Многообразие Пуассона

В дифференциальной геометрии , области математики , многообразие Пуассона — это гладкое многообразие, наделенное структурой Пуассона. Понятие пуассоновского многообразия обобщает понятие симплектического многообразия , которое, в свою очередь, обобщает фазовое пространство из гамильтоновой механики .

Структура Пуассона (или скобка Пуассона) на гладком многообразии . $M$ это функция $$\{\cdot ,\cdot \}:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\times {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M)$$в векторном пространстве ${C^{\infty }}(M)$ гладких функций на $M$, превращая ее в алгебру Ли, подчиняющуюся правилу Лейбница (также известную как алгебра Пуассона ). Структуры Пуассона на многообразиях были введены Андре Лихнеровичем в 1977 году. и названы в честь французского математика Симеона Дени Пуассона , в связи с их ранним появлением в его работах по аналитической механике .

Структура Пуассона на многообразии $M$ дает способ деформации произведения функций на $M$ к новому продукту, который обычно не является коммутативным . Этот процесс известен как квантование деформации , поскольку классическая механика может быть основана на пуассоновских структурах, а квантовая механика включает некоммутативные кольца .

Введение

От фазовых пространств классической механики к симплектическим и пуассоновским многообразиям

В классической механике фазовое пространство физической системы состоит из всех возможных значений переменных положения и импульса, допускаемых системой. Естественным образом она наделена скобкой Пуассона/симплектической формой (см. ниже), что позволяет формулировать уравнения Гамильтона и описывать динамику системы через фазовое пространство во времени.

Например, одна частица, свободно движущаяся в $n$-мерное евклидово пространство (т.е. имеющее $\mathbb {R} ^{n}$ как конфигурационное пространство ) имеет фазовое пространство $\mathbb {R} ^{2n}$. Координаты $(q^{1},...,q^{n},p_{1},...,p_{n})$ описывают соответственно положения и обобщенные импульсы. Пространство наблюдаемых , т.е. гладких функций на $\mathbb {R} ^{2n}$, естественно наделен бинарной операцией, называемой скобкой Пуассона , определяемой как

$\{f,g\}:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right).$

Такая скобка удовлетворяет стандартным свойствам скобки Ли , а также дополнительной совместимости с произведением функций, а именно тождеству Лейбница $\{f,g\cdot h\}=g\cdot \{f,h\}+\{f,g\}\cdot h$. Аналогично, скобка Пуассона на $\mathbb {R} ^{2n}$ можно переформулировать, используя симплектическую форму

$\omega :=\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq^{i}.$

Действительно, если рассмотреть гамильтоново векторное поле

$X_{f}:=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}\partial _{q_{i}}-{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}\partial _{p_{i}}$

связанный с функцией $f$, то скобку Пуассона можно переписать в виде $\{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g}).$

Стандартным примером симплектического многообразия и, следовательно, пуассоновского многообразия является кокасательное расслоение . $T^{*}Q$ любого конечномерного гладкого многообразия $Q.$ Координаты на $Q$ интерпретируются как позиции частиц; пространство касательных в каждой точке, образующее пространство (канонически) сопряженных импульсов. Если $Q$ является $n$-мерный, $T^{*}Q$ представляет собой гладкое многообразие размерности $2n;$ его можно рассматривать как ассоциированное фазовое пространство. Кокасательное расслоение естественным образом снабжено канонической симплектической формой , которая в канонических координатах совпадает с описанной выше. Вообще говоря, по теореме Дарбу любое произвольное симплектическое многообразие $(M,\omega )$ допускает специальные координаты, где форма $\omega$ и кронштейн $\{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})$ эквивалентны соответственно симплектической форме и скобке Пуассона $\mathbb {R} ^{2n}$. Таким образом, симплектическая геометрия является естественной математической основой для описания классической гамильтоновой механики.

Многообразия Пуассона являются дальнейшими обобщениями симплектических многообразий, которые возникают в результате аксиоматизации свойств, которым удовлетворяет скобка Пуассона на $\mathbb {R} ^{2n}$. Точнее, многообразие Пуассона состоит из гладкого многообразия $M$ (не обязательно четной размерности) вместе с абстрактной скобкой $\{\cdot ,\cdot \}:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\times {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M)$, до сих пор называемая скобкой Пуассона, которая не обязательно возникает из симплектической формы $\omega$, но удовлетворяет тем же алгебраическим свойствам.

Геометрия Пуассона тесно связана с симплектической геометрией: например, каждая скобка Пуассона определяет слоение многообразия на симплектические подмногообразия . Однако изучение пуассоновой геометрии требует методов, которые обычно не используются в симплектической геометрии, таких как теория Ли группоидов и алгеброидов .

Более того, существуют естественные примеры структур, которые должны быть «морально» симплектическими, но обнаруживать особенности, т. е. их «симплектической форме» следует позволить вырождаться. Например, гладкий фактор симплектического многообразия по группе, действующей симплектоморфизмами , представляет собой многообразие Пуассона, которое, вообще говоря, не является симплектическим. Эта ситуация моделирует случай физической системы, инвариантной относительно симметрий : «редуцированное» фазовое пространство, полученное факторизацией исходного фазового пространства по симметриям, вообще говоря, уже не является симплектическим, а является пуассоновским.

История

Хотя современное определение многообразия Пуассона появилось лишь в 70–80-х годах, его зарождение восходит к XIX веку. Алан Вайнштейн резюмировал раннюю историю пуассоновой геометрии следующим образом:

«Пуассон изобрел свои скобки как инструмент классической динамики. Якоби осознал важность этих скобок и объяснил их алгебраические свойства, а Ли начал изучение их геометрии».

