Степень

Расширенный или расширенный ( / ˌ eɪ t ɒ n ˈ d uː / ; Французское произношение: [etɑ̃dy] ) — свойство света в оптической системе , которое характеризует, насколько «распространён» свет по площади и углам. Это соответствует произведению параметров пучка (BPP) в оптике гауссовского пучка . Другие названия etendue включают приемку , пропускную способность , захват света , светосилу , оптическую протяженность , ^[1] и произведение АОм . Пропускная способность и произведение Ом особенно используются в радиометрии и радиационной передаче, где они связаны с коэффициентом обзора (или коэффициентом формы). Это центральная концепция неотображающей оптики . ^[2]^{[ нужна страница ]}^[3]^{[ нужна страница ]}^[4]^{[ нужна страница ]}

С точки зрения источника, etendue — это произведение площади источника и телесного угла системы, входной зрачок , который образует если смотреть со стороны источника. Аналогичным образом, с точки зрения системы, вытянутая часть равна площади входного зрачка, умноженной на телесный угол, который образует источник, если смотреть со стороны зрачка. Эти определения должны применяться к бесконечно малым «элементам» площади и телесного угла, которые затем необходимо суммировать как по источнику, так и по диафрагме, как показано ниже. Etendue можно рассматривать как объем в фазовом пространстве .

Etendue никогда не уменьшается ни в одной оптической системе, где сохраняется оптическая мощность. ^[5] Совершенная оптическая система создает изображение с таким же удлинением, как и у источника. Этенду связано с инвариантом Лагранжа и оптическим инвариантом , которые имеют свойство быть постоянными в идеальной оптической системе. Яркость . оптической системы равна производной лучистого потока по этендю

Определение

Бесконечно малый элемент поверхности $d S$ с нормалью $n S$ погружен в среду с показателем преломления $n$ . Поверхность пересекает (или излучает) свет, ограниченный телесным углом $d Ω$ под углом $θ$ с нормалью $n S$ . Площадь $d S,$ проецируемая в направлении распространения света, равна $d S cos θ$ . Этенду бесконечно малого пучка света, пересекающего $d S,$ определяется как

$\mathrm {d} G=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega \,.$

Etendue — это произведение геометрической протяженности и квадрата показателя преломления среды, через которую распространяется луч. ^[1] Поскольку углы, телесные углы и показатели преломления являются безразмерными величинами , этендю часто выражается в единицах площади (задаваемых $d S$ ). Однако альтернативно его можно выразить в единицах площади (квадратных метрах), умноженных на телесный угол (стерадиан). ^[1]^[6]

В свободном пространстве

Рассмотрим источник света $Σ$ и светоприемник $S$ , оба из которых представляют собой протяженные поверхности (а не дифференциальные элементы) и разделены средой с показателем преломления $n$ идеально прозрачной (показано). Чтобы вычислить длинну системы, необходимо учитывать вклад каждой точки на поверхности источника света, когда они направляют лучи в каждую точку приемника. ^[7]^{[ нужен лучший источник ]}

Согласно приведенному выше определению, удлинение света, пересекающего $dΣ$ в направлении $dS,$ определяется выражением:

$\mathrm {d} G_{\Sigma }=n^{2}\,\mathrm {d} \Sigma \cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \Omega _{\Sigma }=n^{2}\,\mathrm {d} \Sigma \cos \theta _{\Sigma }{\frac {\mathrm {d} S\cos \theta _{S}}{d^{2}}}\,,$

где $d Σ —$ — телесный угол, определяемый площадью $d S$ в области $dΣ$ , а $d$ расстояние между двумя областями. Аналогичным образом, протяженность света, пересекающего $d S,$ исходящего от $dΣ,$ определяется выражением:

$\mathrm {d} G_{S}=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{S}\,\mathrm {d} \Omega _{S}=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{S}{\frac {\mathrm {d} \Sigma \cos \theta _{\Sigma }}{d^{2}}}\,,$

где $d Ω S$ — телесный угол, определяемый площадью $dΣ$ . Эти выражения приводят к

$\mathrm {d} G_{\Sigma }=\mathrm {d} G_{S}\,,$

показывая, что etendue сохраняется при распространении света в свободном пространстве.

