Гамильтонова оптика

Гамильтонова оптика и лагранжева оптика Это две формулировки геометрической оптики , которые во многом разделяют математический формализм с гамильтоновой механикой и лагранжевой механикой .

Принцип Гамильтона

Основная статья: принцип Гамильтона

В физике принцип Гамильтона гласит, что эволюция системы $\left(q_{1}{\left(\sigma \right)},\dots ,q_{N}{\left(\sigma \right)}\right)$ описано $N$ обобщенные координаты между двумя заданными состояниями при двух заданных параметрах σ _A и σ _B — это стационарная точка (точка, где вариация равна нулю) действия функционала , или

$$\delta S=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}L\left(q_{1},\cdots ,q_{N},{\dot {q}}_{1},\cdots ,{\dot {q}}_{N},\sigma \right)\,d\sigma =0$$

где ${\dot {q}}_{k}=dq_{k}/d\sigma$ и $L$ является лагранжианом . Состояние $\delta S=0$ справедливо тогда и только тогда, когда выполняются уравнения Эйлера-Лагранжа, т. е.

$${\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}-{\frac {d}{d\sigma }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=0$$

с $k=1,\dots ,N$.

Импульс определяется как

$$p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}$$

и тогда уравнения Эйлера–Лагранжа можно переписать в виде

$${\dot {p}}_{k}={\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}$$

где ${\dot {p}}_{k}=dp_{k}/d\sigma$.

проблемы состоит в определении гамильтониана (с помощью преобразования Лежандра лагранжиана Другой подход к решению этой ) как

$$H=\sum _{k}{{\dot {q}}_{k}}p_{k}-L$$

новую систему дифференциальных уравнений, для которого можно вывести посмотрев, как дифференциал лагранжиана полный зависит от параметра σ , позиции $q_{i}$ и их производные ${\dot {q}}_{i}$ относительно σ . Этот вывод такой же, как и в гамильтоновой механике, только время t теперь заменено общим параметром σ . Эти дифференциальные уравнения представляют собой уравнения Гамильтона.

$${\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {q}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial \sigma }}=-{\partial L \over \partial \sigma }\,.$$

с $k=1,\dots ,N$. Уравнения Гамильтона являются дифференциальными уравнениями первого порядка , а уравнения Эйлера-Лагранжа — второго порядка.

Лагранжева оптика

Общие результаты, изложенные выше для принципа Гамильтона, применимы и к оптике. В трехмерном евклидовом пространстве обобщенные координаты теперь являются координатами евклидова пространства .

Принцип Ферма

Основная статья: принцип Ферма

Принцип Ферма гласит, что оптическая длина пути, по которому проходит свет между двумя фиксированными точками A и B , является стационарной точкой. Это может быть максимум, минимум, константа или точка перегиба . В общем, когда свет распространяется, он движется в среде с переменным показателем преломления , которая представляет собой скалярное поле положения в пространстве, то есть $n=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$ в трехмерном евклидовом пространстве . Предполагая теперь, что свет распространяется вдоль оси x ₃ , путь светового луча можно параметризовать как $s=\left(x_{1}\left(x_{3}\right),x_{2}\left(x_{3}\right),x_{3}\right)$ начиная с точки $\mathbf {A} =\left(x_{1}\left(x_{3A}\right),x_{2}\left(x_{3A}\right),x_{3A}\right)$ и заканчивающийся в какой-то момент $\mathbf {B} =\left(x_{1}\left(x_{3B}\right),x_{2}\left(x_{3B}\right),x_{3B}\right)$. В этом случае, по сравнению с приведенным выше принципом Гамильтона , координаты $x_{1}$ и $x_{2}$ взять на себя роль обобщенных координат $q_{k}$ пока $x_{3}$ берет на себя роль параметра $\sigma$, то есть параметр σ = x ₃ и N =2.

В контексте вариационного исчисления это можно записать как

$$\delta S=\delta \int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\delta \int _{x_{3A}}^{x_{3B}}n{\frac {ds}{dx_{3}}}\,dx_{3}=\delta \int _{x_{3A}}^{x_{3B}}L\left(x_{1},x_{2},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},x_{3}\right)\,dx_{3}=0$$

где ds — бесконечно малое смещение вдоль луча, определяемое формулой ${\textstyle ds={\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}$ и

$$L=n{\frac {ds}{dx_{3}}}=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right){\sqrt {1+{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}}}$$

является оптическим лагранжианом и ${\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}$.