Действительно, Симеон Дени Пуассон ввел в 1809 году то, что мы сейчас называем скобкой Пуассона, чтобы получить новые интегралы движения , то есть величины, которые сохраняются на протяжении всего движения. Точнее, он доказал, что если две функции $f$ и $g$ являются интегралами движения, то существует третья функция, обозначаемая $\{f,g\}$, который также является интегралом движения. В гамильтоновой формулировке механики , где динамика физической системы описывается заданной функцией $h$ (обычно энергия системы), интеграл движения — это просто функция $f$ с которым коммутирует по Пуассону $h$, то есть такой, что $\{f,h\}=0$. То, что станет известно как теорема Пуассона, можно будет тогда сформулировать как

$\{f,h\}=0,\{g,h\}=0\Rightarrow \{\{f,g\},h\}=0.$

Вычисления Пуассона заняли много страниц, а его результаты были заново открыты и упрощены два десятилетия спустя Карлом Густавом Якобом Якоби . Якоби был первым, кто определил общие свойства скобки Пуассона как бинарной операции. Более того, он установил связь между скобкой (Пуассона) двух функций и скобкой (Ли) связанных с ними гамильтоновых векторных полей , т.е. $$X_{\{f,g\}}=[X_{f},X_{g}],$$чтобы переформулировать (и дать гораздо более короткое доказательство) теорему Пуассона об интегралах движения. Работа Якоби над скобками Пуассона повлияла на новаторские исследования Софуса Ли по симметрии дифференциальных уравнений , которые привели к открытию групп Ли и алгебр Ли . Например, то, что сейчас называется линейными структурами Пуассона (т.е. скобками Пуассона в векторном пространстве, которые переводят линейные функции в линейные функции), в точности соответствует структурам алгебры Ли. Более того, интегрируемость линейной пуассоновой структуры (см. ниже) тесно связана с интегрируемостью ассоциированной с ней алгебры Ли с группой Ли.

В двадцатом веке возникла современная дифференциальная геометрия, но только в 1977 году Андре Лихнерович представил структуры Пуассона как геометрические объекты на гладких многообразиях. Пуассоновы многообразия были дополнительно изучены в основополагающей статье Алана Вайнштейна 1983 года , где были впервые доказаны многие основные структурные теоремы.

Эти работы оказали огромное влияние в последующие десятилетия на развитие пуассоновой геометрии, которая сегодня представляет собой самостоятельную область и в то же время глубоко переплетена со многими другими, включая некоммутативную геометрию , интегрируемые системы , топологические теории поля. и теория представлений .

Формальное определение

Существуют две основные точки зрения на определение пуассоновских структур: между ними привычно и удобно переключаться.

В качестве кронштейна

Позволять $M$ — гладкое многообразие и пусть ${C^{\infty }}(M)$ обозначают действительную алгебру гладких вещественнозначных функций на $M$, где умножение задано поточечно. Скобка Пуассона (или структура Пуассона ) на $M$ это $\mathbb {R}$- билинейная карта

$\{\cdot ,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\times {C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)$

определяя структуру алгебры Пуассона на ${C^{\infty }}(M)$, т.е. удовлетворяющие следующим трем условиям:

• Косая симметрия : $\{f,g\}=-\{g,f\}$.
• Личность Якоби : $\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$.
• Правило Лейбница : $\{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\}$.

Первые два условия гарантируют, что $\{\cdot ,\cdot \}$ определяет структуру алгебры Ли на ${C^{\infty }}(M)$, а третий гарантирует, что для каждого $f\in {C^{\infty }}(M)$, линейное отображение $X_{f}:=\{f,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)$ является производным алгебры ${C^{\infty }}(M)$, т. е. определяет векторное поле $X_{f}\in {\mathfrak {X}}(M)$ называемое гамильтоновым векторным полем, связанным с $f$.

Выбор местных координат $(U,x^{i})$, любая скобка Пуассона определяется формулой $$\{f,g\}_{\mid U}=\sum _{i,j}\pi ^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial x^{j}}},$$для $\pi ^{ij}=\{x^{i},x^{j}\}$ скобка Пуассона координатных функций.

Как бивектор

Бивектор Пуассона на гладком многообразии $M$ представляет собой бивекторное поле $\pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M):=\Gamma {\big (}\wedge ^{2}TM{\big )}$ удовлетворяющее нелинейному уравнению в частных производных $[\pi ,\pi ]=0$, где

$[\cdot ,\cdot ]:{{\mathfrak {X}}^{p}}(M)\times {{\mathfrak {X}}^{q}}(M)\to {{\mathfrak {X}}^{p+q-1}}(M)$

обозначает скобку Схоутена–Нийенхейса на многовекторных полях. Выбор местных координат $(U,x^{i})$, любой бивектор Пуассона имеет вид $$\pi _{\mid U}=\sum _{i,j}\pi ^{ij}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},$$для $\pi ^{ij}$ кососимметричные гладкие функции на $U$.

Эквивалентность определений

Позволять $\{\cdot ,\cdot \}$ быть билинейной кососимметричной скобкой (называемой «почти скобкой Ли»), удовлетворяющей правилу Лейбница; тогда функция $\{f,g\}$ можно описать как $$\{f,g\}=\pi (df\wedge dg),$$для уникального гладкого бивекторного поля $\pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M)$. Обратно, для любого гладкого бивекторного поля $\pi$ на $M$, та же формула $\{f,g\}=\pi (df\wedge dg)$ определяет почти скобку Ли $\{\cdot ,\cdot \}$ это автоматически подчиняется правилу Лейбница.

Тогда следующие условия интегрируемости эквивалентны:

• $\{\cdot ,\cdot \}$ удовлетворяет тождеству Якоби (следовательно, является скобкой Пуассона);
• $\pi$ удовлетворяет $[\pi ,\pi ]=0$ (следовательно, это бивектор Пуассона);
• карта ${C^{\infty }}(M)\to {\mathfrak {X}}(M),f\mapsto X_{f}$ является гомоморфизмом алгебры Ли, т. е. гамильтоновы векторные поля удовлетворяют $[X_{f},X_{g}]=X_{\{f,g\}}$;
• график ${\rm {Graph}}(\pi )\subset TM\oplus T^{*}M$ определяет структуру Дирака , т. е. лагранжево подрасслоение $D\subset TM\oplus T^{*}M$ которая замыкается стандартной скобкой Куранта .

