки , то есть ⁠ $q^{i}$⁠ , ⁠ ${\dot {q}}^{i}$⁠ , ⁠ $t$⁠ — независимые координаты в фазовом пространстве, не обязанные подчиняться каким-либо уравнениям движения (в частности, ${\dot {q}}^{i}$ не является производной от ⁠ $q^{i}$⁠ ). Полный дифференциал лагранжиана равен: $$\mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\,\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .$$Координаты обобщенного импульса определялись как ⁠ $p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}$⁠ , поэтому мы можем переписать уравнение так: $${\begin{aligned}\mathrm {d} {\mathcal {L}}=&\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+p_{i}\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\\=&\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+\mathrm {d} (p_{i}{\dot {q}}^{i})-{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\,.\end{aligned}}$$

После перестановки получим: $$\mathrm {d} \!\left(\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}\right)=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .$$

Член в скобках слева — это гамильтониан ${\textstyle {\mathcal {H}}=\sum p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}}$ определено ранее, поэтому: $$\mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .$$

Можно также вычислить полный дифференциал гамильтониана ${\mathcal {H}}$ по координатам ⁠ $q^{i}$⁠ , ⁠ $p_{i}$⁠ , ⁠ $t$⁠ вместо ⁠ $q^{i}$⁠ , ⁠ ${\dot {q}}^{i}$⁠ , ⁠ $t$⁠ , что дает: $$\mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .$$

Теперь можно приравнять эти два выражения для ⁠ $d{\mathcal {H}}$⁠ , один с точки зрения ⁠ ${\mathcal {L}}$⁠ , другой с точки зрения ⁠ ${\mathcal {H}}$⁠ : $$\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ =\ \sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .$$

Поскольку эти расчеты являются внешними, можно приравнять соответствующие коэффициенты ⁠ $\mathrm {d} q^{i}$⁠ , ⁠ $\mathrm {d} p_{i}$⁠ , ⁠ $\mathrm {d} t$⁠ с двух сторон: $${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}\ .$$

В оболочке можно заменить параметрические функции $q^{i}=q^{i}(t)$ которые определяют траекторию в фазовом пространстве со скоростями ⁠ ${\dot {q}}^{i}={\tfrac {d}{dt}}q^{i}(t)$⁠ , подчиняясь уравнениям Лагранжа : $${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0\ .$$

Перестановка и запись в терминах on-shell $p_{i}=p_{i}(t)$ дает: $${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}\ .$$

Таким образом, уравнения Лагранжа эквивалентны уравнениям Гамильтона: $${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\dot {p}}_{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,.$$

В случае независимого от времени ${\mathcal {H}}$ и ⁠ ${\mathcal {L}}$⁠ , т. е . ⁠ $\partial {\mathcal {H}}/\partial t=-\partial {\mathcal {L}}/\partial t=0$⁠ , уравнения Гамильтона состоят из 2 n первого порядка дифференциальных уравнений , а уравнения Лагранжа состоят из n уравнений второго порядка. Уравнения Гамильтона обычно не уменьшают трудности поиска явных решений, но из них можно получить важные теоретические результаты, поскольку координаты и импульсы являются независимыми переменными с почти симметричными ролями.

Уравнения Гамильтона имеют еще одно преимущество перед уравнениями Лагранжа: если система обладает симметрией, то некоторая координата $q_{i}$ не встречается в гамильтониане (т.е. в циклической координате ), соответствующая координата импульса $p_{i}$ сохраняется вдоль каждой траектории, и эта координата может быть приведена к константе в других уравнениях набора. Это эффективно сводит проблему от n координат к ( n - 1) координатам: это основа симплектической редукции в геометрии. В лагранжевой модели сохранение импульса также следует немедленно, однако все обобщенные скорости ${\dot {q}}_{i}$ все еще встречаются в лагранжиане, и систему уравнений в n координатах все еще приходится решать.