Длина оптического пути (OPL) определяется как

$$S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }L\,dx_{3}$$

где n локальный показатель преломления как функция положения на пути между точками A и B. —

Уравнения Эйлера-Лагранжа

Общие результаты, представленные выше для принципа Гамильтона, могут быть применены к оптике с использованием лагранжиана, определенного в принципе Ферма . Уравнения Эйлера-Лагранжа с параметром σ = x ₃ и N = 2, примененные к принципу Ферма, приводят к

$${\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}-{\frac {d}{dx_{3}}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}=0$$

с k = 1, 2 и где L — оптический лагранжиан, а ${\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}$.

Оптический импульс

Оптический импульс определяется как

$$p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}$$

и из определения оптического лагранжиана ${\textstyle L=n{\sqrt {1+{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}}}}$ это выражение можно переписать как

$$p_{k}=n{\frac {{\dot {x}}_{k}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{ds}}$$

Оптический импульс

или в векторной форме

$$\mathbf {p} =n{\frac {\mathbf {ds} }{ds}}=\left(p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\left(n\cos \alpha _{1},n\cos \alpha _{2},n\cos \alpha _{3}\right)=n\mathbf {\hat {e}}$$

где $\mathbf {\hat {e}}$ представляет собой единичный вектор , а углы α ₁ , α ₂ и α ₃ представляют собой углы, образуемые p с осями x ₁ , x ₂ и x ₃ соответственно, как показано на рисунке «оптический момент». Следовательно, оптический импульс является вектором нормы

$$\|\mathbf {p} \|={\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}}=n$$

где n — показатель преломления, при котором p рассчитывается . Вектор p указывает направление распространения света. Если свет распространяется в градиентной оптике, путь луча света искривлен, и вектор p касается светового луча.

Выражение для длины оптического пути также можно записать как функцию оптического момента. Учитывая, что ${\dot {x}}_{3}=dx_{3}/dx_{3}=1$ выражение для оптического лагранжиана можно переписать как

$${\begin{aligned}L&=n{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}={\dot {x}}_{1}{\frac {n{\dot {x}}_{1}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{2}{\frac {n{\dot {x}}_{2}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\frac {n{\dot {x}}_{3}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}\\[1ex]&={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+p_{3}\end{aligned}}$$

а выражение для длины оптического пути имеет вид

$$S=\int L\,dx_{3}=\int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s}$$

Уравнения Гамильтона

Подобно тому, что происходит в гамильтоновой механике выражением , также и в оптике гамильтониан определяется приведенным выше для N = 2 , соответствующим функциям $x_{1}{\left(x_{3}\right)}$ и $x_{2}{\left(x_{3}\right)}$ быть определен

$$H={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}-L$$

Сравнивая это выражение с $L={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+p_{3}$ для результатов Лагранжа в

$$H=-p_{3}=-{\sqrt {n^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}}$$

А соответствующие уравнения Гамильтона с параметром σ = x ₃ и k =1,2, примененные к оптике, имеют вид

$${\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {x}}_{k}$$

с ${\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}$ и ${\dot {p}}_{k}=dp_{k}/dx_{3}$.

Приложения

Предполагается, что свет распространяется вдоль оси x ₃ , в приведенном выше принципе Гамильтона координаты $x_{1}$ и $x_{2}$ взять на себя роль обобщенных координат $q_{k}$ пока $x_{3}$ берет на себя роль параметра $\sigma$, то есть параметр σ = x ₃ и N =2.

Преломление и отражение

Основные статьи: закон Снелла и зеркальное отражение

Если плоскость x ₁ x ₂ разделяет две среды с показателем преломления n _A внизу и n _B над ней, показатель преломления задается ступенчатой ​​функцией.

$$n(x_{3})={\begin{cases}n_{A}&{\text{if }}x_{3}<0\\n_{B}&{\text{if }}x_{3}>0\\\end{cases}}$$

и из уравнений Гамильтона

$${\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\sqrt {n(x_{3})^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}}=0$$

и поэтому ${\dot {p}}_{k}=0$ или $p_{k}={\text{Constant}}$ для к = 1, 2 .