Тогда Etendu всей системы будет:

$G=\int _{\Sigma }\!\int _{S}\mathrm {d} G\,.$

Если обе поверхности $dΣ$ и $dS, и$ погружены в воздух (или в вакуум), $n = 1$ приведенное выше выражение для этендю можно записать как

$\mathrm {d} G=\mathrm {d} \Sigma \,\cos \theta _{\Sigma }\,{\frac {\mathrm {d} S\,\cos \theta _{S}}{d^{2}}}=\pi \,\mathrm {d} \Sigma \,\left({\frac {\cos \theta _{\Sigma }\cos \theta _{S}}{\pi d^{2}}}\,\mathrm {d} S\right)=\pi \,\mathrm {d} \Sigma \,F_{\mathrm {d} \Sigma \rightarrow \mathrm {d} S}\,,$

где $F dΣ\tod S$ — коэффициент обзора между дифференциальными поверхностями $dΣ$ и $d S$ . Интегрирование по $dΣ$ и $dS S$ приводит к $G = π Σ F Σ\to,$ что позволяет получить тягу между двумя поверхностями на основе коэффициентов обзора между этими поверхностями, как указано в списке коэффициентов обзора для конкретных случаев геометрии или в нескольких плавках. перенос учебников.

Сохранение

Этендю данного пучка света сохраняется: этендю можно увеличить, но не уменьшить ни в одной оптической системе. Это означает, что любая система, которая концентрирует свет от какого-либо источника на меньшей площади, всегда должна увеличивать телесный угол падения (то есть область неба, которую охватывает источник). Например, увеличительное стекло может увеличить интенсивность солнечного света на небольшом пятне, но делает это потому, что, если смотреть с места, на котором сконцентрирован свет, видимый размер солнца увеличивается пропорционально концентрации.

Как показано ниже, etendue сохраняется при прохождении света через свободное пространство, а также при преломлении или отражении. Затем он также сохраняется, когда свет проходит через оптические системы, где он претерпевает идеальные отражения или преломления. Однако, если бы свет попадал, скажем, на рассеиватель , его телесный угол увеличился бы, увеличивая вытянутость. Тогда Etendue может оставаться постоянным или увеличиваться по мере распространения света через оптику, но не может уменьшаться. Это прямой результат того факта, что энтропия должна быть постоянной или возрастающей.

Сохранение etendue может быть получено в различных контекстах, например, из основных оптических принципов, из гамильтоновой оптики или из второго закона термодинамики . ^[2]^{[ нужна страница ]}

С точки зрения термодинамики, etendue — это форма энтропии. В частности, удлинение пучка света увеличивает его энтропию за счет $S_{etendue}=k_{B}\ln \Omega$ . Etendue может экспоненциально уменьшаться за счет увеличения энтропии в другом месте. Например, материал может поглощать фотоны и излучать фотоны более низкой частоты, а разницу энергии выделять в виде тепла. Это увеличивает энтропию из-за тепла, что приводит к соответствующему уменьшению etendue. ^[8]^[9]

Сохранение etendue в свободном пространстве связано с теоремой взаимности для факторов представления .

В преломлениях и отражениях

Обсуждаемое выше сохранение etendue применимо к случаю распространения света в свободном пространстве или, в более общем плане, в среде с любым показателем преломления . В частности, этендю сохраняется при преломлениях и отражениях. ^[2]^{[ нужна страница ]} На рисунке «этендю в преломлении» показана бесконечно малая поверхность $d S$ на $плоскости xy$ , разделяющая две среды с показателями преломления $n Σ$ и $n S$ .

Нормаль к $d S$ указывает в направлении $оси z$ . Падающий свет ограничен телесным углом $d Ω Σ$ и достигает $d S$ под углом $θ Σ$ к его нормали. Преломленный свет ограничивается телесным углом $d Ω S$ и оставляет $d S$ под углом $θ S$ к его нормали. Направления падающего и преломленного света содержатся в плоскости, составляющей угол $φ$ к $оси x$ , определяющей эти направления в сферической системе координат . С помощью этих определений закон преломления Снелла можно записать как

$n_{\Sigma }\sin \theta _{\Sigma }=n_{S}\sin \theta _{S}\,,$

и его производная относительно $θ$

$n_{\Sigma }\cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \theta _{\Sigma }=n_{S}\cos \theta _{S}\mathrm {d} \theta _{S}\,,$