Лагранжев и гамильтонов подходы обеспечивают основу для более глубоких результатов в классической механике и предлагают аналогичные формулировки в квантовой механике : формулировку интеграла по траекториям и уравнение Шредингера .

Свойства гамильтониана

• Значение гамильтониана ${\mathcal {H}}$ - полная энергия системы тогда и только тогда, когда энергетическая функция $E_{\mathcal {L}}$ имеет то же свойство. (См. определение ⁠ ${\mathcal {H}}$⁠ ).
• ${\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}$ когда ⁠ $\mathbf {p} (t)$⁠ , ⁠ $\mathbf {q} (t)$⁠ образуют решение уравнений Гамильтона.
  Действительно, ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$ и все, кроме последнего члена, отменяется.
• ${\mathcal {H}}$ не меняется при точечных преобразованиях , т.е. плавные изменения ${\boldsymbol {q}}\leftrightarrow {\boldsymbol {q'}}$ пространственных координат. (Следует из инвариантности энергетической функции $E_{\mathcal {L}}$ при точечных преобразованиях. Инвариантность $E_{\mathcal {L}}$ можно установить напрямую).
• ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}.$ (См. § Вывод уравнений Гамильтона ).
• ⁠ $-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}$⁠ . (Сравните уравнения Гамильтона и Эйлера-Лагранжа или см. § Вывод уравнений Гамильтона ).
• ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=0$ тогда и только тогда, когда ⁠ ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0$⁠ .
  Координата, для которой выполняется последнее уравнение, называется циклической (или игнорируемой ). Каждая циклическая координата $q^{i}$ уменьшает количество степеней свободы на ⁠ $1$⁠ , вызывает соответствующий импульс $p_{i}$ сохраняется и упрощает решение уравнений Гамильтона .

Гамильтониан как полная энергия системы

При применении к данной системе гамильтониан часто принимается равным $${\mathcal {H}}=T+V$$

где $T$ это кинетическая энергия и $V$ это потенциальная энергия. Использование этого соотношения может быть проще, чем сначала вычислить лагранжиан, а затем вывести гамильтониан из лагранжиана. Однако это соотношение справедливо не для всех систем.

Соотношение справедливо для нерелятивистских систем, когда выполняются все следующие условия: $${\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0\;,\quad \forall i$$$${\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0$$$$T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}$$

где $t$ это время, $n$ — число степеней свободы системы, и каждая $c_{ij}({\boldsymbol {q}})$ — произвольная скалярная функция от ${\boldsymbol {q}}$.

На словах это означает, что отношение ${\mathcal {H}}=T+V$ справедливо, если $T$ не содержит времени как явной переменной (она склерономна ), $V$ не содержит обобщенной скорости в качестве явной переменной, и каждый член $T$ квадратичен по обобщенной скорости.

Доказательство

Прежде чем приступить к этому доказательству, важно устранить двусмысленность в соответствующих математических обозначениях. Хотя замену переменных можно использовать для приравнивания ${\mathcal {L}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)={\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$,важно отметить, что ${\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\neq {\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$.В этом случае правая часть всегда равна 0. Чтобы выполнить замену переменных внутри частной производной, правило цепочки многих переменных следует использовать . Следовательно, чтобы избежать двусмысленности, следует указывать аргументы функции любого члена внутри частной производной.

Кроме того, в этом доказательстве используются обозначения $f(a,b,c)=f(a,b)$ подразумевать, что ${\frac {\partial f(a,b,c)}{\partial c}}=0$.

Доказательство

Исходя из определений гамильтониана, обобщенных импульсов и лагранжиана для $n$ система степеней свободы $${\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}p_{i}{\dot {q}}_{i}{\biggr )}-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$$$$p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$$$${\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$$

Подстановка обобщенных импульсов в гамильтониан дает $${\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$$

Подстановка лагранжиана в результат дает $${\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \left(T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\right)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-\left(T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)+V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\end{aligned}}$$

Теперь предположим, что $${\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0\;,\quad \forall i$$

а также предположим, что $${\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0$$

Применение этих предположений приводит к $${\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\end{aligned}}$$

Далее предположим, что T имеет вид $$T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}$$

где каждый $c_{ij}({\boldsymbol {q}})$ — произвольная скалярная функция от ${\boldsymbol {q}}$.