Входящий луч света имеет импульс p _A до преломления (ниже плоскости x ₁ x ₂ ) и импульс p _B после преломления (выше плоскости x ₁ x ₂ ). Луч света образует угол θ _A с осью x ₃ (нормаль к преломляющей поверхности) до преломления и угол θ _B с осью x ₃ после преломления. Поскольку p ₁ и p ₂ компоненты импульса постоянны, только p ₃ изменяется от p _{3 A} до p _{3 B} .

Преломление

На рисунке «преломление» показана геометрия этого преломления, из которой $d=\|\mathbf {p} _{A}\|\sin \theta _{A}=\|\mathbf {p} _{B}\|\sin \theta _{B}$. С $\|\mathbf {p} _{A}\|=n_{A}$ и $\|\mathbf {p} _{B}\|=n_{B}$, это последнее выражение можно записать как

$$n_{A}\sin \theta _{A}=n_{B}\sin \theta _{B}$$

что является Снеллиуса преломления законом .

На рисунке «преломление» нормаль к преломляющей поверхности указывает в направлении оси x ₃ , а также вектора $\mathbf {v} =\mathbf {p} _{A}-\mathbf {p} _{B}$. Единица нормальная $\mathbf {n} =\mathbf {v} /\|\mathbf {v} \|$ к преломляющей поверхности можно затем получить из импульсов входящих и выходящих лучей по формуле

$$\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {p} _{A}-\mathbf {p} _{B}}{\|\mathbf {p} _{A}-\mathbf {p} _{B}\|}}={\frac {n_{A}\mathbf {i} -n_{B}\mathbf {r} }{\|n_{A}\mathbf {i} -n_{B}\mathbf {r} \|}}$$

где i и r — единичные векторы направлений падающих и преломленных лучей. Также исходящий луч (в направлении $\mathbf {p} _{B}$) содержится в плоскости, определяемой входящим лучом (в направлении $\mathbf {p} _{A}$) и нормальный $\mathbf {n}$ на поверхность.

Аналогичный аргумент можно использовать для отражения при выводе закона зеркального отражения , только теперь с n _A = n _B , что приводит θ _A = θ _B. к Кроме того, если i и r — единичные векторы в направлениях падающего и преломленного луча соответственно, соответствующая нормаль к поверхности задается тем же выражением, что и для преломления, только при n _A = n _B

$$\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {i} -\mathbf {r} }{\|\mathbf {i} -\mathbf {r} \|}}$$

В векторной форме, если i — единичный вектор, указывающий в направлении падающего луча, а n — единица нормали к поверхности, направление r преломленного луча определяется выражением:

$$\mathbf {r} ={\frac {n_{A}}{n_{B}}}\mathbf {i} +\left(-\left(\mathbf {i} \cdot \mathbf {n} \right){\frac {n_{A}}{n_{B}}}+{\sqrt {\Delta }}\right)\mathbf {n}$$

с

$$\Delta =1-\left({\frac {n_{A}}{n_{B}}}\right)^{2}\left(1-\left(\mathbf {i} \cdot \mathbf {n} \right)^{2}\right)$$

Если i ⋅ n <0, то − n в расчетах следует использовать . Когда $\Delta <0$, свет испытывает полное внутреннее отражение , и отраженный луч имеет выражение отражения:

$$\mathbf {r} =\mathbf {i} -2\left(\mathbf {i} \cdot \mathbf {n} \right)\mathbf {n}$$

Лучи и волновые фронты

Из определения длины оптического пути ${\textstyle S=\int L\,dx_{3}}$

$${\frac {\partial S}{\partial x_{k}}}=\int {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}\,dx_{3}=\int {\frac {dp_{k}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{k}$$

Лучи и волновые фронты

при k =1,2, где уравнения Эйлера-Лагранжа $\partial L/\partial x_{k}=dp_{k}/dx_{3}$ с k =1,2. Кроме того, из последнего уравнения Гамильтона $\partial H/\partial x_{3}=-\partial L/\partial x_{3}$ и из $H=-p_{3}$ выше

$${\frac {\partial S}{\partial x_{3}}}=\int {\frac {\partial L}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}=\int {\frac {dp_{3}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{3}$$

объединение уравнений для компонент импульса p приводит к

$$\mathbf {p} =\nabla S$$

Поскольку p — вектор, касательный к световым лучам, поверхности S =Constant должны быть перпендикулярны этим световым лучам. Эти поверхности называются волновыми фронтами . Рисунок «Лучи и волновые фронты» иллюстрирует эту взаимосвязь. Также показан оптический импульс p , касательный к световому лучу и перпендикулярный волновому фронту.

