Гармонический дифференциал

Не путать с Гармонической формой .

В математике действительная дифференциальная одна форма ω на поверхности называется гармоническим дифференциалом, если ω и ее сопряженная одна форма, записанная как ω ^∗ , оба закрыты .

Объяснение

Рассмотрим случай вещественных одноформ, определенных на двумерном вещественном многообразии . Более того, рассмотрим действительные одноформы, являющиеся действительными частями комплексных дифференциалов. Пусть ω = A d x + B d y и формально определим сопряженную одну форму как ω ^∗ знак равно А d y - B d Икс .

Мотивация

Существует четкая связь с комплексным анализом . Запишем комплексное число z через его действительную и мнимую части, скажем, x и y соответственно, т.е. z = x + iy . Поскольку ω + iω ^∗ = ( A − iB (d x + i d y ) , с точки зрения комплексного анализа частное ω ( ) + iω ^∗ )/d z стремится к пределу, когда d z стремится к 0. Другими словами, определение ω ^∗ был выбран из-за его связи с понятием производной ( аналитичности ). Другая связь с комплексной единицей состоит в том, что ( ω ^∗ ) ^∗ = − ω (так же, как i ² = −1 ).

Для данной функции f запишем ω = d f , т.е. ω = ⁠ ∂ ж / ∂ Икс ⁠ d Икс + ⁠ ∂ ж / ∂ y ⁠ d y , где ∂ обозначает частную производную . Тогда (d f ) ^∗ = ∂ ж / ∂ x ⁠ d y − ⁠ ∂ ж / ∂ y ⁠ d Икс . Теперь d((d f ) ^∗ ) не всегда равен нулю, действительно, d((d f ) ^∗ ) = Δ f d x d y , где Δ f = ⁠ ∂ ² ж / ∂ х ² ⁠ + ⁠ ∂ ² ж / ∂ у ² ⁠ .

Уравнения Коши – Римана.

Как мы видели выше: мы называем одну форму ω гармонической, если и ω, и ω ^∗ закрыты. Это означает, что ⁠ ∂ A / ∂ y ⁠ = ⁠ ∂ B / ∂ x ⁠ ( ω замкнуто) и ⁠ ∂ B / ∂ y ⁠ = − ⁠ ∂ А / ∂ x ⁠ ( ω ^∗ закрыто). Они называются уравнениями Коши–Римана на A − iB . Обычно они выражаются через u ( x , y ) + iv ( x , y ) как ⁠ ∂ u / ∂ x ⁠ = ⁠ ∂ v / ∂ y ⁠ и ⁠ ∂ v / ∂ x ⁠ = − ⁠ ∂ u / ∂ y ⁠ .

Заметные результаты

• Гармонический дифференциал (одна форма) — это в точности действительная часть (аналитического) комплексного дифференциала. Чтобы доказать это, нужно показать, что u + iv удовлетворяет уравнениям Коши – Римана именно тогда, когда u + iv является локально аналитической функцией от x + iy . Конечно, аналитическая функция w ( z ) = u + iv является локальной производной чего-то (а именно ∫ w ( z ) d z ).
• Гармонические дифференциалы ω (локально) представляют собой в точности дифференциалы d f решений f уравнения Лапласа Δ f = 0 .
• Если ω является гармоническим дифференциалом, то и ω является гармоническим. ^∗ .

См. также

• Когомологии Де Рама