Разложение Хопфа

В математике , разложение Хопфа названное в честь Эберхарда Хопфа , дает каноническое разложение пространства с мерой ( X , µ) относительно обратимого несингулярного преобразования T : X → X , т.е. преобразования, которое с обратным к нему измеримо и переносит нулевые множества в нулевые множества. С точностью до нулевых множеств X можно записать как дизъюнктное объединение C ∐ D - инвариантных T где действие T на C консервативно , а действие T на D диссипативно множеств , . Таким образом, если τ — автоморфизм A = L ^∞ ( X ), индуцированный T , существует единственный τ-инвариантный проектор p в A такой, что pA консервативен, а (I – p)A диссипативен.

Определения

• Блуждающие множества и диссипативные действия. Измеримое подмножество W в X называется блуждающим , если его характеристическая функция q = χ _W в A = L ^∞ ( X ) удовлетворяет q τ ^н ( q ) знак равно 0 для всех n ; таким образом, вплоть до нулевых множеств переводит T ^н ( W ) попарно не пересекаются. Действие называется диссипативным, если X = ∐ T ^н ( W ) п.в. для некоторого блуждающего множества W .
• Консервативные действия. Если X не имеет блуждающих подмножеств положительной меры, действие называется консервативным .
• Несжимаемые действия. Действие называется несжимаемым, если всякий раз, когда измеримое подмножество Z удовлетворяет условию T ( Z ) ⊆ Z , то Z \ TZ имеет нулевую меру. Таким образом, если q = χ _Z и τ( q ) ≤ q , то τ( q ) = q п.в.
• Повторяющиеся действия. Действие T называется рекуррентным , если q ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ т ³ ( q ) ∨ ... п. в. для любого q знак равно χ _Y .
• Бесконечно повторяющиеся действия. Действие T называется бесконечно рекуррентным, если q ≤ τ ^м ( q ) ∨ т ^{м + 1} ( q ) ∨ т ^{м +2} ( q ) ∨ ... п.в. для любого q = χ _Y и любого m ≥ 1.

Теорема о возврате

Теорема. Если T — обратимое преобразование в пространстве с мерой ( X ,μ), сохраняющее нулевые множества, то следующие условия эквивалентны на T (или его обратном):

1. Т — консервативный ;
2. Т – рецидивирующий;
3. T бесконечно рекуррентно;
4. Т несжимаем.

Поскольку T диссипативно тогда и только тогда, когда T ⁻¹ диссипативна, отсюда следует, что T консервативна тогда и только тогда, когда T ⁻¹ является консервативным.

Если T консервативен, то r = q ∧ (τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ т ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅) ^⊥ = q ∧ τ(1 - q ) ∧ τ ² (1 - q ) ∧ т ³ ( q ) ∧ ... является блуждающим, так что если q < 1, обязательно r = 0. Следовательно, q ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ т ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅, так что T рекуррентно.

Если T рекуррентно, то q ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ т ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ Теперь по индукции предположим, что q ≤ τ ^к ( q ) ∨ т ^{к +1} ( q ) ∨ ⋅⋅⋅. Тогда τ ^к ( q ) ≤ т ^{к +1} ( q ) ∨ т ^{к +2} ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ ≤ . Следовательно, q ≤ τ ^{к +1} ( q ) ∨ т ^{к +2} ( q ) ∨ ⋅⋅⋅. Таким образом, результат верен для k +1, и, следовательно, T бесконечно рекуррентно. И наоборот, по определению бесконечно рекуррентное преобразование является рекуррентным.

Теперь предположим, что T рекуррентно. Чтобы показать, что T несжимаемо, необходимо показать, что если τ( q ) ⩽ q , то τ( q ) ⩽ q . Действительно, в этом случае τ ^н ( q ) — убывающая последовательность. Но по повторению q ≤ τ( q ) ∨ τ ² ( q ) ∨ т ³ ( q ) ∨ ⋅⋅⋅, поэтому q ≤ τ( q ) и, следовательно, q = τ( q ).

Наконец, предположим, что T несжимаема. Если T не консервативен, то существует p ≠ 0 в A с τ ^н ( p ) непересекающийся (ортогональный). Но тогда q = p ⊕ τ( p ) ⊕ τ ² ( p ) ⊕ ⋅⋅⋅ удовлетворяет τ( q ) < q с q - τ( q ) = p ≠ 0 , что противоречит несжимаемости. Итак, T консервативен.

Разложение Хопфа

Теорема. Если T — обратимое преобразование в пространстве с мерой ( X , µ нулевые множества и вызывающее автоморфизм τ A ), сохраняющее = L ^∞ ( X ), то существует единственный τ -инвариант p = χ _C в A такой, что τ консервативен на pA = L ^∞ ( C ) и диссипативный на (1 - p ) A знак равно L ^∞ ( D ) где D знак равно Икс \ C .