умноженные друг на друга, получим

$n_{\Sigma }^{2}\cos \theta _{\Sigma }\!\left(\sin \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \varphi \right)=n_{S}^{2}\cos \theta _{S}\!\left(\sin \theta _{S}\,\mathrm {d} \theta _{S}\,\mathrm {d} \varphi \right)\,,$

где обе части уравнения также были умножены на $d φ,$ которое не меняется при преломлении. Теперь это выражение можно записать как

$n_{\Sigma }^{2}\cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \Omega _{\Sigma }=n_{S}^{2}\cos \theta _{S}\,\mathrm {d} \Omega _{S}\,.$

Умножив обе части на $d S,$ получим

$n_{\Sigma }^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \Omega _{\Sigma }=n_{S}^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{S}\,\mathrm {d} \Omega _{S}\,;$

то есть

$\mathrm {d} G_{\Sigma }=\mathrm {d} G_{S}\,,$

показывая, что длинна света, преломленного в точке $dS,$ сохраняется. Тот же результат справедлив и для случая отражения от поверхности $d S$ , когда $n Σ = n S$ и $θ Σ = θ S$ .

Теорема о яркости

Следствием сохранения etendue является теорема яркости , которая утверждает, что ни одна линейная оптическая система не может увеличить яркость света, излучаемого источником, до более высокого значения, чем яркость поверхности этого источника (где «яркость» определяется как оптическая мощность, излучаемая на единицу телесного угла на единицу излучающей или приемной площади). ^[10]

Сохранение основного сияния

Сияние поверхности связано с тендуем следующим образом:

$L_{\mathrm {e} ,\Omega }=n^{2}{\frac {\partial \Phi _{\mathrm {e} }}{\partial G}}\,,$

где

$Φ e$ – поток излучения ; излучаемый, отраженный, передаваемый или принимаемый
$n$ — показатель преломления, в который погружена эта поверхность;
$G$ – удлинение светового луча.

Когда свет проходит через идеальную оптическую систему, как длинна, так и лучистый поток сохраняются. Таким образом, базовое сияние определяется как: ^[11]^{[ нужна страница ]}

$L_{\mathrm {e} ,\Omega }^{*}={\frac {L_{\mathrm {e} ,\Omega }}{n^{2}}}$

также сохраняется. В реальных системах тендуэ может увеличиться (например, из-за рассеяния) или лучистый поток может уменьшиться (например, из-за поглощения) и, следовательно, основная яркость может уменьшиться. Однако etendue не может уменьшаться, а лучистый поток не может увеличиваться и, следовательно, базовая яркость не может увеличиваться.

Как объем в фазовом пространстве

В контексте гамильтоновой оптики в точке пространства луч света может быть полностью определен точкой $r = (x, y, z)$ , единичным евклидовым вектором $v = (cos α X, cos α Y, cos α Z)$ с указанием его направления и показателя преломления $n$ в точке $r$ . Оптический момент луча в этой точке определяется выражением

$\mathbf {p} =n(\cos \alpha _{X},\cos \alpha _{Y},\cos \alpha _{Z})=(p,q,r)\,,$

где $‖ п ‖ знак равно п$ . Геометрия вектора оптического момента изображена на рисунке «Оптический момент».

В сферической системе координат $p$ можно записать как

$\mathbf {p} =n\!\left(\sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta \right)\,,$

откуда

$\mathrm {d} p\,\mathrm {d} q={\frac {\partial (p,q)}{\partial (\theta ,\varphi )}}\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\left({\frac {\partial p}{\partial \theta }}{\frac {\partial q}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial p}{\partial \varphi }}{\frac {\partial q}{\partial \theta }}\right)\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =n^{2}\cos \theta \sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =n^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega \,,$

и, следовательно, для бесконечно малой площади $d S = d x d y$ на $плоскости xy$ , погруженной в среду с показателем преломления $n$ , этендю определяется выражением

$\mathrm {d} G=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega =\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} p\,\mathrm {d} q\,,$

который представляет собой бесконечно малый объем в фазовом пространстве $x, y, p, q$ . Сохранение этендю в фазовом пространстве эквивалентно в оптике теореме Лиувилля в классической механике. ^[2]^{[ нужна страница ]} Etendue как объем в фазовом пространстве обычно используется в оптике, не создающей изображения .