Структура Пуассона без какого-либо из четырех вышеперечисленных требований также называется почти пуассоновской структурой .

Голоморфные пуассоновские структуры

Определение структуры Пуассона для вещественных гладких многообразий также можно адаптировать к сложному случаю.

Голоморфное многообразие Пуассона — это комплексное многообразие. $M$ чей пучок голоморфных функций ${\mathcal {O}}_{M}$ является пучком алгебр Пуассона. Аналогично, напомним, что голоморфное бивекторное поле $\pi$ на сложном многообразии $M$ это раздел $\pi \in \Gamma (\wedge ^{2}T^{1,0}M)$ такой, что ${\bar {\partial }}\pi =0$. Тогда голоморфная пуассоновская структура на $M$ является голоморфным бивекторным полем, удовлетворяющим уравнению $[\pi ,\pi ]=0$. Голоморфные пуассоновы многообразия можно охарактеризовать также в терминах структур Пуассона-Ниженхейса.

Многие результаты для реальных пуассоновских структур, например, относительно их интегрируемости, распространяются и на голоморфные.

Голоморфные пуассоновские структуры естественным образом возникают в контексте обобщенных комплексных структур : локально любое обобщенное комплексное многообразие является продуктом симплектического многообразия и голоморфного пуассоновского многообразия.

Квантование деформации

Понятие пуассоновского многообразия естественно возникает из теории деформаций ассоциативных алгебр . Для гладкого многообразия $M$, гладкие функции $C^{\infty }(M)$ образуют коммутативную алгебру над действительными числами $\mathbf {R}$, используя поточечное сложение и умножение (это означает, что $(fg)(x)=f(x)g(x)$ за баллы $x$ в $M$). Ан $n$ го-го порядка деформация этой алгебры задается формулой

$f*g=fg+\epsilon B_{1}(f,g)+\cdots +\epsilon ^{n}B_{n}(f,g){\pmod {\epsilon ^{n+1}}}$

для $f,g\in C^{\infty }(M)$ такой, что звездообразное произведение ассоциативно (по модулю $\epsilon ^{n+1}$), но не обязательно коммутативно.

Деформация первого порядка $C^{\infty }(M)$ эквивалентно почти пуассоновской структуре , определенной выше, то есть билинейному отображению в «скобках».

$\{\cdot ,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\times {C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)$

который кососимметричен и удовлетворяет правилу Лейбница. В явном виде от деформации к скобке можно перейти по формуле

$f*g-g*f=\epsilon \{f,g\}{\pmod {\epsilon ^{2}}}.$

Деформация первого порядка также эквивалентна бивекторному полю, т. е. гладкому сечению $\wedge ^{2}TM$.

Скобка удовлетворяет тождеству Якоби (т. е. является структурой Пуассона) тогда и только тогда, когда соответствующая деформация первого порядка $C^{\infty }(M)$ может быть продолжено до деформации второго порядка. Примечательно, что формула квантования Концевича показывает, что каждое многообразие Пуассона имеет деформационное квантование . То есть, если деформация первого порядка $C^{\infty }(M)$ может быть расширен до второго порядка, то его можно расширить до бесконечного порядка.

Пример: Для любого гладкого многообразия $M$, котангенс $T^{*}M$ является симплектическим многообразием и, следовательно, многообразием Пуассона. Соответствующая некоммутативная деформация $C^{\infty }(T^{*}M)$ связано с алгеброй линейных дифференциальных операторов на $M$. Когда $M$ это настоящая линия $\mathbf {R}$, некоммутативность алгебры дифференциальных операторов (известной как алгебра Вейля ) следует из расчета, что

${\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x}},x{\bigg ]}=1.$

Симплектические листья

Многообразие Пуассона естественным образом разбивается на правильно погруженные симплектические многообразия возможно разных размерностей, называемые его симплектическими слоями . Они возникают как максимальные целочисленные подмногообразия вполне интегрируемого сингулярного слоения, натянутого на гамильтоновы векторные поля.

Ранг структуры Пуассона

Напомним, что любое бивекторное поле можно рассматривать как косой гомоморфизм, музыкальный морфизм $\pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM,\alpha \mapsto \pi (\alpha ,\cdot )$. Изображение ${\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM$ состоит, таким образом, из значений ${X_{f}}(x)$ всех гамильтоновых векторных полей, вычисленных в каждом $x\in M$.

Ранг ​ ​ $\pi$ в какой-то момент $x\in M$ – ранг индуцированного линейного отображения $\pi _{x}^{\sharp }$. точка $x\in M$ называется регулярным для пуассоновой структуры $\pi$ на $M$ тогда и только тогда, когда ранг $\pi$ постоянен в открытой окрестности $x\in M$; в противном случае она называется особой точкой . Регулярные точки образуют открытое плотное подпространство. $M_{\mathrm {reg} }\subseteq M$; когда $M_{\mathrm {reg} }=M$, то есть карта $\pi ^{\sharp }$ имеет постоянный ранг, структура Пуассона $\pi$ называется регулярным . Примеры регулярных пуассоновских структур включают тривиальные и невырожденные структуры (см. ниже).

Обычный случай

Для регулярного многообразия Пуассона образ ${\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM$ является регулярным распределением ; легко проверить, что оно инволютивно, поэтому по Фробениуса теореме $M$ допускает разбиение на листья. Более того, бивектор Пуассона прекрасно ограничивается каждым листом, который, следовательно, становится симплектическим многообразием.

Нестандартный случай

Для нерегулярного пуассоновского многообразия ситуация сложнее, поскольку распределение ${\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM$ сингулярно , т . е. векторные подпространства ${\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{*}M)\subset T_{x}M$ имеют разные размеры.

