Неравенство произведения Вейерштрасса

В математике гласит неравенство произведения Вейерштрасса , что для любых действительных чисел 0 ≤ x ₁ , ..., x _n ≤ 1 мы имеем

$(1-x_{1})(1-x_{2})(1-x_{3})(1-x_{4})....(1-x_{n})\geq 1-S_{n},$

и аналогично для 0 ≤ x ₁ , ..., x _n ,

$(1+x_{1})(1+x_{2})(1+x_{3})(1+x_{4})....(1+x_{n})\geq 1+S_{n},$

где $S_{n}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+....+x_{n}.$

Неравенство названо в честь немецкого математика Карла Вейерштрасса .

Доказательство

Неравенство с вычитаниями можно легко доказать с помощью математической индукции . С дополнениями доказывается тождественно. Мы можем выбрать $n=1$ в качестве базового случая и увидеть, что для этого значения $n$ мы получаем

$1-x_{1}\geq 1-x_{1}$

что действительно так. Предположим теперь, что неравенство справедливо для всех натуральных чисел до $n>1$, для $n+1$ у нас есть:

$\prod _{i=1}^{n+1}(1-x_{i})\,\,=(1-x_{n+1})\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i})$

$\geq (1-x_{n+1})\left(1-\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)$

$=1-\sum _{i=1}^{n}x_{i}-x_{n+1}+x_{n+1}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$

$=1-\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}+x_{n+1}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$

$\geq 1-\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}$

что завершает доказательство.