Теория представлений групп диффеоморфизмов

В математике источником теории представлений группы диффеоморфизмов многообразия связного гладкого M M является первоначальное наблюдение о том, что (для ) эта группа действует транзитивно на M .

История

1975 года по этой теме В обзорной статье Анатолия Вершика , Исраэля Гельфанда и М.И. Граева первоначальный интерес к этой теме объясняется исследованиями по теоретической физике алгебры локальных токов в предшествующие годы . Исследования представлений конечной конфигурации проводились в работах Р. С. Исмагилова (1971) и А. А. Кириллова (1974). Представления, представляющие интерес в физике, описываются как векторное произведение C ^∞ ( М ) · Диф( М ).

Конструкции

Пусть поэтому M — n -мерное связное дифференцируемое многообразие и x — любая точка на нем. Пусть Diff( M ) — сохраняющая ориентацию диффеоморфизмов группа M (если хотите, только единичная компонента отображений, гомотопных тождественному диффеоморфизму) и Diff _x ¹ ( M ) стабилизатор x ​ . Тогда M идентифицируется как однородное пространство

Разница( M )/Разность _x ¹ ( М ).

Вместо этого с алгебраической точки зрения, $C^{\infty }(M)$ — алгебра функций гладких над M и $I_{x}(M)$ — идеал гладких функций, исчезающих в точке x . Позволять $I_{x}^{n}(M)$ быть идеалом гладких функций, которые обращаются в нуль с точностью до n-1-й частной производной в точке x . $I_{x}^{n}(M)$ инвариантен относительно группы Diff _x ¹ ( M ) диффеоморфизмов, фиксирующих x. При n > 0 группа Diff _x ^н ( M ) определяется как подгруппа Diff _x ¹ ( M ) который действует как тождество на $I_{x}(M)/I_{x}^{n}(M)$. Итак, у нас есть нисходящая цепочка

Дифф( M ​​) ⊃ Дифф _x ¹ (M) ⊃ ... ⊃ Diff _x ^н ( М ) ⊃ ...

Здесь разница _х ^н ( M ) — нормальная подгруппа Diff _x ¹ ( M ), что означает, что мы можем посмотреть на факторгруппу

Разница _х ¹ ( M )/Разница _x ^н ( М ).

Используя гармонический анализ , действительную или комплекснозначную функцию (с некоторыми достаточно хорошими топологическими свойствами) на группе диффеоморфизмов можно разложить на Diff _x ¹ ( M ) функции с представлением значений над M .

Поставка представительств

Итак, каковы представления Diff _x ¹ ( М )? Воспользуемся тем, что если у нас есть групповой гомоморфизм φ: G → H , то при наличии H -представления мы можем получить ограниченное G -представление. Итак, если у нас есть представитель

Разница _х ¹ ( M )/Разница _x ^н ( М ),

мы можем получить представление Diff _x ¹ ( М ).

Давайте посмотрим на

Разница _х ¹ ( M )/Разница _x ² ( М )

первый. Она изоморфна общей линейной группе GL ⁺ ( n , R ) (и поскольку мы рассматриваем только диффеоморфизмы, сохраняющие ориентацию, поэтому определитель положителен). Какие представители GL ⁺ ( н , р )?

$GL^{+}(n,\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{+}\times SL(n,\mathbb {R} )$.

Мы знаем, что представители SL( n , R ) являются просто тензорами по n измерениям. Как насчет Р? ⁺ часть? Это соответствует плотности как тензор масштабируется под определителем якобиана или, другими словами, тому , диффеоморфизма в точке x . (Если хотите, думайте об этом как о конформном весе , за исключением того, что здесь нет конформной структуры). (Кстати, ничто не мешает нам иметь сложную плотность).

Итак, мы только что обнаружили тензорные представители (с плотностью) группы диффеоморфизмов.

Давайте посмотрим на

Разница _х ¹ ( M )/Разница _x ^н ( М ).

Это конечномерная группа. У нас есть цепочка

Разница _х ¹ ( M )/Разница _x ¹ ( M ) ⊂ ... ⊂ Дифф _x ¹ ( M )/Разница _x ^н ( М ) ⊂ ...

Здесь знаки «⊂» действительно следует понимать как означающие инъективный гомоморфизм, но, поскольку он каноничен, мы можем притвориться, что эти факторгруппы вложены одна в другую.

Любой представитель

Разница _х ¹ ( M )/Разница _x ^м ( М )

может быть автоматически превращен в копию

Разница _х ¹ /Разница _х ^н ( М )

если п > м . Допустим, у нас есть представитель

Разница _х ¹ /Разница _х ^{р + 2}

который не возникает из-за представителя

Разница _х ¹ /Разница _х ^{р + 1} .

Затем мы называем расслоение с этим представителем волокном ( т. е. Diff _x ¹ /Разница _х ^{р + 2} — структурная группа ) — расслоение струй порядка p .

Дополнительное замечание: на самом деле это метод индуцированных представлений с меньшей группой Diff _x ¹ (M), а большая группа — это Diff( M ).

Переплетающаяся структура

В общем, пространство сечений тензорных и струйных расслоений было бы неприводимым представлением, и мы часто рассматриваем их подпредставления. Мы можем изучить структуру этих повторений, изучая переплетения между ними.

Если слой не является неприводимым представлением Diff _x ¹ ( M ), то мы можем иметь ненулевой переплетатель, отображающий каждый слой поточечно в меньшее факторпредставление . Кроме того, внешняя производная является переплетителем пространства дифференциальных форм в другое пространство более высокого порядка. (Другие производные не инвариантны, поскольку связи не инвариантны относительно диффеоморфизмов, хотя они и ковариантны .) Частная производная не инвариантна к диффеоморфизмам. Существует производный переплетатель, переводящий сечения струйного расслоения порядка p в сечения струйного расслоения порядка p + 1.