Векторное поле $\mathbf {p} =\nabla S$ консервативное векторное поле . Затем градиентную теорему можно применить к длине оптического пути (как указано выше ), что приведет к

$$S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\nabla S\cdot d\mathbf {s} =S(\mathbf {B} )-S(\mathbf {A} )$$

а длина оптического пути S, рассчитанная вдоль кривой C между точками A и B, является функцией только ее конечных точек A и B , а не формы кривой между ними. В частности, если кривая замкнута, она начинается и заканчивается в одной и той же точке, или A = B, так что

$$S=\oint \nabla S\cdot d\mathbf {s} =0$$

Этот результат можно применить к замкнутому пути ABCDA , как показано на рисунке «Длина оптического пути».

$$S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} +\int _{\mathbf {B} }^{\mathbf {C} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} +\int _{\mathbf {C} }^{\mathbf {D} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} +\int _{\mathbf {D} }^{\mathbf {A} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =0$$

Длина оптического пути

для сегмента кривой AB оптический момент p перпендикулярен смещению d s вдоль кривой AB , или $\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =0$. То же самое справедливо и для сегмента CD . На отрезке BC оптический момент p имеет то же направление, что и смещение d s, и $\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =nds$. На участке DA оптический момент p имеет противоположное направление смещению d s и $\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =-n\,ds$. Однако, инвертируя направление интегрирования так, что интеграл берется от A до D , d s инвертирует направление и $\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =n\,ds$. Из этих соображений

$$\int _{\mathbf {B} }^{\mathbf {C} }n\,ds=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {D} }n\,ds$$

или

$$S_{\mathbf {BC} }=S_{\mathbf {AD} }$$

а длина оптического пути S _BC между точками B и C вдоль соединяющего их луча такая же, как длина оптического пути S _AD между точками A и D вдоль соединяющего их луча. Длина оптического пути постоянна между волновыми фронтами.

Фазовое пространство

Основная статья: Фазовое пространство

На рисунке «2D-фазовое пространство» вверху показаны световые лучи в двумерном пространстве. Здесь x ₂ =0 и p ₂ =0, поэтому свет распространяется по плоскости x ₁ x ₃ в направлениях возрастания значения x ₃ . В этом случае $p_{1}^{2}+p_{3}^{2}=n^{2}$ а направление светового луча полностью определяется компонентой p ₁ импульса $\mathbf {p} =(p_{1},p_{3})$ поскольку р ₂ =0. Если p ₁ задан , можно вычислить p ₃ (с учетом значения показателя преломления n ), и, следовательно, p ₁ достаточно для определения направления светового луча. Показатель преломления среды, в которой распространяется луч, определяется выражением $\|\mathbf {p} \|=n$.

2D фазовое пространство

Например, луч r _C пересекает ось x ₁ в координате x _B с оптическим моментом p _C , кончик которого находится на окружности радиуса n с центром в положении x _B . Координата x _B и горизонтальная координата p _{1 C} импульса p _C полностью определяют луч r _C, когда он пересекает ось x ₁ . Затем этот луч можно определить точкой r _C =( x _B , p _{1 C} ) в пространстве x ₁ p _1, как показано внизу рисунка. Пространство x ₁ p ₁ называется фазовым пространством , и разные световые лучи могут быть представлены разными точками в этом пространстве.