Целочисленное подмногообразие для ${\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)$ является линейно-связным подмногообразием $S\subseteq M$ удовлетворяющий $T_{x}S={\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{\ast }M)$ для всех $x\in S$. Целочисленные подмногообразия $\pi$ являются автоматически регулярно погруженными многообразиями, а максимальные целые подмногообразия $\pi$ называются листьями ​ $\pi$.

При этом каждый лист $S$ имеет естественную симплектическую форму $\omega _{S}\in {\Omega ^{2}}(S)$ определяется условием $[{\omega _{S}}(X_{f},X_{g})](x)=-\{f,g\}(x)$ для всех $f,g\in {C^{\infty }}(M)$ и $x\in S$. Соответственно говорят о симплектических слоях $\pi$. Более того, и пространство $M_{\mathrm {reg} }$ регулярных точек и его дополнение насыщены симплектическими слоями, поэтому симплектические слои могут быть как регулярными, так и особыми.

Теорема Вайнштейна о расщеплении

Чтобы показать существование симплектических слоев в нерегулярном случае, можно использовать теорему о расщеплении Вайнштейна (или теорему Дарбу-Вайнштейна). Он утверждает, что любое многообразие Пуассона $(M^{n},\pi )$ разбивается локально вокруг точки $x_{0}\in M$ как произведение симплектического многообразия $(S^{2k},\omega )$ и поперечное подмногообразие Пуассона $(T^{n-2k},\pi _{T})$ исчезает в $x_{0}$. Точнее, если $\mathrm {rank} (\pi _{x_{0}})=2k$, есть локальные координаты $(U,p_{1},\ldots ,p_{k},q^{1},\ldots ,q^{k},x^{1},\ldots ,x^{n-2k})$ такой, что бивектор Пуассона $\pi$ делится как сумма

$\pi _{\mid U}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n-2k}\phi ^{ij}(x){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},$

где $\phi ^{ij}(x_{0})=0.$ Обратите внимание, что когда ранг $\pi$ является максимальным (например, пуассоновская структура невырождена, так что $n=2k$), восстанавливается классическая теорема Дарбу для симплектических структур.

Примеры

Тривиальные структуры Пуассона

Каждое многообразие $M$ несет тривиальную структуру Пуассона $\{f,g\}=0$, что эквивалентно описывается бивектором $\pi =0$. Каждая точка $M$ поэтому является нульмерным симплектическим слоем.

Невырожденные пуассоновские структуры.

Бивекторное поле $\pi$ называется невырожденным, если $\pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM$ является изоморфизмом векторного расслоения. Невырожденные бивекторные поля Пуассона — это на самом деле то же самое, что и симплектические многообразия. $(M,\omega )$.

Действительно, существует биективное соответствие между невырожденными бивекторными полями $\pi$ и невырожденные 2-формы $\omega$, заданный музыкальным изоморфизмом

$\pi ^{\sharp }=(\omega ^{\flat })^{-1},$

где $\omega$ кодируется $\omega ^{\flat }:TM\to T^{*}M,\quad v\mapsto \omega (v,\cdot )$. Более того, $\pi$ является пуассоновым именно тогда и только тогда, когда $\omega$ закрыт; в таком случае скобка становится канонической скобкой Пуассона из гамильтоновой механики:

$\{f,g\}:=\omega (X_{f},X_{g}).$

Невырожденные пуассоновские структуры имеют только один симплектический лист, а именно $M$ сама по себе и их алгебра Пуассона $({\mathcal {C}}^{\infty }(M),\{\cdot ,\cdot \})$ стать кольцом Пуассона .

Линейные структуры Пуассона

Структура Пуассона $\{\cdot ,\cdot \}$ в векторном пространстве $V$ называется линейной , если скобка двух линейных функций остается линейной.

Класс векторных пространств с линейными пуассоновскими структурами совпадает с классом двойственных алгебр Ли . Двойной ${\mathfrak {g}}^{*}$ любой конечномерной алгебры Ли $({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])$ несет в себе линейную скобку Пуассона, известную в литературе под названиями структуры Ли-Пуассона, Кириллова-Пуассона или ККС ( Кстанта - Кириллова - Сурио ): $$\{f,g\}(\xi ):=\xi ([d_{\xi }f,d_{\xi }g]_{\mathfrak {g}}),$$где $f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }({\mathfrak {g}}^{*}),\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}$ и производные $d_{\xi }f,d_{\xi }g:T_{\xi }{\mathfrak {g}}^{*}\to \mathbb {R}$ интерпретируются как элементы бидуального ${\mathfrak {g}}^{**}\cong {\mathfrak {g}}$. Эквивалентно, бивектор Пуассона может быть локально выражен как $$\pi =\sum _{i,j,k}c_{k}^{ij}x^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},$$где $x^{i}$ координаты на ${\mathfrak {g}}^{*}$ и $c_{k}^{ij}$ являются соответствующими структурными константами ${\mathfrak {g}}$,

И наоборот, любая линейная пуассоновская структура $\{\cdot ,\cdot \}$ на $V$ должна иметь такой вид, т. е. существует естественная структура алгебры Ли, индуцированная на ${\mathfrak {g}}:=V^{*}$ чья скобка Ли-Пуассона восстанавливается $\{\cdot ,\cdot \}$.

Симплектические листы структуры Ли-Пуассона на ${\mathfrak {g}}^{*}$ являются орбитами действия коприсоединенного $G$ на ${\mathfrak {g}}^{*}$.

Послойно линейные пуассоновские структуры

Предыдущий пример можно обобщить следующим образом. Структура Пуассона на всем пространстве векторного расслоения $E\to M$ называется послойно линейным, если скобка двух гладких функций $E\to \mathbb {R}$, ограничения которого на слои линейны, приводит к образованию скобки, которая является линейной при ограничении на слои. Эквивалентно, бивекторное поле Пуассона $\pi$ просят удовлетворить $(m_{t})^{*}\pi =t\pi$ для любого $t>0$, где $m_{t}:E\to E$ скалярное умножение $v\mapsto tv$.

