Механика Намбу

В математике механика Намбу является обобщением гамильтоновой механики, включающей несколько гамильтонианов. Напомним, что гамильтонова механика основана на потоках, порождаемых гладким гамильтонианом над симплектическим многообразием . Потоки являются симплектоморфизмами и, следовательно, подчиняются теореме Лиувилля . Вскоре это было обобщено на потоки, порождаемые гамильтонианом над многообразием Пуассона . В 1973 году Ёитиро Намбу предложил обобщение, включающее многообразия Намбу–Пуассона с более чем одним гамильтонианом.

Кронштейн Намбу

В частности, рассмотрим дифференциальное многообразие M для некоторого целого числа N ≥ 2 ; имеется гладкое N -линейное отображение из N копий C ^∞ ( M ) самому себе, так что он полностью антисимметричен: кронштейн Намбу ,

$\{h_{1},\ldots ,h_{N-1},\cdot \}:C^{\infty }(M)\times \cdots C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty }(M),$

который действует как вывод

$\{h_{1},\ldots ,h_{N-1},fg\}=\{h_{1},\ldots ,h_{N-1},f\}g+f\{h_{1},\ldots ,h_{N-1},g\},$

откуда тождества Филиппова (ФИ) (напоминает идентичности Якоби ,но в отличие от них не антисимметричен по всем аргументам, при N ≥ 2 ):

$\{f_{1},\cdots ,~f_{N-1},~\{g_{1},\cdots ,~g_{N}\}\}=\{\{f_{1},\cdots ,~f_{N-1},~g_{1}\},~g_{2},\cdots ,~g_{N}\}+\{g_{1},\{f_{1},\cdots ,f_{N-1},~g_{2}\},\cdots ,g_{N}\}+\dots$ $+\{g_{1},\cdots ,g_{N-1},\{f_{1},\cdots ,f_{N-1},~g_{N}\}\},$

так что { f ₁ , ..., f _{N −1} , •} действует как обобщенное дифференцирование над N -кратным произведением {. ,..., .} .

Гамильтонианы и поток

Существует N − 1 гамильтонианов, H ₁ , ..., H _{N −1} , порождающих несжимаемый поток ,

${\frac {d}{dt}}f=\{f,H_{1},\ldots ,H_{N-1}\},$

Обобщенная скорость в фазовом пространстве недивергентна, что обеспечивает теорему Лиувилля . Случай N = 2 сводится к многообразию Пуассона и обычной гамильтоновой механике.

При больших четных N гамильтонианы N −1 отождествляются с максимальным числом независимых инвариантов движения (ср. Сохраняющаяся величина ), характеризующих суперинтегрируемую систему , которая развивается в N -мерном фазовом пространстве . Такие системы также можно описать с помощью обычной гамильтоновой динамики ; но их описание в рамках механики Намбу существенно более элегантно и интуитивно понятно, поскольку все инварианты имеют тот же геометрический статус, что и гамильтониан: траектория в фазовом пространстве представляет собой пересечение N − 1 гиперповерхностей, заданных этими инвариантами. Таким образом, поток перпендикулярен всем N − 1 градиентам этих гамильтонианов, а значит, параллелен обобщенному векторному произведению, заданному соответствующей скобкой Намбу.

Механику Намбу можно распространить на гидродинамику, где полученные скобки Намбу неканоничны, а гамильтонианы отождествляются с Казимиром системы, например, с энстрофией или спиральностью.

Квантование динамики Намбу приводит к интригующим структурам которые совпадают с обычными квантованиями, когда речь идет о суперинтегрируемых системах, что и должно быть.

См. также

• гамильтонова механика
• Симплектическое многообразие
• Многообразие Пуассона
• Алгебра Пуассона
• Интегрируемая система
• Сохраняемое количество
• Гамильтонова механика жидкости

Ссылки

• Куртрайт, Т .; Зачос, К. (2003). «Классическая и квантовая механика Намбу». Физический обзор . D68 (8): 085001.arXiv : hep -th/0212267 . Бибкод : 2003PhRvD..68h5001C . doi : 10.1103/PhysRevD.68.085001 . S2CID   17388447 .
• Филиппов, В.Т. (1986). «n-алгебры лжи». Сиб. Математика. Журнал . 26 (6): 879–891. дои : 10.1007/BF00969110 . S2CID   125051596 .
• Намбу, Ю. (1973). «Обобщенная гамильтонова динамика». Физический обзор . Д7 (8): 2405–2412. Бибкод : 1973PhRvD...7.2405N . дои : 10.1103/PhysRevD.7.2405 .
• Невир, П.; Блендер, Р. (1993). «Представление Намбу несжимаемой гидродинамики с использованием спиральности и энстрофии». Дж. Физ. А. ​ 26 (22): 1189–1193. Бибкод : 1993JPhA...26L1189N . дои : 10.1088/0305-4470/26/22/010 .
• Блендер, Р.; Бадин, Г. (2015). «Гидродинамическая механика Намбу, основанная на геометрических ограничениях». Дж. Физ. А. ​ 48 (10): 105501. arXiv : 1510.04832 . Бибкод : 2015JPhA...48j5501B . дои : 10.1088/1751-8113/48/10/105501 . S2CID   119661148 .
• Блендер, Р.; Бадин, Г. (2017). «Построение гамильтониана и форм Намбу для уравнений мелкой воды» . Жидкости . 2 (2): 24. arXiv : 1606.03355 . дои : 10.3390/fluids2020024 . S2CID   36189352 .