Таким образом, луч r _D, показанный вверху, представлен точкой r _D в фазовом пространстве внизу. Все лучи, пересекающие ось x ₁ в координате x _B, содержащуюся между лучами r _C и r _D, представлены вертикальной линией, соединяющей точки r _C и r _D в фазовом пространстве. Соответственно, все лучи, пересекающие ось x ₁ в координате x _A, содержащуюся между лучами r _A и r _B, представлены вертикальной линией, соединяющей точки r _A и r _B в фазовом пространстве. В общем, все лучи, пересекающие ось x ₁ между x _L и x _R, представлены объемом R в фазовом пространстве. Лучи на границе ∂ R объема R называются реберными лучами. Например, в позиции x _A оси x ₁ лучи r _A и r _B являются краевыми лучами, поскольку все остальные лучи находятся между этими двумя. (Луч, параллельный x1, не будет находиться между двумя лучами, поскольку импульс не находится между двумя лучами)

В трехмерной геометрии оптический момент определяется выражением $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3})$ с $p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}=n^{2}$. Если p ₁ и p ₂ заданы , можно вычислить p ₃ (с учетом значения показателя преломления n ), и, следовательно, p ₁ и p ₂ достаточно для определения направления светового луча. Луч, проходящий вдоль оси x ₃ , тогда определяется точкой ( x ₁ , x ₂ ) в плоскости x ₁ x ₂ и направлением ( p ₁ , p ₂ ). Затем его можно определить точкой в ​​четырехмерном фазовом пространстве x ₁ x ₂ p ₁ p ₂ .

Сохранение протяженности

Основная статья: Область применения

На рисунке «изменение объема» показан объем V, областью A. ограниченный Со временем, если граница А сдвинется, объем V может измениться. В частности, бесконечно малая область dA с направленной наружу единичной нормалью n движется со скоростью v .

Изменение объема

Это приводит к изменению объема $dV=dA(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )dt$. Используя теорему Гаусса , изменение во времени общего объема V , движущегося в пространстве, равно

$${\frac {dV}{dt}}=\int _{A}\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \,dA=\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {v} \,dV$$

Самый правый член — это интеграл по объему V , а средний член — это поверхностный интеграл по границе A объема V. объемный Кроме того, v точки в V. — это скорость, с которой движутся

В координате оптики $x_{3}$ играет роль времени. В фазовом пространстве луч света идентифицируется точкой $(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})$ который движется со « скоростью » $\mathbf {v} =({\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {p}}_{1},{\dot {p}}_{2})$ где точка представляет собой производную относительно $x_{3}$. Набор световых лучей, распространяющихся по $dx_{1}$ в координатах $x_{1}$, $dx_{2}$ в координатах $x_{2}$, $dp_{1}$ в координатах $p_{1}$ и $dp_{2}$ в координатах $p_{2}$ занимает объем $dV=dx_{1}dx_{2}dp_{1}dp_{2}$ в фазовом пространстве. В общем, большой набор лучей занимает большой объём. $V$ в фазовом пространстве, к которому теорему Гаусса можно применить

$${\frac {dV}{dx_{3}}}=\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {v} \,dV$$

и используя уравнения Гамильтона

$$\nabla \cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial {\dot {x}}_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial {\dot {x}}_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{1}}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{2}}{\partial p_{2}}}={\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{2}}}-{\frac {\partial }{\partial p_{1}}}{\frac {\partial H}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial }{\partial p_{2}}}{\frac {\partial H}{\partial x_{2}}}=0$$

или $dV/dx_{3}=0$ и $dV=dx_{1}dx_{2}dp_{1}dp_{2}={\text{Constant}}$ это означает, что объем фазового пространства сохраняется при распространении света по оптической системе.

Объем, занимаемый набором лучей в фазовом пространстве, называется , который сохраняется по мере продвижения световых лучей в оптической системе вдоль направления x3 _. этендю Это соответствует теореме Лиувилля , которая применима и к гамильтоновой механике .

Однако смысл теоремы Лиувилля в механике существенно отличается от теоремы сохранения étendue. Теорема Лиувилля по существу носит статистический характер и относится к эволюции во времени ансамбля механических систем с одинаковыми свойствами, но с разными начальными условиями. Каждая система представлена ​​одной точкой в ​​фазовом пространстве, и теорема утверждает, что средняя плотность точек в фазовом пространстве постоянна во времени. Примером могут служить молекулы идеального классического газа, находящиеся в равновесии в контейнере. Каждая точка фазового пространства, которое в этом примере имеет 2N измерений, где N — количество молекул, представляет собой одну из ансамбля идентичных контейнеров, ансамбля, достаточно большого, чтобы можно было получить среднее статистическое значение плотности репрезентативных точек. Теорема Лиувилля утверждает, что если все контейнеры остаются в равновесии, средняя плотность точек остается постоянной.