Класс векторных расслоений с линейными пуассоновскими структурами совпадает с классом двойственных алгеброидам Ли . Двойной $A^{*}$ любого алгеброида Ли $(A,[\cdot ,\cdot ])$ несет послойно линейную скобку Пуассона, однозначно определяется $$\{\mathrm {ev} _{\alpha },\mathrm {ev} _{\beta }\}:=ev_{[\alpha ,\beta ]}\quad \quad \forall \alpha ,\beta \in \Gamma (A),$$где $\mathrm {ev} _{\alpha }:A^{*}\to \mathbb {R} ,\phi \mapsto \phi (\alpha )$ это оценка со стороны $\alpha$. Эквивалентно, бивектор Пуассона может быть локально выражен как $$\pi =\sum _{i,a}B_{a}^{i}(x){\frac {\partial }{\partial y_{a}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\sum _{a<b,c}C_{ab}^{c}(x)y_{c}{\frac {\partial }{\partial y_{a}}}{\frac {\partial }{\partial y_{b}}},$$где $x^{i}$ это координаты вокруг точки $x\in M$, $y_{a}$ координаты волокна на $A^{*}$, двойственный локальному фрейму $e_{a}$ из $A$, и $B_{a}^{i}$ и $C_{ab}^{c}$ являются структурной функцией $A$, т.е. уникальные гладкие функции, удовлетворяющие $$\rho (e_{a})=\sum _{i}B_{a}^{i}(x){\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\quad \quad [e_{a},e_{b}]=\sum _{c}C_{ab}^{c}(x)e_{c}.$$И наоборот, любая послойно линейная пуассоновская структура $\{\cdot ,\cdot \}$ на $E$ должен иметь такой вид, т. е. существует естественная алгеброидная структура Ли, индуцированная на $A:=E^{*}$ чья поддержка Ли-Пуассона восстанавливается $\{\cdot ,\cdot \}$.

Симплектические листы $A^{*}$ являются кокасательными расслоениями алгеброидных орбит ${\mathcal {O}}\subseteq A$; эквивалентно, если $A$ интегрируемо с группоидом Ли ${\mathcal {G}}\rightrightarrows M$, они являются компонентами связности орбит кокасательного группоида $T^{*}{\mathcal {G}}\rightrightarrows A^{*}$.

Для $M=\{*\}$ восстанавливаются линейные пуассоновские структуры, а для $A=TM$ послойно линейная пуассоновская структура является невырожденной структурой, заданной канонической симплектической структурой кокасательного расслоения $T^{*}M$.

Другие примеры и конструкции

• Любое постоянное бивекторное поле в векторном пространстве автоматически является структурой Пуассона; действительно, все три члена якобиатора равны нулю, поскольку являются скобкой с постоянной функцией.
• Любое бивекторное поле на двумерном многообразии автоматически является структурой Пуассона; действительно, $[\pi ,\pi ]$ представляет собой 3-векторное поле, которое всегда равно нулю в размерности 2.
• Учитывая любое бивекторное поле Пуассона $\pi$ на трехмерном многообразии $M$, бивекторное поле $f\pi$, для любого $f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)$, автоматически является Пуассоновым.
• Декартово произведение $(M_{0}\times M_{1},\pi _{0}\times \pi _{1})$ двух многообразий Пуассона $(M_{0},\pi _{0})$ и $(M_{1},\pi _{1})$ снова является многообразием Пуассона.
• Позволять ${\mathcal {F}}$ быть (правильным) слоением размерности $2r$ на $M$ и $\omega \in {\Omega ^{2}}({\mathcal {F}})$ двуформа закрытого слоения, для которой степень $\omega ^{r}$ никуда не исчезает. Это однозначно определяет регулярную пуассоновскую структуру на $M$ требуя симплектических слоев $\pi$ быть листьями $S$ из ${\mathcal {F}}$ оснащен индуцированной симплектической формой $\omega |_{S}$.
• Позволять $G$ группа Ли, действующая на многообразии Пуассона $(M,\pi )$ диффеоморфизмами Пуассона. Если действие свободное и правильное , фактормногообразие $M/G$ наследует структуру Пуассона $\pi _{M/G}$ от $\pi$ (а именно, он единственный такой, при котором погружение $(M,\pi )\to (M/G,\pi _{M/G})$ является отображением Пуассона).

Когомологии Пуассона

Группы когомологий Пуассона $H^{k}(M,\pi )$ пуассоновского многообразия являются группами когомологий коцепного комплекса $$\ldots \xrightarrow {d_{\pi }} {\mathfrak {X}}^{\bullet }(M)\xrightarrow {d_{\pi }} {\mathfrak {X}}^{\bullet +1}(M)\xrightarrow {d_{\pi }} \ldots \color {white}{\sum ^{i}}$$

где оператор $d_{\pi }=[\pi ,-]$ представляет собой скобку Схоутена-Ниенхейса с $\pi$. Обратите внимание, что такую ​​последовательность можно определить для каждого бивектора на $M$; состояние $d_{\pi }\circ d_{\pi }=0$ эквивалентно $[\pi ,\pi ]=0$, то есть $M$ будучи Пуассоном.

Используя морфизм $\pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM$, получается морфизм из комплекса де Рама $(\Omega ^{\bullet }(M),d_{dR})$ к комплексу Пуассона $({\mathfrak {X}}^{\bullet }(M),d_{\pi })$, индуцируя групповой гомоморфизм $H_{dR}^{\bullet }(M)\to H^{\bullet }(M,\pi )$. В невырожденном случае это становится изоморфизмом, так что когомологии Пуассона симплектического многообразия полностью восстанавливают свои когомологии де Рама .

