Измерительная коалгебра
В алгебре двух измерительная коалгебра алгебр A и B — это коалгебра обогащающая множество гомоморфизмов из A в B. , Другими словами, если коалгебры рассматривать как своего рода линейный аналог множеств, то измерительная коалгебра является своего рода линейным аналогом множества гомоморфизмов из A в B . В частности, его группоподобными элементами являются (по существу) гомоморфизмы из A в B . Измерительные коалгебры были введены Свидлером ( 1968 , 1969 ).
Определение [ править ]
Говорят, что коалгебра C с линейным отображением из C × A в B измеряет A в B, если она сохраняет произведение алгебры и единицу (в смысле коалгебры). Если мы думаем об элементах C как о линейных отображениях из A в B , это означает, что c ( a 1 a 2 ) = Σ c 1 ( a 1 ) c 2 ( a 2 ), где Σ c 1 ⊗ c 2 - совместное произведение c c , и умножает тождества на единицу c . В частности, если c является групповым, это просто утверждает, что c является гомоморфизмом из A в B . Измерительная коалгебра — это универсальная коалгебра, измеряющая от A до B в том смысле, что любая коалгебра, измеряющая от A до B, может быть отображена в нее уникальным естественным способом.
Примеры [ править ]
- Групповые элементы измерительной коалгебры от A до B являются гомоморфизмами от A до B .
- Примитивными элементами измерительной коалгебры от A до B являются дифференцирования A к B. от
- Если A — алгебра непрерывных действительных функций на хаусдорфовом пространстве X , а B действительные числа, то измерительную коалгебру от A до B можно отождествить с мерами с конечным носителем на X. — Возможно, отсюда и произошел термин «измерительная коалгебра».
- В частном случае, когда = B , измерительная коалгебра имеет естественную структуру алгебры Хопфа , называемую алгеброй Хопфа алгебры A. A
Ссылки [ править ]
- Хазевинкель, Мишель; Губарени, Надежда; Кириченко В.В. (2010), Алгебры, кольца и модули. Алгебры Ли и алгебры Хопфа , Математические обзоры и монографии, вып. 168, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-5262-0 , МР 2724822 , Збл 1211.16023
- Свидлер, Мосс Э. (1968), «Алгебра Хопфа алгебры, применяемой к теории поля», J. Algebra , 8 (3): 262–276, doi : 10.1016/0021-8693(68)90059-8 , MR 0222053
- Свидлер, Мосс Э. (1969), Алгебры Хопфа , Серия лекций по математике, WA Benjamin, Inc., Нью-Йорк, ISBN 9780805392548 , МР 0252485 , Збл 0194.32901