Теорема о петлях

В математике, в топологии , 3-многообразий теорема о петлях является обобщением леммы Дена . Теорема о петле была впервые доказана Христосом Папакириакопулосом в 1956 году вместе с леммой Дена и теоремой о сфере .

Простая и полезная версия теоремы о петлях гласит, что если для некоторого трехмерного многообразия M с краем ∂M существует отображение

$f\colon (D^{2},\partial D^{2})\to (M,\partial M)$

с $f|\partial D^{2}$ не нульгомотопен в $\partial M$, то существует вложение с тем же свойством.

Следующая версия теоремы о петлях, принадлежащая Джону Столлингсу , приведена в стандартных трактатах о 3-многообразиях (таких как Хемпель или Жако):

Позволять $M$ — трехмерное многообразие и пусть $S$быть связной поверхностью в $\partial M$. Позволять $N\subset \pi _{1}(S)$ — нормальная подгруппа такая, что $\mathop {\mathrm {ker} } (\pi _{1}(S)\to \pi _{1}(M))-N\neq \emptyset$.Позволять $f\colon D^{2}\to M$ быть непрерывным отображением таким, что $f(\partial D^{2})\subset S$ и $[f|\partial D^{2}]\notin N.$ Тогда существует вложение $g\colon D^{2}\to M$ такой, что $g(\partial D^{2})\subset S$ и $[g|\partial D^{2}]\notin N.$

Более того, если начать с отображения f общего положения, то для любой окрестности U множества особенностей f мы можем найти такое g с образом, лежащим внутри объединения изображений f и U.

Доказательство Столлинга использует адаптацию Уайтхеда и Шапиро «конструкции башни» Папакириакопулоса. Под «башней» понимается особая последовательность покрытий, предназначенная для упрощения подъемов данной карты. Та же конструкция башни была использована Папакириакопулосом для доказательства теоремы о сфере (3-многообразия) , которая утверждает, что нетривиальное отображение сферы в 3-многообразие влечет за собой существование нетривиального вложения сферы. Существует также версия леммы Дена для минимальных дисков, принадлежащая Миксу и С.-Т. Яу, который также в решающей степени опирается на конструкцию башни.

Существует доказательство первой версии теоремы о петлях, не использующее конструкцию башни. По сути, это было сделано 30 лет назад Фридхельмом Вальдхаузеном как часть его решения проблемы слов для многообразий Хакена ; хотя он признал, что это дает доказательство теоремы о петлях, он не написал подробного доказательства. Существенным компонентом этого доказательства является концепция иерархии Хакена . Доказательства были позже написаны Клаусом Йохансоном , Марком Лакенби и Иэном Эйчисоном вместе с Хайамом Рубинштейном .

Следствие

Одним из простых следствий теоремы о петлях является следующее: пусть $M$ — компактное ориентируемое неприводимое 3-многообразие. Затем $\partial M$ несжимаема тогда и только тогда, когда $\pi _{1}(F)\to \pi _{1}(M)$ инъективен для каждого компонента $F$ из $\partial M$.

Ссылки

• В. Жако, Лекции по топологии 3-многообразий , серия региональных конференций AMS по математике 43.
• Дж. Хемпель, 3-многообразия , Princeton University Press, 1976.
• Хэтчер, Заметки по базовой топологии с тремя многообразиями , доступны в Интернете.