Инвариантная сигма-алгебра

В математике , особенно в теории вероятностей и эргодической теории , инвариантная сигма-алгебра — это сигма-алгебра, образованная множествами, инвариантными относительно действия группы или динамической системы . Это можно интерпретировать как «безразличие» к динамике.

Инвариантная сигма-алгебра появляется при изучении эргодических систем , а также в теоремах теории вероятностей, таких как теорема де Финетти и закон Хьюитта-Сэвиджа .

Определение

Строго инвариантные множества

Позволять $(X,{\mathcal {F}})$ — измеримое пространство , и пусть $T:(X,{\mathcal {F}})\to (X,{\mathcal {F}})$ быть измеримой функцией . Измеримое подмножество $S\in {\mathcal {F}}$ называется инвариантным тогда и только тогда, когда $T^{-1}(S)=S$. Эквивалентно, если для каждого $x\in X$, у нас это есть $x\in S$ тогда и только тогда, когда $T(x)\in S$.

В более общем смысле, пусть $M$ группа , или моноид пусть $\alpha :M\times X\to X$ — моноидное действие и обозначаем действие $m\in M$ на $X$ к $\alpha _{m}:X\to X$. Подмножество $S\subseteq X$ является $\alpha$-инвариант, если для каждого $m\in M$, $\alpha _{m}^{-1}(S)=S$.

наверняка

Позволять $(X,{\mathcal {F}})$ — измеримое пространство , и пусть $T:(X,{\mathcal {F}})\to (X,{\mathcal {F}})$ быть измеримой функцией . Измеримое подмножество (событие) $S\in {\mathcal {F}}$ называется почти наверное инвариантным тогда и только тогда, когда его индикаторная функция $1_{S}$ равна почти наверняка индикаторной функции $1_{T^{-1}(S)}$.

, сохраняющего меру Аналогично, для марковского ядра $k:(X,{\mathcal {F}},p)\to (X,{\mathcal {F}},p)$, мы вызываем событие $S\in {\mathcal {F}}$ почти наверняка инвариантно тогда и только тогда, когда $k(S\mid x)=1_{S}(x)$ почти для всех $x\in X$.

Что касается случая строго инвариантных множеств, то определение можно распространить на произвольную группу или моноидное действие.

Во многих случаях инвариантные множества почти наверняка отличаются от инвариантных множеств только нулевым множеством (см. ниже).

-

Как строго инвариантные множества, так и почти наверняка инвариантные множества замкнуты относительно счетных объединений и дополнений и, следовательно, образуют сигма-алгебры . Эти сигма-алгебры обычно называют либо инвариантной сигма-алгеброй , либо сигма-алгеброй инвариантных событий , как в строгом случае, так и в почти навернякам случае, в зависимости от автора. Для целей статьи обозначим через ${\mathcal {I}}$ сигма-алгебра строго инвариантных множеств и ${\tilde {\mathcal {I}}}$ сигма-алгебра почти наверняка инвариантных множеств.

Свойства

• Учитывая функцию, сохраняющую меру $T:(X,{\mathcal {A}},p)\to (X,{\mathcal {A}},p)$, набор $A\in {\mathcal {A}}$ почти наверняка инвариантен тогда и только тогда, когда существует строго инвариантное множество $A'\in {\mathcal {I}}$ такой, что $p(A\triangle A')=0$.

• Даны измеримые функции $T:(X,{\mathcal {A}})\to (X,{\mathcal {A}})$ и $f:(X,{\mathcal {A}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$, у нас это есть $f$ является инвариантным , что означает, что $f\circ T=f$, тогда и только тогда, когда это ${\mathcal {I}}$-измеримый. То же самое и с заменой $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$ с любым измеримым пространством , в котором точки разделяет сигма-алгебра .

• Инвариантная мера $p$ является (по определению) эргодичным тогда и только тогда, когда для любого инвариантного подмножества $A\in {\mathcal {I}}$, $p(A)=0$ или $p(A)=1$.