Без ограничения общности можно считать, что µ — вероятностная мера. Если T консервативен, доказывать нечего, поскольку в этом C = X. случае существует блуждающее множество W. для T В противном случае Пусть r = χ _W и q = ⊕ τ ^н ( р ). Таким образом, q является τ -инвариантным и диссипативным. Более того, µ ( q ) > 0. Очевидно, что ортогональная прямая сумма таких τ -инвариантных диссипативных q s также является τ -инвариантной и диссипативной; и если q -инвариантен τ и диссипативен и r < q -инвариантен τ , то r диссипативен. Следовательно, если q ₁ и q ₂ -инвариантны τ и диссипативны, то q ₁ ∨ q ₂ -инвариантен τ и диссипативен, поскольку q ₁ ∨ q ₂ = q ₁ ⊕ q ₂ (1 − q ₁ ). Теперь пусть M — верхняя грань всех µ ( q ) с q τ -инвариантным и диссипативным. Возьмем qn _что τ -инвариантный и диссипативный такой, ( qn ) _{возрастает} до M. µ Заменяя q _n на q ₁ ∨ ⋅⋅⋅ ∨ q _n , можно предположить, что q _n увеличивается, скажем, до q . По непрерывности q является τ инвариантным и µ ( q ) = M. - По максимальности p = I − q консервативен. Единственность очевидна, поскольку ни один τ -инвариант r < p не является диссипативным, а каждый τ -инвариант r < q диссипативен.

Следствие. Разложение Хопфа для T совпадает с разложением Хопфа для T ⁻¹ .

Поскольку преобразование диссипативно в пространстве с мерой тогда и только тогда, когда его обратное диссипативно, диссипативные части T и T ⁻¹ совпадают. Следовательно, то же самое делают и консервативные части.

Следствие. Разложение Хопфа для T совпадает с разложением Хопфа для T ^н для n > 1.

Если W — блуждающее множество для T , то это блуждающее множество для T ^н . Таким образом, диссипативная часть T содержится в диссипативной части T. ^н . Пусть σ = τ ^н . Чтобы доказать обратное, достаточно показать, что если σ диссипативно, то τ диссипативно. В противном случае, используя разложение Хопфа, можно предположить, что σ диссипативно, а τ консервативно. Предположим, что p — ненулевой блуждающий проектор для σ. Тогда τ ^а ( p ) и τ ^б ( p ) ортогональны для разных a и b в одном и том же классе конгруэнции по модулю n . Возьмем набор τ ^а ( p ) с ненулевым произведением и максимальным размером. Таким образом | С | ≤ п . По максимальности r является блуждающим по τ, противоречие.

Следствие. Если обратимое преобразование T действует эргодически, но нетранзитивно в пространстве с мерой ( X , µ ), сохраняя нулевые множества, и B является подмножеством с µ ( B ) > 0, то дополнение B ∪ TB ∪ T ² B ∪ ⋅⋅⋅ имеет нулевую меру.

Обратите внимание, что эргодичность и нетранзитивность означают, что действие T консервативно и, следовательно, бесконечно рекуррентно. Но тогда B ≤ T ^м ( Б ) ∨ Т ^{м + 1} ( Б ) ∨ Т ^{м +2} ( B ) ∨ ... для любого m ≥ 1. Применяя T ^{− м} , то T ^{− м} ( B ) лежит в Y знак равно B ∪ TB ∪ T ² B ∪ ⋅⋅⋅ для любого m > 0. По эргодичности µ ( X \ Y ) = 0.

Разложение Хопфа для неособого потока

Пусть ( X ,μ) — пространство с мерой, а S _{t —} неособый поток на X, индуцирующий 1-параметрическую группу автоморфизмов σ _t из A = L ^∞ ( Х ). Предполагается, что действие точное, так что σ _t является тождественным только для t = 0. Для каждого S _t или, что то же самое, σ _t с t ≠ 0 существует разложение Хопфа, поэтому pt _, фиксированный σ _t, такой действие консервативно на pt _A что и диссипативно на (1− p _t ) A .

• При s , t ≠ 0 консервативная и диссипативная части S _s и St _{совпадают ,} если s / t рационально.

Это следует из того, что для любого несингулярного обратимого преобразования консервативная и диссипативная части T и T ^н совпадают при n ≠ 0.

• Если S1 ₌ диссипативна на A L ^∞ ( X ), то существуют инвариантные меры λ на A и p в A такие, что

1. p > σ _t ( p ) для всех t > 0
2. λ( p – σ _t ( p )) = t для всех t > 0
3. σ _т ( п ) $\uparrow$ 1, когда t стремится к −∞ и σ _t ( p ) $\downarrow$ 0, когда t стремится к +∞.