Дифференцируя это относительно ${\dot {q}}_{l}$, $l\in [1,n]$, дает $${\begin{aligned}{\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}{\frac {\partial \left[c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}\end{aligned}}$$

Разделение суммирования, вычисление частной производной и повторное объединение суммирования дает $${\begin{aligned}{\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}&=\sum _{i\neq l}^{n}\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+\sum _{i\neq l}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{l}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+c_{ll}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{l}^{2}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}\\&=\sum _{i\neq l}^{n}\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}0{\biggr )}+\sum _{i\neq l}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}+2c_{ll}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{l}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}\end{aligned}}$$

Суммируя (это умножить на ${\dot {q}}_{l}$) над $l$ приводит к $${\begin{aligned}\sum _{l=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\dot {q}}_{l}\right)&=\sum _{l=1}^{n}\left(\left(\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}\right){\dot {q}}_{l}\right)\\&=\sum _{l=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}+\sum _{l=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}+\sum _{l=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{l}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}\\&=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\\&=2T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\end{aligned}}$$

Это упрощение является результатом теоремы Эйлера об однородной функции .

Следовательно, гамильтониан становится $${\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=2T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\end{aligned}}$$

Приложение к системам точечных масс

Для системы точечных масс требование $T$ быть квадратичным по обобщенной скорости, всегда выполняется для случая, когда $T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$, что является требованием для ${\mathcal {H}}=T+V$ в любом случае.

Доказательство

Рассмотрим кинетическую энергию системы N точечных масс. Если предположить, что $T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$, то можно показать, что ${\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)={\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$ (См. § Применение склерономии ). Следовательно, кинетическая энергия равна $$T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{\biggl (}m_{k}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}){\biggr )}$$

Цепное правило для многих переменных можно использовать для расширения скорости $${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})&={\frac {d\mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{dt}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\end{aligned}}$$

В результате чего $${\begin{aligned}T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})&={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(m_{k}\left(\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\cdot \sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\right)\right)\right)\\&=\sum _{k=1}^{N}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {1}{2}}m_{k}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {1}{2}}m_{k}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}\right){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}\end{aligned}}$$

Это необходимая форма.

Сохранение энергии

Если условия для ${\mathcal {H}}=T+V$ выполнены, то сохранение гамильтониана влечет за собой сохранение энергии. Для этого необходимо дополнительное условие $V$ не содержит время как явную переменную.

$${\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0$$

Что касается расширенной формулировки Эйлера-Лагранжа (см. Лагранжеву механику § Расширения для включения неконсервативных сил ), функция диссипации Рэлея представляет собой диссипацию энергии по своей природе. Следовательно, энергия не сохраняется, если $R\neq 0$. Это похоже на потенциал, зависящий от скорости.

Вкратце, требования к ${\mathcal {H}}=T+V={\text{constant of time}}$ которые должны быть удовлетворены для нерелятивистской системы, являются

1. $V=V({\boldsymbol {q}})$
2. $T=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$
3. $T$ — однородная квадратичная функция по ${\boldsymbol {\dot {q}}}$

Гамильтониан заряженной частицы в электромагнитном поле

Достаточной иллюстрацией гамильтоновой механики является гамильтониан заряженной частицы в электромагнитном поле . В декартовых координатах лагранжиан : нерелятивистской классической частицы в электромагнитном поле равен (в единицах СИ ) $${\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi ,$$где q — электрический заряд частицы, φ — электрический скалярный потенциал , а A _i — компоненты магнитного векторного потенциала , которые все могут явно зависеть от $x_{i}$ и ⁠ $t$⁠ .