Примеры

сигма

Учитывая измеримое пространство $(X,{\mathcal {A}})$, обозначим $(X^{\mathbb {N} },{\mathcal {A}}^{\otimes \mathbb {N} })$ быть счетной декартовой степенью $X$, оснащенный произведением сигма-алгебры . Мы можем просмотреть $X^{\mathbb {N} }$ как пространство бесконечных последовательностей элементов $X$,

$X^{\mathbb {N} }=\{(x_{0},x_{1},x_{2},\dots ),x_{i}\in X\}.$

Рассмотрим теперь группу $S_{\infty }$ конечных ​ перестановок ​ $\mathbb {N}$, т.е. биекции $\sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ такой, что $\sigma (n)\neq n$ только для конечного числа $n\in \mathbb {N}$.Каждая конечная перестановка $\sigma$ действует измеримо на $X^{\mathbb {N} }$ переставляя компоненты, и таким образом мы имеем действие счетной группы $S_{\infty }$ на $X^{\mathbb {N} }$.

Инвариантное событие для этой сигма-алгебры часто называют обменным событием или симметричным событием , а сигма-алгебру инвариантных событий часто называют сменной сигма-алгеброй . величина Случайная на $X^{\mathbb {N} }$ является заменяемой (т.е. инвариантной к перестановкам) тогда и только тогда, когда она измерима для заменяемой сигма-алгебры.

Заменяемая сигма-алгебра играет роль в законе нуля-единицы Хьюитта-Сэвиджа , который можно эквивалентно сформулировать, сказав, что для каждой вероятностной меры $p$ на $(X,{\mathcal {A}})$, мера продукта $p^{\otimes \mathbb {N} }$ на $X^{\mathbb {N} }$ каждому обменному событию присваивается вероятность нуля или единицы. Эквивалентно, для меры $p^{\otimes \mathbb {N} }$, каждая заменяемая случайная величина на $X^{\mathbb {N} }$ почти наверняка постоянен.

Это также играет роль в теореме де Финетти .

Хвостовая сигма-алгебра

Как и в примере выше, в измеримом пространстве $(X,{\mathcal {A}})$, рассмотрим счетное бесконечное декартово произведение $(X^{\mathbb {N} },{\mathcal {A}}^{\otimes \mathbb {N} })$.Рассмотрим теперь сдвигов карту $T:X^{\mathbb {N} }\to X^{\mathbb {N} }$ заданное путем отображения $(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\in X^{\mathbb {N} }$ к $(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )\in X^{\mathbb {N} }$. Инвариантное событие для этой сигма-алгебры иногда называют хвостовым событием , а результирующую сигма-алгебру иногда называют хвостовой сигма-алгеброй . Его можно явно описать как следующее пересечение:

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }\left(\bigotimes _{m\geq n}{\mathcal {A}}_{m}\right),$

где ${\mathcal {A}}_{m}\subseteq {\mathcal {A}}^{\otimes \mathbb {N} }$ – сигма-алгебра, индуцированная на $X^{\mathbb {N} }$ по проекции на $m$-й компонент $\pi _{m}:(X^{\mathbb {N} },{\mathcal {A}}^{\otimes \mathbb {N} })\to (X,{\mathcal {A}})$.

Хвостовая сигма-алгебра играет роль в законе нуля-единицы Колмогорова , который можно эквивалентно сформулировать, сказав, что для каждой вероятностной меры $p$ на $(X,{\mathcal {A}})$, мера продукта $p^{\otimes \mathbb {N} }$ на $X^{\mathbb {N} }$ присваивает каждому хвостовому событию вероятность нуля или единицы.

См. также

• Инвариантный набор
• Теорема Де Финетти
• Закон нуля-единицы Хьюитта-Сэвиджа
• Закон нуля и единицы Колмогорова
• Сменные случайные величины
• Инвариантная мера
• Эргодическая система

Ссылки

• Виана, Марсело; Оливейра, Крерли (2016). Основы эргодической теории . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-107-12696-1 .

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера . Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-00710-2 .

• Дарретт, Рик (2010). Вероятность: теория и примеры . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-76539-8 .

• Мило, Рэндал; Мулен, Эрик; Приоре, Пьер; Сулье, Филипп (2018). Марковские цепи . Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-97704-1 . ISBN  978-3-319-97703-4 .

• Кленке, Ахим (2020). Теория вероятностей: Комплексный курс . Университеттекст. Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4471-5361-0 . ISBN  978-3-030-56401-8 .

• Хьюитт, Э .; Сэвидж, ЖЖ (1955). «Симметричные меры на декартовых произведениях» . Пер. амер. Математика. Соц . 80 (2): 470–501. дои : 10.1090/s0002-9947-1955-0076206-8 .