Отображающая и неотображающая оптика

Основная статья: Неотображающая оптика

На рисунке «сохранение etendue» слева показана схематическая двумерная оптическая система, в которой x ₂ =0 и p ₂ =0, поэтому свет распространяется по плоскости x ₁ x ₃ в направлениях возрастания значения x ₃ .

Сохранение протяженности

Лучи света, пересекающие входную апертуру оптики в точке x ₁ = x _I, содержатся между краевыми лучами r _A и r _B, представленными вертикальной линией между точками r _A и r _B в фазовом пространстве входной апертуры (справа, внизу) угол рисунка). Все лучи, пересекающие входную апертуру, представлены в фазовом пространстве областью R _I .

Кроме того, лучи света, пересекающие выходную апертуру оптики в точке x ₁ = x _O , содержатся между краевыми лучами r _A и r _B, представленными вертикальной линией между точками r _A и r _B в фазовом пространстве выходной апертуры (справа , верхний угол рисунка). Все лучи, пересекающие выходную апертуру, представлены в фазовом пространстве областью R _O .

Сохранение этендю в оптической системе означает, что объем (или площадь в данном двумерном случае) в фазовом пространстве, занимаемая R _I на входной апертуре, должен быть таким же, как объем в фазовом пространстве, занимаемый на _RO выходной апертуре. .

В изображающей оптике все световые лучи, пересекающие входную апертуру в точке x ₁ = x _I, перенаправляются ею к выходной апертуре в точке x ₁ = x _O , где x _I = mx _O . Это обеспечивает формирование изображения входа на выходе с увеличением m . В фазовом пространстве это означает, что вертикальные линии в фазовом пространстве на входе преобразуются в вертикальные линии на выходе. Это будет случай, когда вертикальная линия r _A r _B в R _I преобразуется в вертикальную линию r _A r _B в R _O .

В невизуальной оптике целью является не формирование изображения, а просто передача всего света от входной апертуры к выходной. достигается путем преобразования краевых ∂RI _RI из . _лучи в ∂RO _RO из Это _лучей краевые Это известно как принцип краевых лучей .

Обобщения

Выше предполагалось, что свет распространяется вдоль оси x ₃ , в приведенном выше принципе Гамильтона координаты $x_{1}$ и $x_{2}$ взять на себя роль обобщенных координат $q_{k}$ пока $x_{3}$ берет на себя роль параметра $\sigma$, то есть параметр σ = x ₃ и N =2. Однако возможны различные параметризации световых лучей, а также использование обобщенных координат .

Общая параметризация лучей

Можно рассмотреть более общую ситуацию, в которой путь светового луча параметризуется как $s=\left(x_{1}{\left(\sigma \right)},x_{2}{\left(\sigma \right)},x_{3}{\left(\sigma \right)}\right)$ в котором σ — общий параметр. В этом случае, по сравнению с приведенным выше принципом Гамильтона , координаты $x_{1}$, $x_{2}$ и $x_{3}$ взять на себя роль обобщенных координат $q_{k}$ с N =3. Применение принципа Гамильтона к оптике в этом случае приводит к

$${\begin{aligned}\delta S&=\delta \int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}n{\frac {ds}{d\sigma }}\,d\sigma \\&=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}L\left(x_{1},x_{2},x_{3},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {x}}_{3},\sigma \right)\,d\sigma =0\end{aligned}}$$

где сейчас $L=nds/d\sigma$ и ${\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma$ и для которых уравнения Эйлера-Лагранжа, примененные к этой форме принципа Ферма, приводят к

$${\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}-{\frac {d}{d\sigma }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}=0$$

с k =1,2,3 и где L — оптический лагранжиан. Также в этом случае оптический импульс определяется как

$$p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}$$

а гамильтониан P определяется выражением, приведенным выше для N =3, соответствующим функциям $x_{1}{\left(\sigma \right)}$, $x_{2}{\left(\sigma \right)}$ и $x_{3}{\left(\sigma \right)}$ быть определен

$$P={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}-L$$

И соответствующие уравнения Гамильтона с k =1,2,3 прикладной оптики имеют вид

$${\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {x}}_{k}$$

с ${\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma$ и ${\dot {p}}_{k}=dp_{k}/d\sigma$.