Этот лагранжиан в сочетании с уравнением Эйлера-Лагранжа дает силы Лоренца закон . $$m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,$$и называется минимальной связью .

Канонические импульсы задаются формулой: $$p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}.$$

Таким образом , гамильтониан как преобразование Лежандра лагранжиана имеет вид: $${\mathcal {H}}=\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi .$$

Это уравнение часто используется в квантовой механике .

При калибровочном преобразовании : $$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,$$где f ( r , t ) — любая скалярная функция пространства и времени. Вышеупомянутый лагранжиан, канонические импульсы и гамильтониан преобразуются следующим образом: $$L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,$$которое по-прежнему дает то же уравнение Гамильтона: $${\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}$$

В квантовой механике волновая функция также претерпевает локальное U(1). групповое преобразование во время калибровочного преобразования, что означает, что все физические результаты должны быть инвариантны относительно локальных преобразований U(1).

Релятивистская заряженная частица в электромагнитном поле

Релятивистский лагранжиан для частицы ( масса покоя $m$ и зарядите ⁠ $q$⁠ ) ​​определяется:

$${\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)$$

Таким образом, канонический импульс частицы равен $$\mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A}$$то есть сумма кинетического импульса и потенциального импульса.

Решая скорость, получаем $${\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {\mathbf {p} -q\mathbf {A} }{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}}$$

Итак, гамильтониан $${\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}+q\varphi$$

В результате получается уравнение силы (эквивалентное уравнению Эйлера – Лагранжа ) $${\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi$$из чего можно вывести $${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )={\dot {\mathbf {p} }}-q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}$$

В приведенном выше выводе используется тождество векторного исчисления : $${\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)=\mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} ).$$

Эквивалентное выражение для гамильтониана как функции релятивистского (кинетического) импульса, ⁠ $\mathbf {P} =\gamma m{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {p} -q\mathbf {A}$⁠ , это $${\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V$$

Это имеет то преимущество, что кинетический импульс $\mathbf {P}$ может быть измерен экспериментально, тогда как канонический импульс $\mathbf {p}$ не могу. Обратите внимание, что гамильтониан ( полная энергия ) можно рассматривать как сумму релятивистской энергии (кинетическая + отдых) , ⁠ $E=\gamma mc^{2}$⁠ , плюс потенциальная энергия , ⁠ $V=q\varphi$⁠ .

От симплектической геометрии к уравнениям Гамильтона

Геометрия гамильтоновых систем

Гамильтониан может индуцировать симплектическую структуру на гладком четномерном многообразии M ^{2 н} несколькими эквивалентными способами, наиболее известными из которых являются следующие:

Как замкнутая невырожденная симплектическая 2-форма   ω . Согласно теореме Дарбу , в малой окрестности вокруг любой точки на М существуют подходящие локальные координаты $p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}$ ( канонические или симплектические координаты), в которых симплектическая форма принимает вид: $$\omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}\,.$$Форма $\omega$ индуцирует естественный изоморфизм касательного пространства с кокасательным пространством : ⁠ $T_{x}M\cong T_{x}^{*}M$⁠ . Это делается путем отображения вектора $\xi \in T_{x}M$ к 1-форме ⁠ $\omega _{\xi }\in T_{x}^{*}M$⁠ , где $\omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi )$ для всех ⁠ $\eta \in T_{x}M$⁠ . Ввиду билинейности и невырожденности ⁠ $\omega$⁠ и тот факт, что ⁠ $\dim T_{x}M=\dim T_{x}^{*}M$⁠ , отображение $\xi \to \omega _{\xi }$ действительно является линейным изоморфизмом . Этот изоморфизм естественен тем, что он не меняется при изменении координат на $M.$ Повторяю все ⁠ $x\in M$⁠ , мы получим изоморфизм $J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)$ между бесконечномерным пространством гладких векторных полей и пространством гладких 1-форм. Для каждого $f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ и ⁠ $\xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M)$⁠ , $$J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).$$

