Фрактальная последовательность

В математике — фрактальная последовательность это последовательность, которая содержит себя в виде собственной подпоследовательности. Примером является

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Если первое вхождение каждого n удалено, оставшаяся последовательность будет идентична исходной. Этот процесс можно повторять бесконечно, так что на самом деле исходная последовательность содержит не только одну свою копию, но, скорее, бесконечное множество.

Определение

Точное определение фрактальной последовательности зависит от предварительного определения: последовательность x = (x _n ) является инфинитивной последовательностью, если для каждого i ,

(F1) x _n = i для бесконечного числа n .

Пусть a(i,j) будет j-м индексом n, для которого x _n = i . Инфинитивная последовательность x является фрактальной последовательностью , если выполняются два дополнительных условия:

(F2) если i+1 = x _n , то существует m < n такое, что

$i=x_{m}$

(F3) если h < i , то для каждого j существует ровно один k такой, что

$a(i,j)<a(h,k)<a(i,j+1).$

Согласно (F2), первому вхождению каждого i > 1 в x должно предшествовать хотя бы один раз каждое из чисел 1, 2, ..., i-1, а согласно (F3) между последовательными появлениями i в x , каждый h меньше i встречается ровно один раз.

Пример

Предположим, θ — положительное иррациональное число. Позволять

S(θ) = набор чисел c + dθ, где c и d — целые положительные числа.

и пусть

c _n (θ) + θd _n (θ)

— последовательность, полученная расположением чисел в S(θ) в порядке возрастания. Последовательность c _n (θ) является сигнатурой θ и является фрактальной последовательностью.

Например, подпись золотого сечения (т. е. θ = (1 + sqrt(5))/2) начинается с

1, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 5, 2, 4, 1, 6, 3, 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 8, 5, ...

и подпись 1/θ = θ - 1 начинается с

1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 5, ...

Это последовательности OEIS : A084531 и OEIS : A084532 в Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей , где приведены дополнительные примеры из различных теоретико-числовых и комбинаторных настроек.

См. также

• Последовательность Туэ-Морса

Внешние ссылки

• Интернет-энциклопедия целочисленных последовательностей :
  • Последовательность OEIS A002260 (Треугольник T(n,k) = k для k = 1..n)
  • Последовательность OEIS A004736 (Треугольник читается по строкам: в строке n перечислены первые n положительных целых чисел в порядке убывания)
  • Последовательность OEIS A003603 (фрактальная последовательность, полученная из чисел Фибоначчи (или массива Витхоффа))
  • Последовательность OEIS A112382 (самоописательная фрактальная последовательность: последовательность содержит все положительные целые числа)
  • Последовательность OEIS A122196 (фрактальная последовательность: обратный отсчет на 2 от последовательных целых чисел)
  • Последовательность OEIS A022446 (Фрактальная последовательность дисперсии составных чисел)
  • Последовательность OEIS A022447 (Фрактальная последовательность дисперсии простых чисел)
  • Последовательность OEIS A125158 (фрактальная последовательность, связанная с A125150)
  • Последовательность OEIS A125159 (фрактальная последовательность, связанная с A125151)
  • Последовательность OEIS A108712 (фрактальная последовательность (почти натуральные числа))

Ссылки

• Кимберлинг, Кларк (1997). «Фрактальные последовательности и вкрапления». Арс Комбинатория . 45 : 157–168. Збл   0932.11016 .