Когомологии Пуассона в целом сложно вычислить, но группы низкой степени содержат важную геометрическую информацию о структуре Пуассона:

• $H^{0}(M,\pi )$ – пространство функций Казимира , т.е. гладких функций, коммутирующих по Пуассону со всеми остальными (или, что то же самое, гладких функций, постоянных на симплектических слоях);
• $H^{1}(M,\pi )$ – пространство векторных полей Пуассона по модулю гамильтоновых векторных полей;
• $H^{2}(M,\pi )$ – пространство бесконечно малых деформаций пуассоновой структуры по модулю тривиальных деформаций;
• $H^{3}(M,\pi )$ - это пространство препятствий для расширения бесконечно малых деформаций до реальных деформаций.

Модульный класс

Модульный класс пуассоновского многообразия — это класс первой группы когомологий Пуассона, который является препятствием к существованию формы объема , инвариантной относительно гамильтоновых потоков. Его представил Кошул и Вайнштейн.

Напомним, что дивергенция векторного поля $X\in {\mathfrak {X}}(M)$ относительно заданной формы объема $\lambda$ это функция ${\rm {div}}_{\lambda }(X)\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ определяется ${\rm {div}}_{\lambda }(X)={\frac {{\mathcal {L}}_{X}\lambda }{\lambda }}$. Модульное векторное поле пуассоновского многообразия относительно формы объема $\lambda$, – векторное поле $X_{\lambda }$ определяется дивергенцией гамильтоновых векторных полей: $X_{\lambda }:f\mapsto {\rm {div}}_{\lambda }(X_{f})$.

Модульное векторное поле является 1-пуассоновым коциклом, т. е. оно удовлетворяет условию ${\mathcal {L}}_{X_{\lambda }}\pi =0$. Более того, учитывая две формы объема $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$, разница $X_{\lambda _{1}}-X_{\lambda _{2}}$ является гамильтоновым векторным полем. Соответственно, класс когомологий Пуассона $[X_{\lambda }]_{\pi }\in H^{1}(M,\pi )$ не зависит от первоначального выбора формы объема $\lambda$, и он называется модулярным классом многообразия Пуассона.

Пуассоновое многообразие называется унимодулярным, если его модульный класс обращается в нуль. Обратите внимание, что это происходит тогда и только тогда, когда существует форма тома. $\lambda$ такое, что модульное векторное поле $X_{\lambda }$ исчезает, т.е. ${\rm {div}}_{\lambda }(X_{f})=0$ для каждого $f$; другими словами, $\lambda$ инвариантен относительно потока любого гамильтонова векторного поля. Например:

• Симплектические структуры всегда унимодулярны, поскольку форма Лиувилля инвариантна относительно всех гамильтоновых векторных полей;
• Для линейных пуассоновских структур модульный класс — это бесконечно малый модульный характер ${\mathfrak {g}}$, поскольку модульное векторное поле, связанное со стандартной мерой Лебега на ${\mathfrak {g}}^{*}$ — постоянное векторное поле на ${\mathfrak {g}}^{*}$. Затем ${\mathfrak {g}}^{*}$ унимодулярно как многообразие Пуассона тогда и только тогда, когда оно унимодулярно как алгебра Ли;
• Для регулярных пуассоновских структур модульный класс связан с классом Риба базового симплектического слоения (элемент первой полистной группы когомологий, который препятствует существованию объемной нормальной формы, инвариантной векторным полям, касательным к слоению).

Гомологии Пуассона

Когомологии Пуассона были введены в 1977 году самим Лихнеровичем; десятилетие спустя Брылинский представил теорию гомологии пуассоновских многообразий, используя оператор $\partial _{\pi }=[d,\iota _{\pi }]$.

Было доказано несколько результатов, касающихся гомологии и когомологии Пуассона. Например, для ориентируемых унимодулярных пуассоновых многообразий пуассоновы гомологии оказываются изоморфными пуассоновским когомологиям: это было независимо доказано Сюй и Эванс-Лу-Вайнштейн.

Карты Пуассона

Гладкая карта $\varphi :M\to N$ между многообразиями Пуассона называется Отображение Пуассона , если оно соблюдает структуры Пуассона, т.е. выполняется одно из следующих эквивалентных условий (сравните с эквивалентными определениями структур Пуассона выше):

• скобки Пуассона $\{\cdot ,\cdot \}_{M}$ и $\{\cdot ,\cdot \}_{N}$ удовлетворить ${\{f,g\}_{N}}(\varphi (x))={\{f\circ \varphi ,g\circ \varphi \}_{M}}(x)$ для каждого $x\in M$ и плавные функции $f,g\in {C^{\infty }}(N)$
• бивекторные поля $\pi _{M}$ и $\pi _{N}$ являются $\varphi$-связанный, т.е. $\pi _{N}=\varphi _{*}\pi _{M}$
• векторные поля Гамильтона, связанные с каждой гладкой функцией $H\in {\mathcal {C}}^{\infty }(N)$ являются $\varphi$-связанный, т.е. $X_{H}=\varphi _{*}X_{H\circ \phi }$
• дифференциал $d\varphi :(TM,{\rm {Graph}}(\pi _{M}))\to (TN,{\rm {Graph}}(\pi _{N}))$ является морфизмом Дирака.

. антипуассоновское отображение Аналогичным условиям со знаком минус на одной стороне удовлетворяет

Многообразия Пуассона являются объектами категории ${\mathfrak {Poiss}}$, с отображениями Пуассона как морфизмами. Если отображение Пуассона $\varphi :M\to N$ также является диффеоморфизмом, то мы называем $\varphi$ Пуассон -диффеоморфизм .

Примеры

• Учитывая произведение Пуассона, $(M_{0}\times M_{1},\pi _{0}\times \pi _{1})$, канонические проекции $\mathrm {pr} _{i}:M_{0}\times M_{1}\to M_{i}$, для $i\in \{0,1\}$, являются отображениями Пуассона.
• Отображение включения симплектического слоя или открытого подпространства является отображением Пуассона.
• Даны две алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ и ${\mathfrak {h}}$, двойственный любому гомоморфизму алгебры Ли ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}$ индуцирует отображение Пуассона ${\mathfrak {h}}^{*}\to {\mathfrak {g}}^{*}$ между их линейными структурами Пуассона.
• Даны два алгеброида Ли. $A\to M$ и $B\to M$, двойственный любому алгеброидному морфизму Ли $A\to B$ над тождеством индуцирует отображение Пуассона $B^{*}\to A^{*}$ между их послойно-линейной структурой Пуассона.