(В алгебраических терминах можно было бы сказать, что $C^{\infty }(M,\mathbb {R} )$-модули ${\text{Vect}}(M)$ и $\Omega ^{1}(M)$ изоморфны). Если ⁠ $H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} )$⁠ , то для каждого фиксированного ⁠ $t\in \mathbb {R} _{t}$⁠ , ⁠ $dH\in \Omega ^{1}(M)$⁠ и ⁠ $J(dH)\in {\text{Vect}}(M)$⁠ . $J(dH)$ известно как гамильтоново векторное поле . Соответствующее дифференциальное уравнение на $M$$${\dot {x}}=J(dH)(x)$$называется уравнением Гамильтона . Здесь $x=x(t)$ и $J(dH)(x)\in T_{x}M$ (зависящее от времени) значение векторного поля $J(dH)$ в ⁠ $x\in M$⁠ .

Гамильтонову систему можно понимать как расслоение E во времени R , где E t _{является} позиционным пространством в момент времени t ∈ R. слой Таким образом, лагранжиан является функцией на расслоении струй J над E ; послойное преобразование Лежандра лагранжиана дает функцию на двойственном расслоении во времени, слой которой в точке t является кокасательным пространством T ^∗ E _t , которая имеет естественную симплектическую форму , и эта последняя функция является гамильтонианом. Соответствие лагранжевой и гамильтоновой механики достигается с помощью тавтологической формы .

Любая гладкая вещественная функция H на симплектическом многообразии может использоваться для определения гамильтоновой системы . Функция H известна как «гамильтониан» или «функция энергии». Симплектическое многообразие тогда называется фазовым пространством . Гамильтониан индуцирует специальное векторное поле на симплектическом многообразии, известное как векторное поле Гамильтона .

Гамильтоново векторное поле индуцирует гамильтонов поток на многообразии. Это однопараметрическое семейство преобразований многообразия (параметр кривых принято называть «временем»); другими словами, , начиная изотопия симплектоморфизмов с единицы. По теореме Лиувилля каждый симплектоморфизм сохраняет форму объема в фазовом пространстве . Совокупность симплектоморфизмов, индуцированных гамильтоновым потоком, обычно называют «гамильтоновой механикой» гамильтоновой системы.

Симплектическая структура индуцирует скобку Пуассона . Скобка Пуассона придает пространству функций на многообразии структуру алгебры Ли .

Если F и G — гладкие функции на M , то гладкая функция ω ( J ( dF ), J ( dG )) определена правильно; она называется скобкой Пуассона функций F и G и обозначается { F , G } . Скобка Пуассона обладает следующими свойствами:

1. билинейность
2. антисимметрия
3. Правило Лейбница : $\{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}$
4. Личность Якоби : $\{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0$
5. невырожденность: если точка x на M не является критической для F гладкая функция G , то существует такая, что ⁠ $\{F,G\}(x)\neq 0$⁠ .

Учитывая функцию f $${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\left\{f,{\mathcal {H}}\right\},$$если существует распределение вероятностей ρ , то (поскольку фазовая скорость $({\dot {p}}_{i},{\dot {q}}_{i})$ имеет нулевую дивергенцию и вероятность сохраняется) можно показать, что его конвективная производная равна нулю, и поэтому $${\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\left\{\rho ,{\mathcal {H}}\right\}$$

Это называется теоремой Лиувилля . Каждая гладкая функция G над симплектическим многообразием порождает однопараметрическое семейство симплектоморфизмов , и если { G , H } = 0 , то G сохраняется, а симплектоморфизмы являются преобразованиями симметрии .