Максимальная концентрация

Рассмотрим бесконечно малую поверхность $d S$ , погруженную в среду с показателем преломления $n,$ пересекаемую (или излучающую) светом внутри конуса с углом $α$ . Этендуэ этого света определяется выражением

$\mathrm {d} G=n^{2}\,\mathrm {d} S\int \cos \theta \,\mathrm {d} \Omega =n^{2}\mathrm {d} S\int _{0}^{2\pi }\!\int _{0}^{\alpha }\cos \theta \sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\pi n^{2}\mathrm {d} S\sin ^{2}\alpha \,.$

Учитывая, что $n sin α$ — это числовая апертура NA луча света, это также можно выразить как

$\mathrm {d} G=\pi \,\mathrm {d} S\,\mathrm {NA} ^{2}\,.$

Обратите внимание, что $dΩ$ выражается в сферической системе координат . Теперь, если большую поверхность $S$ пересекает (или излучает) свет, также ограниченный конусом с углом $α$ , тенду света, пересекающего $S,$ равен

$G=\pi n^{2}\sin ^{2}\alpha \int \mathrm {d} S=\pi n^{2}S\sin ^{2}\alpha =\pi S\,\mathrm {NA} ^{2}\,.$

Предел максимальной концентрации (показан) представляет собой оптику с входной апертурой $S$ , в воздухе ( n _i = 1 ), собирающую свет в пределах телесного угла $2 α$ (его угол приема ) и отправляющую его на приемник меньшей площади $,$ погруженный в воду. в среде с показателем преломления $n$ , точки которой освещены внутри телесного угла $2 β$ . Из приведенного выше выражения можно сделать вывод, что тендуэ падающего света равен

$G_{\mathrm {i} }=\pi S\sin ^{2}\alpha$

а удлинение света, достигающего приемника, равно

$G_{\mathrm {r} }=\pi n^{2}\Sigma \sin ^{2}\beta \,.$

Тогда сохранение $Gi etendue = G r$ дает

$C={\frac {S}{\Sigma }}=n^{2}{\frac {\sin ^{2}\beta }{\sin ^{2}\alpha }}\,,$

где $C$ — концентрация оптики. Для данной угловой апертуры $α$ падающего света $эта концентрация будет максимальной при максимальном значении sin β$ , то есть $β = π /2$ . Тогда максимально возможная концентрация равна ^[2]^{[ нужна страница ]}^[3]

$C_{\mathrm {max} }={\frac {n^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}\,.$

В случае, когда индекс инцидента не равен единице, мы имеем

$G_{\mathrm {i} }=\pi n_{\mathrm {i} }S\sin ^{2}\alpha =G_{\mathrm {r} }=\pi n_{\mathrm {r} }\Sigma \sin ^{2}\beta \,,$

и так

$C=\left({\frac {\mathrm {NA} _{\mathrm {r} }}{\mathrm {NA} _{\mathrm {i} }}}\right)^{2}\,,$

и в лучшем случае $β = π /2$ это становится

$C_{\mathrm {max} }={\frac {n_{\mathrm {r} }^{2}}{\mathrm {NA} _{\mathrm {i} }^{2}}}\,.$

Если бы оптика представляла собой коллиматор, а не концентратор, направление света меняется на противоположное, и сохранение этендю дает нам минимальную апертуру $S$ для заданного выходного полного угла $2 α$ .

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с «Оптическая протяженность/Etendue» . CIE e-ILV: Международный словарь освещения (2-е изд.). Международная комиссия по освещению . 17-21-048 . Проверено 19 февраля 2022 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Чавес, Хулио (2015). Введение в неотображающую оптику (2-е изд.). ЦРК Пресс . ISBN 978-1482206739 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Уинстон, Роланд; Минано, Хуан К.; Бенитес, Пабло Г. (2004). Неизображающая оптика . Академическая пресса. ISBN 978-0127597515 .
^ Бреннешольц, Мэтью С.; Ступп, Эдвард Х. (2008). Проекционные дисплеи . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0470518038 .
^ «Базовая оптика: сияние» (PDF) (конспект лекций). Астрономия 525. Колледж Святого Бенедикта и Университет Святого Иоанна.
^ Международное бюро мер и веса (2019). Брошюра по Международной системе единиц (СИ) (9-е изд.). Международное бюро мер и весов . ISBN 978-92-822-2272-0 .
^ «Фотометрия/Понятие геометрической протяженности» . Фотография [ Фотография ] (на французском языке). Викикниги . Проверено 27 января 2009 г.
^ Уинстон, Роланд; Ван, Чуньхуа; Чжан, Вейя (20 августа 2009 г.). Уинстон, Роланд; Гордон, Джеффри М. (ред.). «Победа над оптической теоремой Лиувилля: откуда геометрическая оптика знает второй закон термодинамики?» : 742309. дои : 10.1117/12.836029 . {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )
^ Маркварт, Т. (1 января 2008 г.). «Термодинамика оптического étendue» . Журнал оптики A: Чистая и прикладная оптика . 10 (1): 015008. doi : 10.1088/1464-4258/10/01/015008 . ISSN 1464-4258 .
^ Куимби, RS (17 марта 2006 г.). «Приложение А: Телесный угол и теорема о яркости» . Фотоника и лазеры: Введение . Научная библиотека Уайли. стр. 495–498. дои : 10.1002/0471791598.app1 . ISBN 9780471719748 . Проверено 13 сентября 2022 г.
^ МакКлюни, Уильям Росс (1994). Введение в радиометрию и фотометрию . Бостон: Артех Хаус. ISBN 978-0890066782 .