Следует заметить, что понятие отображения Пуассона принципиально отличается от понятия симплектического отображения . Например, с их стандартными симплектическими структурами не существует отображений Пуассона. $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}$, тогда как симплектических отображений предостаточно.

Симплектические реализации

Симплектическая реализация на пуассоновом многообразии M состоит из симплектического многообразия $(P,\omega )$ вместе с картой Пуассона $\phi :(P,\omega )\to (M,\pi )$ что является сюръективным погружением. Грубо говоря, роль симплектической реализации состоит в том, чтобы «десингуляризировать» сложное (вырожденное) многообразие Пуассона путем перехода к большему, но более простому (невырожденному) многообразию.

Обратите внимание, что некоторые авторы определяют симплектические реализации без этого последнего условия (так, например, включение симплектического слоя в пуассоновское многообразие является примером) и называют полной симплектическую реализацию, где $\phi$ представляет собой сюръективное погружение. Примеры (полных) симплектических реализаций включают следующее:

• Для тривиальной структуры Пуассона $(M,0)$, принимают за $P$ котангенс расслоение $T^{*}M$, с его канонической симплектической структурой , и поскольку $\phi$проекция $T^{*}M\to M$.
• Для невырожденной пуассоновской структуры $(M,\omega )$ человек принимает как $P$ многообразие $M$ себя и как $\phi$ личность $M\to M$.
• Для структуры Ли-Пуассона на ${\mathfrak {g}}^{*}$, принимают за $P$ котангенс расслоение $T^{*}G$ группы Ли $G$ интеграция ${\mathfrak {g}}$ и как $\phi$ двойная карта $\phi :T^{*}G\to {\mathfrak {g}}^{*}$ дифференциала в тождестве (левого или правого) перевода $G\to G$.

Симплектическая реализация $\phi$ называется полным , если для любого полного гамильтонова векторного поля $X_{H}$, векторное поле $X_{H\circ \phi }$ также завершен. Хотя симплектические реализации всегда существуют для каждого многообразия Пуассона (и доступно несколько различных доказательств), полные — нет, и их существование играет фундаментальную роль в проблеме интегрируемости пуассоновских многообразий (см. ниже).

Интегрирование многообразий Пуассона

Любое многообразие Пуассона $(M,\pi )$ индуцирует структуру алгеброида Ли на его кокасательном расслоении $T^{*}M\to M$, также называемый котангенсным алгеброидом . Карта привязки задается $\pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM$ в то время как скобка Ли включена $\Gamma (T^{*}M)=\Omega ^{1}(M)$ определяется как $$[\alpha ,\beta ]:={\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\alpha )}(\beta )-\iota _{\pi ^{\sharp }(\beta )}d\alpha ={\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\alpha )}(\beta )-{\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\beta )}(\alpha )-d\pi (\alpha ,\beta ).$$Некоторые понятия, определенные для пуассоновских многообразий, можно интерпретировать через его алгеброид Ли. $T^{*}M$:

• симплектическое слоение — обычное (сингулярное) слоение, индуцированное якорем алгеброида Ли;
• симплектические листы — это орбиты алгеброида Ли;
• структура Пуассона на $M$ регулярен именно тогда, когда ассоциированный алгеброид Ли $T^{*}M$ является;
• группы когомологий Пуассона совпадают с группами алгеброидных когомологий Ли $T^{*}M$ с коэффициентами в тривиальном представлении;
• модульный класс пуассоновского многообразия совпадает с модулярным классом ассоциированного алгеброида Ли $T^{*}M$.

Крайне важно отметить, что алгеброид Ли $T^{*}M$ не всегда интегрируемо с группоидом Ли.

Симплектические группоиды

А симплектический группоид является группоидом Ли ${\mathcal {G}}\rightrightarrows M$ вместе с симплектической формой $\omega \in \Omega ^{2}({\mathcal {G}})$ который также является мультипликативным, т. е. удовлетворяет следующей алгебраической совместимости с группоидным умножением: $m^{*}\omega ={\rm {pr}}_{1}^{*}\omega +{\rm {pr}}_{2}^{*}\omega$. Аналогично, график $m$ предполагается, что это подмногообразие лагранжево $({\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}},\omega \oplus \omega \oplus -\omega )$. Среди нескольких последствий размер ${\mathcal {G}}$ автоматически в два раза больше размера $M$. Понятие симплектического группоида было введено в конце 80-х годов независимо несколькими авторами.

Фундаментальная теорема утверждает, что базовое пространство любого симплектического группоида допускает уникальную структуру Пуассона. $\pi$ так, что исходная карта $s:({\mathcal {G}},\omega )\to (M,\pi )$ и целевая карта $t:({\mathcal {G}},\omega )\to (M,\pi )$ являются соответственно отображением Пуассона и антипуассоновым отображением. Более того, алгеброид Ли ${\rm {Lie}}({\mathcal {G}})$ изоморфен кокасательному алгеброиду $T^{*}M$ связанный с многообразием Пуассона $(M,\pi )$. Обратно, если коткасательное расслоение $T^{*}M$ многообразия Пуассона интегрируется с некоторым группоидом Ли ${\mathcal {G}}\rightrightarrows M$, затем ${\mathcal {G}}$ автоматически является симплектическим группоидом.

Соответственно, проблема интегрируемости пуассоновского многообразия состоит в нахождении (симплектического) группоида Ли, интегрирующего свой котангенсный алгеброид; когда это происходит, структура Пуассона называется интегрируемой .