Гамильтониан может иметь несколько сохраняющихся величин G _i . Если симплектическое многообразие имеет размерность 2 n и существует n функционально независимых сохраняющихся величин G _i , находящихся в инволюции (т. е. { G _i , G _j } = 0 ), то гамильтониан интегрируем по Лиувиллю . Теорема Лиувилля–Арнольда гласит, что локально любой интегрируемый по Лиувиллю гамильтониан может быть преобразован с помощью симплектоморфизма в новый гамильтониан с сохраняющимися величинами в _Gi качестве координат; новые координаты называются координатами действие-угол . Преобразованный гамильтониан зависит только от G _i , поэтому уравнения движения имеют простой вид $${\dot {G}}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F_{i}(G)$$для некоторой функции F . Существует целая область исследований малых отклонений от интегрируемых систем, подчиняющихся теореме КАМ .

Интегрируемость гамильтоновых векторных полей остается открытым вопросом. В общем, гамильтоновы системы хаотичны ; понятия меры, полноты, интегрируемости и устойчивости определены слабо.

Римановы многообразия

Важный частный случай составляют те гамильтонианы, которые являются квадратичными формами , то есть гамильтонианы, которые можно записать как $${\mathcal {H}}(q,p)={\tfrac {1}{2}}\langle p,p\rangle _{q}$$где ⟨ , ⟩ _q — плавно меняющееся скалярное произведение на слоях T ^∗
_q Q , кокасательное пространство к точке q в конфигурационном пространстве , иногда называемое кометрикой. Этот гамильтониан полностью состоит из кинетического члена .

Если рассматривать риманово многообразие или псевдориманово многообразие , риманова метрика индуцирует линейный изоморфизм между касательными и кокасательными расслоениями. (См. Музыкальный изоморфизм ). Используя этот изоморфизм, можно определить кометрику. (В координатах матрица, определяющая кометрику, является обратной матрицей, определяющей метрику.) Решения уравнений Гамильтона – Якоби для этого гамильтониана тогда такие же, как геодезические на многообразии. В частности, гамильтонов поток в этом случае есть то же самое, что и геодезический поток . Существование таких решений, а также полнота множества решений подробно обсуждаются в статье о геодезии . См. также Геодезические как гамильтоновы потоки .

Субримановы многообразия

Если кометика вырождена, то она не обратима. В этом случае не существует риманова многообразия, как и не существует метрики. Однако гамильтониан все еще существует. В случае, когда кометрика вырождена в каждой точке q многообразия конфигурационного пространства Q , так что ранг кометрики меньше размерности многообразия Q , существует субриманово многообразие .

Гамильтониан в этом случае известен как субриманов гамильтониан . Каждый такой гамильтониан однозначно определяет кометрику, и наоборот. Это означает, что каждое субриманово многообразие однозначно определяется своим субримановым гамильтонианом и что верно обратное: каждое субриманово многообразие имеет уникальный субриманов гамильтониан. Существование субримановых геодезических дается теоремой Чоу–Рашевского .

Непрерывная вещественная группа Гейзенберга представляет собой простой пример субриманова многообразия. Для группы Гейзенберга гамильтониан имеет вид $${\mathcal {H}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right).$$p _z не участвует в гамильтониане.

Алгебры Пуассона

Гамильтоновы системы можно обобщать различными способами. Вместо того, чтобы просто рассматривать алгебру гладких функций над симплектическим многообразием , гамильтонову механику можно сформулировать на общих коммутативных с единицей вещественных алгебрах Пуассона . Состояние непрерывный — это линейный функционал на алгебре Пуассона (наделенный некоторой подходящей топологией ) такой, что для любого элемента A алгебры A ² отображается в неотрицательное действительное число.

Дальнейшее обобщение даёт динамика Намбу .

Обобщение квантовой механики через скобку Пуассона.

Уравнения Гамильтона, приведенные выше, хорошо работают для классической механики , но не для квантовой механики , поскольку обсуждаемые дифференциальные уравнения предполагают, что можно указать точное положение и импульс частицы одновременно в любой момент времени. Однако уравнения можно дополнительно обобщить, а затем распространить на квантовую механику, а также на классическую механику, путем деформации алгебры Пуассона над p и q до алгебры скобок Мойала .