Дальнейшее чтение

Грейвенкамп, Джон Э. (2004). Полевое руководство по геометрической оптике . Полевые руководства SPIE. Том. ФГ01. ШПИОН. ISBN 0-8194-5294-7 .
Манро, Рэндалл (nd). «Огонь лунного света» . Что, если? . Архивировано из оригинала 6 августа 2023 года . Проверено 28 июля 2020 г. xkcd – автор Рэндалл Манро объясняет, почему невозможно зажечь огонь концентрированным лунным светом, используя аргумент etendue-conservation.
Сунь, Сютао; Чжэн, Чжэнжун; Лю, Сюй; Гу, Пейфу (март 2006 г.). «Анализ Etendue и измерение источника света с помощью эллиптического отражателя». Дисплеи . 27 (2): 56–61.

[e-ILV-etendue-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с «Оптическая протяженность/Etendue» . CIE e-ILV: Международный словарь освещения (2-е изд.). Международная комиссия по освещению . 17-21-048 . Проверено 19 февраля 2022 г.

[IntroNio2e-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Чавес, Хулио (2015). Введение в неотображающую оптику (2-е изд.). ЦРК Пресс . ISBN 978-1482206739 .

[NIO-3] Перейти обратно: ^а ^б Уинстон, Роланд; Минано, Хуан К.; Бенитес, Пабло Г. (2004). Неизображающая оптика . Академическая пресса. ISBN 978-0127597515 .

[Projection_Displays-4] Бреннешольц, Мэтью С.; Ступп, Эдвард Х. (2008). Проекционные дисплеи . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0470518038 .

[5] «Базовая оптика: сияние» (PDF) (конспект лекций). Астрономия 525. Колледж Святого Бенедикта и Университет Святого Иоанна.

[SI_Brochure-6] Международное бюро мер и веса (2019). Брошюра по Международной системе единиц (СИ) (9-е изд.). Международное бюро мер и весов . ISBN 978-92-822-2272-0 .

[Wikilivre-7] «Фотометрия/Понятие геометрической протяженности» . Фотография [ Фотография ] (на французском языке). Викикниги . Проверено 27 января 2009 г.

[8] Уинстон, Роланд; Ван, Чуньхуа; Чжан, Вейя (20 августа 2009 г.). Уинстон, Роланд; Гордон, Джеффри М. (ред.). «Победа над оптической теоремой Лиувилля: откуда геометрическая оптика знает второй закон термодинамики?» : 742309. дои : 10.1117/12.836029 . {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )

[9] Маркварт, Т. (1 января 2008 г.). «Термодинамика оптического étendue» . Журнал оптики A: Чистая и прикладная оптика . 10 (1): 015008. doi : 10.1088/1464-4258/10/01/015008 . ISSN 1464-4258 .

[quimby-10] Куимби, RS (17 марта 2006 г.). «Приложение А: Телесный угол и теорема о яркости» . Фотоника и лазеры: Введение . Научная библиотека Уайли. стр. 495–498. дои : 10.1002/0471791598.app1 . ISBN 9780471719748 . Проверено 13 сентября 2022 г.

[11] МакКлюни, Уильям Росс (1994). Введение в радиометрию и фотометрию . Бостон: Артех Хаус. ISBN 978-0890066782 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]