Оптический лагранжиан имеет вид

$$L=n{\frac {ds}{d\sigma }}=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right){\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}=L\left(x_{1},x_{2},x_{3},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {x}}_{3}\right)$$

и не зависит явно от параметра σ . По этой причине не все решения уравнений Эйлера-Лагранжа будут возможными световыми лучами, поскольку их вывод предполагал явную зависимость L от σ , чего не бывает в оптике.

Компоненты оптического импульса можно получить из

$$p_{k}=n{\frac {{\dot {x}}_{k}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{ds}}$$

где ${\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma$. Выражение для лагранжиана можно переписать как

$${\begin{aligned}L&=n{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}={\dot {x}}_{1}{\frac {n{\dot {x}}_{1}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{2}{\frac {n{\dot {x}}_{2}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{3}{\frac {n{\dot {x}}_{3}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}\\&={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}\end{aligned}}$$

Сравнивая это выражение для L с выражением для гамильтониана P, можно заключить, что

$$P=0$$

Из выражений для компонентов $p_{k}$ результатов оптического импульса

$$p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}-n^{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=0$$

Оптический гамильтониан выбирается как

$$P=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}-n^{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=0$$

хотя можно было бы сделать и другой выбор. Уравнения Гамильтона с k = 1, 2, 3, определенные выше вместе с $P=0$ определить возможные световые лучи.

Обобщенные координаты

Как и в гамильтоновой механике , уравнения гамильтоновой оптики также можно записать в терминах обобщенных координат. $\left(q_{1}\left(\sigma \right),q_{2}\left(\sigma \right),q_{3}\left(\sigma \right)\right)$, обобщенный импульс $\left(u_{1}\left(\sigma \right),u_{2}\left(\sigma \right),u_{3}\left(\sigma \right)\right)$ и гамильтониан P как

$${\begin{aligned}{\frac {dq_{1}}{d\sigma }}&={\frac {\partial P}{\partial u_{1}}}\quad \quad {\frac {du_{1}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{1}}}\\{\frac {dq_{2}}{d\sigma }}&={\frac {\partial P}{\partial u_{2}}}\quad \quad {\frac {du_{2}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{2}}}\\{\frac {dq_{3}}{d\sigma }}&={\frac {\partial P}{\partial u_{3}}}\quad \quad {\frac {du_{3}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{3}}}\\P&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} -n^{2}=0\end{aligned}}$$

где оптический импульс определяется выражением

$${\begin{aligned}\mathbf {p} &=u_{1}\nabla q_{1}+u_{2}\nabla q_{2}+u_{3}\nabla q_{3}\\&=u_{1}\|\nabla q_{1}\|{\frac {\nabla q_{1}}{\|\nabla q_{1}\|}}+u_{2}\|\nabla q_{2}\|{\frac {\nabla q_{2}}{\|\nabla q_{2}\|}}+u_{3}\|\nabla q_{3}\|{\frac {\nabla q_{3}}{\|\nabla q_{3}\|}}\\&=u_{1}a_{1}\mathbf {\hat {e}} _{1}+u_{2}a_{2}\mathbf {\hat {e}} _{2}+u_{3}a_{3}\mathbf {\hat {e}} _{3}\end{aligned}}$$

и $\mathbf {\hat {e}} _{1}$, $\mathbf {\hat {e}} _{2}$ и $\mathbf {\hat {e}} _{3}$ являются единичными векторами . Частный случай получается, когда эти векторы образуют ортонормированный базис , то есть все они перпендикулярны друг другу. В этом случае $u_{k}a_{k}/n$ косинус угла оптический момент $\mathbf {p}$ превращает в единичный вектор $\mathbf {\hat {e}} _{k}$.

См. также

• Учебные материалы, связанные с простым одномерным выводом гамильтоновой оптики, в Викиверситете.
• гамильтонова механика
• Вариационное исчисление