Хотя любое многообразие Пуассона допускает локальное интегрирование (т. е. симплектический группоид, где умножение определено только локально), существуют общие топологические препятствия к его интегрируемости, вытекающие из теории интегрируемости алгеброидов Ли. Используя такие препятствия, можно показать, что пуассоновское многообразие интегрируемо тогда и только тогда, когда оно допускает полную симплектическую реализацию.

Кандидат $\Pi (M,\pi )$ для симплектического группоида, интегрирующего данное пуассоновское многообразие $(M,\pi )$ называется гомотопическим группоидом Пуассона и представляет собой просто группоид Вайнштейна кокасательного алгеброида $T^{*}M\to M$, состоящий из фактора банахова пространства специального класса путей в $T^{*}M$ подходящим эквивалентным отношением. Эквивалентно, $\Pi (M,\pi )$ можно описать как бесконечномерный симплектический фактор .

Примеры интеграций

• Тривиальная структура Пуассона $(M,0)$ всегда интегрируем, симплектический группоид представляет собой расслоение абелевых (аддитивных) групп. $T^{*}M\rightrightarrows M$ с канонической симплектической формой.
• Невырожденная пуассоновская структура на $M$ всегда интегрируем, причем симплектический группоид является парным группоидом $M\times M\rightrightarrows M$ вместе с симплектической формой $s^{*}\omega -t^{*}\omega$ (для $\pi ^{\sharp }=(\omega ^{\flat })^{-1}$).
• Структура Ли-Пуассона на ${\mathfrak {g}}^{*}$ всегда интегрируем, симплектический группоид является группоидом ( коприсоединенного ) действия. $G\times {\mathfrak {g}}^{*}\rightrightarrows {\mathfrak {g}}^{*}$, для $G$ односвязное ​ интегрирование ${\mathfrak {g}}$вместе с канонической симплектической формой $T^{*}G\cong G\times {\mathfrak {g}}^{*}$.
• Структура Ли-Пуассона на $A^{*}$ интегрируемо тогда и только тогда, когда алгеброид Ли $A\to M$ интегрируемо с группоидом Ли ${\mathcal {G}}\rightrightarrows M$, симплектический группоид является кокасательным группоидом $T^{*}{\mathcal {G}}\rightrightarrows A^{*}$ с канонической симплектической формой.

Подмногообразия

Пуассона Подмногообразие ​ $(M,\pi )$ представляет собой погруженное подмногообразие $N\subseteq M$ такая, что карта погружения $(N,\pi _{\mid N})\hookrightarrow (M,\pi )$ является отображением Пуассона. Эквивалентно, можно спросить, что каждое гамильтоново векторное поле $X_{f}$, для $f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)$, касается $N$.

Это определение очень естественно и удовлетворяет нескольким хорошим свойствам, например, поперечное пересечение двух подмногообразий Пуассона снова является подмногообразием Пуассона. Однако у него есть и несколько проблем:

• Подмногообразия Пуассона редки: например, единственные подмногообразия Пуассона симплектического многообразия - это открытые множества;
• определение не ведет себя функториально: если $\Phi :(M,\pi _{M})\to (N,\pi _{N})$ является отображением Пуассона, трансверсальным подмногообразию Пуассона. $Q$ из $N$, подмногообразие $\Phi ^{-1}(Q)$ из $M$ не обязательно Пуассон.

Чтобы преодолеть эти проблемы, часто используют понятие трансверсали Пуассона (первоначально называемое косимплектическим подмногообразием). Это можно определить как подмногообразие $X\subseteq M$ который трансверсален каждому симплектическому листу $S$ и такой, что пересечение $X\cap S$ является симплектическим подмногообразием $(S,\omega _{S})$. Отсюда следует, что любая трансверсаль Пуассона $X\subseteq (M,\pi )$ наследует каноническую структуру Пуассона $\pi _{X}$ от $\pi$. В случае невырожденного пуассоновского многообразия $(M,\pi )$ (единственный симплектический лист которого $M$ само по себе), трансверсали Пуассона — это то же самое, что и симплектические подмногообразия.

Более общие классы подмногообразий играют важную роль в геометрии Пуассона, включая подмногообразия Ли – Дирака, подмногообразия Пуассона – Дирака, коизотропные подмногообразия и предпуассоновы подмногообразия.

См. также

• Многообразие Намбу – Пуассона
• Группа Пуассона – Ли
• Супермногообразие Пуассона

Книги и обзоры

• Бхаскара, Х.; Вишванат, К. (1988). Алгебры Пуассона и многообразия Пуассона . Лонгман. ISBN  0-582-01989-3 .
• Каннас-да-Сильва, Ана ; Вайнштейн, Алан (1999). Геометрические модели некоммутативных алгебр . Конспекты лекций по математике AMS в Беркли, 10.
• Дюфур, Ж.-П.; Зунг, Северная Каролина (2005). Пуассоновские структуры и их нормальные формы . Том. 242. Прогресс Биркхойзера в математике.
• Крайник, Мариус ; Лоха Фернандес, Руи ; Маркуц, Иоанн (2021). Лекции по геометрии Пуассона . Аспирантура по математике . Американское математическое общество . ISBN  978-1-4704-6667-1 . Предыдущая версия доступна на [1] .
• Гиймен, Виктор ; Штернберг, Шломо (1984). Симплектические методы в физике . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-24866-3 .
• Либерманн, Полетт ; Марле, К.-М. (1987). Симплектическая геометрия и аналитическая механика . Дордрехт: Рейдель. ISBN  90-277-2438-5 .
• Вайсман, Идзу (1994). Лекции по геометрии пуассоновских многообразий . Биркхойзер. См. также обзор Пин Сюй в Бюллетене АМС.
• Вайнштейн, Алан (1998). «Геометрия Пуассона» . Дифференциальная геометрия и ее приложения . 9 (1–2): 213–238. дои : 10.1016/S0926-2245(98)00022-9 .