В частности, более общая форма уравнения Гамильтона гласит: $${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left\{f,{\mathcal {H}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}},$$где f — некоторая функция от p и q , а H — гамильтониан. Чтобы узнать правила вычисления скобки Пуассона , не прибегая к дифференциальным уравнениям, см. Алгебра Ли ; Скобка Пуассона — это название скобки Ли в алгебре Пуассона . Эти скобки Пуассона затем можно расширить до скобок Мойала, соответствующих неэквивалентной алгебре Ли, как доказал Хилбранд Дж. Гроневолд , и тем самым описать квантово-механическую диффузию в фазовом пространстве (см. Формулировку фазового пространства и преобразование Вигнера-Вейля ). Этот более алгебраический подход не только позволяет в конечном итоге расширить распределения вероятностей в фазовом пространстве до квазивероятностных распределений Вигнера , но, при простой классической настройке скобки Пуассона, также дает больше возможностей, помогая анализировать соответствующие сохраняющиеся величины в системе.

См. также

• Каноническое преобразование
• Классическая теория поля
• Гамильтонова теория поля
• Ковариантная гамильтонова теория поля
• Классическая механика
• Теория динамических систем
• гамильтонова система
• Уравнение Гамильтона – Якоби
• Уравнение Гамильтона – Якоби – Эйнштейна
• Лагранжева механика
• Уравнения Максвелла
• Гамильтониан (квантовая механика)
• Квантовые уравнения Гамильтона
• Квантовая теория поля
• Гамильтонова оптика
• Теория Дондера-Вейля
• Геометрическая механика
• Рутианская механика
• Механика Намбу
• Гамильтонова механика жидкости
• Гамильтоново векторное поле

Дальнейшее чтение

• Ландау Лев Давидович ; Лифшиц, Евгений Михайлович (1976). Механика . Курс теоретической физики . Том. 1. Сайкс, Дж. Б. (Джон Брэдбери), Белл, Дж. С. (3-е изд.). Оксфорд. ISBN  0-08-021022-8 . ОСЛК   2591126 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Авраам, Р .; Марсден, Дж. Э. (1978). Основы механики (2-е изд., перераб., англ. и переизд.). Ридинг, Массачусетс: Паб Benjamin/Cummings. компании ISBN  0-8053-0102-Х . ОСЛК   3516353 .
• Арнольд, VI ; Козлов В.В.; Нейштадт, А.И. (1988). «Математические аспекты классической и небесной механики». Энциклопедия математических наук, Динамические системы III . Том. 3. Аносов, Д.В. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  0-387-17002-2 . OCLC   16404140 .
• Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-96890-3 . OCLC   18681352 .
• Гольдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз П. младший ; Сафко, Джон Л. (2002). Классическая механика (3-е изд.). Сан-Франциско: Эддисон Уэсли. ISBN  0-201-31611-0 . OCLC   47056311 .
• Виноградов А.М. ; Купершмидт, Б.А. (31 августа 1977 г.). «Структура гамильтоновой механики» . Российские математические обзоры . 32 (4): 177–243. Бибкод : 1977РуМаС..32..177В . дои : 10.1070/RM1977v032n04ABEH001642 . ISSN   0036-0279 . S2CID   250805957 .

Внешние ссылки

• Бинни, Джеймс Дж. , Классическая механика (конспекты лекций) (PDF) , Оксфордский университет , получено 27 октября 2010 г.
• Тонг, Дэвид , Классическая динамика (конспекты лекций в Кембридже) , Кембриджский университет , получено 27 октября 2010 г.
• Гамильтон, Уильям Роуэн , Об общем методе в динамике , Тринити-колледж, Дублин.
• Малхам, Саймон Дж. А. (2016), Введение в лагранжеву и гамильтонову механику (конспекты лекций) (PDF)
• Морин, Дэвид (2008), Введение в классическую механику (Дополнительный материал: метод Гамильтона) (PDF)