Склерономный

Механическая система называется склерономной, если уравнения связей не содержат времени как явной переменной и уравнение связей может быть описано обобщенными координатами. Такие ограничения называются склерономическими ограничениями. Противоположностью склерономному является реономный .

Приложение

В трехмерном пространстве частица с массой $m\,\!$ , скорость $\mathbf {v} \,\!$ имеет кинетическую энергию $T\,\!$

T={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!.

Скорость является производной положения $r\,\!$ относительно времени $t\,\!$ . Используйте правило цепочки для нескольких переменных :

\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\,\!.

где $q_{i}\,\!$ являются обобщенными координатами .

Поэтому,

T={\frac {1}{2}}m\left(\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}\,\!.

Тщательно переставляя термины, ^[1]

T=T_{0}+T_{1}+T_{2}\,\!:

T_{0}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}\,\!,

T_{1}=\sum _{i}\ m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\,\!,

T_{2}=\sum _{i,j}\ {\frac {1}{2}}m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\,\!,

где $T_{0}\,\!$ , $T_{1}\,\!$ , $T_{2}\,\!$ являются соответственно однородными функциями степени 0, 1 и 2 по обобщенным скоростям. Если эта система склерономна, то положение не зависит явно от времени:

{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=0\,\!.

Поэтому только срок $T_{2}\,\!$ не исчезает:

T=T_{2}\,\!.

Кинетическая энергия — однородная функция степени 2 по обобщенным скоростям.

Пример: маятник

Как показано справа, простой маятник представляет собой систему, состоящую из гири и нити. Веревка прикреплена верхним концом к стержню, а нижний конец - к грузу. Поскольку строка нерастяжима, ее длина является константой. Следовательно, эта система является склерономной; он подчиняется склерономическому ограничению

{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-L=0\,\!,

где $(x,y)\,\!$ это положение груза и $L\,\!$ длина строки.

Простой маятник с колеблющейся точкой поворота.

Возьмем более сложный пример. Обратитесь к следующему рисунку справа. Предположим, что верхний конец струны прикреплен к точке поворота, совершая простое гармоническое движение.

x_{t}=x_{0}\cos \omega t\,\!,

где $x_{0}\,\!$ амплитуда, $\omega \,\!$ угловая частота, а $t\,\!$ это время.

Хотя верхний конец строки не фиксирован, длина этой нерастяжимой строки по-прежнему остается постоянной. Расстояние между верхним концом и грузом должно оставаться прежним. Следовательно, эта система является реономной, поскольку она подчиняется ограничению, явно зависящему от времени.

{\sqrt {(x-x_{0}\cos \omega t)^{2}+y^{2}}}-L=0\,\!.

См. также

Ссылки

^ Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (3-е изд.). Соединенные Штаты Америки: Эддисон Уэсли. п. 25 . ISBN 0-201-65702-3 .

[Herb1980-1] Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (3-е изд.). Соединенные Штаты Америки: Эддисон Уэсли. п. 25 . ISBN 0-201-65702-3 .

[1]