Теорема о двойном централизаторе

В разделе абстрактной алгебры , называемом теорией колец , теорема о двойном централизаторе может относиться к любому из нескольких подобных результатов. Эти результаты касаются централизатора подкольца S кольца R , обозначенного C _R ( S в этой статье ). Это всегда тот случай, когда CR _CR ( , _S ( ) содержит S двойном централизаторе дает условия на R и S которые гарантируют, что ( _CR CR ( _S ) ) ) равен S. теорема о , а

Утверждения теоремы

Мотивация

Централизатор подкольца S кольца R задается формулой

$\mathrm {C} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=sr{\text{ for all }}s\in S\}.\,$

Очевидно, C _R ( C _R ( S )) ⊇ S , но не всегда можно сказать, что эти два множества равны. Теоремы о двойном централизаторе дают условия, при которых можно заключить, что равенство имеет место.

Есть еще один особый случай, представляющий интерес. Пусть M правый R- модуль и задайте M естественную структуру левого E -модуля, где E — End( M ), кольцо эндоморфизмов абелевой группы M. — Каждое отображение m _r, заданное формулой m _r ( x ) = xr, аддитивный эндоморфизм M , то есть элемент E. создает Отображение r → m _r является кольцевым гомоморфизмом кольца R кольцо E , и мы обозначаем образ R внутри E через RM _в . Можно проверить, что этого канонического отображения является аннулятор Ann( MR _ядром ). Следовательно, по об изоморфизме изоморфно фактор _{колец RM} -кольцу R /Ann( MR _{теореме} ). Очевидно, что когда M — точный модуль , R и RM _— изоморфные кольца.

теперь E — кольцо с RM _может в качестве подкольца, и ( _CE RM ) _{Итак ,} образоваться определению можно проверить, что E ₍ RM ) _C = End( MR _{. По} ), кольцо R модулей M. эндоморфизмов Таким образом, если окажется, что C _E ( C _E ( RM ₎ ) = RM _, это то же самое, что сказать C _E (End( MR ₎ ) RM ₌ .

Центральные простые алгебры

Возможно, наиболее распространенной версией является версия для центральных простых алгебр , как она появляется в ( Knapp 2007 , стр.115):

Теорема : Если A — конечномерная центральная простая алгебра над полем F и B — простая подалгебра в A , то C _A ( CA ₍ , B )) = B и, более того, размерности удовлетворяют условиям

$\mathrm {dim} _{F}(B)\cdot \mathrm {dim} _{F}(\mathrm {C} _{A}(B))=\mathrm {dim} _{F}(A).\,$

Артиновые кольца

Следующая обобщенная версия для артиновых колец (которые включают конечномерные алгебры) появляется в ( Isaacs 2009 , стр.187). Учитывая простой R- UR , _модуль мы позаимствуем обозначения из приведенного выше раздела мотивации, включая и _RU E = End( U ). Дополнительно будем писать D =End( UR _{состоящего} ) для подкольца E, из R -гомоморфизмов. По Шура лемме D — тело .

Теорема : Пусть R — артиново справа кольцо с простым правым модулем UR _абзаце и пусть RU _. , D и E заданы, как в предыдущем Затем

$R_{U}=\mathrm {C} _{E}(\mathrm {C} _{E}(R_{U}))\,$.

Примечания

• В этой версии кольца выбраны с целью доказательства теоремы плотности Джекобсона . Обратите внимание: в отличие от версии центральной простой алгебры, из него делается лишь вывод о том, что конкретное подкольцо обладает свойством централизатора.
• Поскольку алгебры обычно определяются над коммутативными кольцами, а все упомянутые выше кольца могут быть некоммутативными, ясно, что алгебры не обязательно задействованы.
• Если U — дополнительно точный модуль , так что R — примитивное справа кольцо , то RU _— изоморфное R. кольцо ,

Полиномиальные единичные кольца

В ( Rowen 1980 , стр.154) дана версия для полиномиальных единичных колец . Обозначение Z( R ) будет использоваться для обозначения центра кольца R .

Теорема : Если R — простое полиномиальное единичное кольцо, а A — простая Z( R ) подалгебра в R , то C _R ( C _R ( A )) = A .

Примечания

• Эту версию можно рассматривать как «между» версией центральной простой алгебры и версией артинова кольца. Это связано с тем, что простые полиномиальные единичные кольца артиновы, но в отличие от артиновой версии вывод по-прежнему относится ко всем центральным простым подкольцам R .

Алгебры фон Неймана

Теорема фон Неймана о бикоммутанте утверждает, что *-подалгебра A алгебры ограниченных операторов B ( H ) в гильбертовом пространстве H является алгеброй фон Неймана (т. е. слабо замкнутой ) тогда и только тогда, когда A = C _{B ( H )} C _{Б ( Ч )} (А).

Свойство двойного центратора

Основная статья: Сбалансированный модуль

двойного централизатора Говорят, что модуль M обладает или является сбалансированным модулем если C _E ( C _E ( RM ₎ ) = RM _, , где E = End( M ) и RM _{свойством} такие, как указано в разделе мотивации. В этой терминологии артинова кольцевая версия теоремы о двойном централизаторе утверждает, что простые правые модули для правых артиновых колец являются сбалансированными модулями.

Ссылки

• Айзекс, И. Мартин (2009), Алгебра: аспирантура , Аспирантура по математике , вып. 100, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. xii+516, ISBN.  978-0-8218-4799-2 , MR   2472787 Перепечатка оригинала 1994 года.
• Кнапп, Энтони В. (2007), Продвинутая алгебра , Cornerstones, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston Inc., стр. xxiv+730, ISBN  978-0-8176-4522-9 , МР   2360434
• Роуэн, Луи Галле (1980), Полиномиальные тождества в теории колец , Чистая и прикладная математика, том. 84, Нью-Йорк: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], стр. xx+365, ISBN.  0-12-599850-3 , МР   0576061