Пусть Т = S1 _​ . Возьмем q блуждающее множество для T так, чтобы ⊕ τ ^н ( q ) = 1. Заменив µ на ​​эквивалентную меру, можно предположить, что µ( q ) = 1, так что µ ограничивается вероятностной мерой на qA . Перенос этой меры в τ ^н ( q ) A , далее можно предположить, что µ τ-инвариантен на A . Но тогда λ = ∫ ¹
₀ µ ∘ σ _t dt — эквивалентная σ-инвариантная мера на A , которую при необходимости можно масштабировать так, чтобы λ( q ) = 1. r в A , блуждающие для Τ (или τ) с ⊕ τ ^н ( r ) = 1 легко описать: они задаются формулой r = ⊕ τ ^н ( q _n ) где q знак равно ⊕ q _n — разложение q . В частности, λ( r ) =1. Более того, если p удовлетворяет условиям p > τ( p ) и τ ^{– н} ( п ) $\uparrow$ 1, то λ( p – τ( p )) = 1, применяя результат к r = p – τ( p ). Те же рассуждения показывают, что, наоборот, если r блуждающий при τ и λ( r ) = 1, то ⊕ τ ^н ( р ) знак равно 1 .

Пусть Q = q ⊕ τ( q ) ⊕ τ ² ( q ) ⊕ ⋅⋅⋅ так что τ ^к ( Q ) < Q для k ≥ 1. Тогда a = ∫ ^∞
₀ σ _т ( q ) dt знак равно Σ _{k ≥0} ∫ ¹
₀ σ _{k + т} ( q ) dt знак равно ∫ ¹
₀ σ _t ( Q ) dt так что 0 ≤ a ≤ 1 в A . По определению σ _s ( a ) ≤ a для s ≥ 0, поскольку a − σ _s ( a ) = ∫ ^∞
_s σ _т ( q ) dt . Те же формулы показывают, что σ _s ( a ) стремится к 0 или 1, когда s стремится к +∞ или −∞. Положим p = χ _[ε,1] (a) для 0 < ε < 1. Тогда σ _s ( p ) = χ _{[ε, 1]} (σ _s ( a )). Отсюда сразу следует, что σs ₍ p ) ⩽ p для s ≥ 0. Более того, _σs ( p ) $\downarrow$ 0, когда s стремится к +∞ и σ _s ( p ) $\uparrow$ 1, когда s стремится к − ∞. Первая предельная формула следует из того, что 0 ≤ ε ⋅ σ _s ( p ) ≤ σ _s ( a ). Теперь те же рассуждения можно применить и к τ ⁻¹ , σ _{- т} , т ⁻¹ ( q ) и 1 – ε вместо τ, σ _t , q и ε. Тогда легко проверяется, что величины, соответствующие a и p, равны 1 − a и 1 − p . Следовательно, σ _{− t} (1− p ) $\downarrow$ 0, когда t стремится к ∞. Следовательно, σ _s ( p ) $\uparrow$ 1, когда s стремится к − ∞. В частности p ≠ 0, 1.

Таким образом, r = p − τ( p ) является блуждающим для τ и ⊕ τ ^к ( r ) = 1. Следовательно, λ( r ) = 1. Отсюда следует, что λ( p −σ _s ( p ) ) = s для s = 1/ n и, следовательно, для всех рациональных s > 0. Поскольку семейство σ _s ( p ) непрерывен и убывает, по непрерывности та же формула справедлива и для всех вещественных s > 0. Следовательно, p удовлетворяет всем утвержденным условиям.

• Консервативная и диссипативная части St _t при от ≠ 0 не зависят t .

Предыдущий результат показывает, что если S _t диссипативно на X при t ≠ 0, то так же диссипативно и каждое S _s при s ≠ 0. По единственности S _t и S _s сохраняют диссипативные части друг друга. Следовательно, каждый диссипативен по отношению к диссипативной части другого, поэтому диссипативные части согласуются. Следовательно, консервативные части согласны.

См. также

• Эргодический поток

Ссылки

• Ааронсон, Джон (1997), Введение в бесконечную эргодическую теорию , Математические обзоры и монографии, том. 50, Американское математическое общество , ISBN.  0-8218-0494-4
• Хопф, Эберхард (1937), Ergodentheorie (на немецком языке), Springer
• Теоремы о представлении потоков и полутоков I», Math. « Кренгель, Ульрих (1968) ,
• Кренгель, Ульрих (1985), Эргодические теоремы , Исследования Де Грюйтера по математике, том. 6, де Грюйтер, ISBN  3-11-008478-3