Аналитический потенциал

В математической дисциплине комплексного анализа аналитическая емкость K компактного подмножества комплексной плоскости — это число, которое обозначает, «насколько большой» ограниченная аналитическая функция на C \ K. может стать Грубо говоря, γ ( K ) измеряет размер единичного шара пространства ограниченных аналитических функций K. вне

Впервые он был введен Ларсом Альфорсом в 1940-х годах при изучении устранимости особенностей ограниченных аналитических функций.

Определение [ править ]

Пусть K ⊂ C компактен . Тогда его аналитическая емкость определяется как

\gamma (K)=\sup\{|f'(\infty )|;\ f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbf {C} \setminus K),\ \|f\|_{\infty }\leq 1,\ f(\infty )=0\}

Здесь, ${\mathcal {H}}^{\infty }(U)$ обозначает множество ограниченных аналитических функций U → C , если U — открытое подмножество комплексной плоскости . Дальше,

f'(\infty ):=\lim _{z\to \infty }z\left(f(z)-f(\infty )\right)

f(\infty ):=\lim _{z\to \infty }f(z)

Обратите внимание, что $f'(\infty )=g'(0)$ , где $g(z)=f(1/z)$ . Однако обычно $f'(\infty )\neq \lim _{z\to \infty }f'(z)$ .

Эквивалентно, аналитическая способность может быть определена как ^[1]

\gamma (K)=\sup \left|{\frac {1}{2\pi }}\int _{C}f(z)dz\right|

где C — контур, охватывающий K , и верхняя грань берется над f, удовлетворяющим тем же условиям, что и выше: f ограничена, аналитична вне K , граница равна единице и $f(\infty )=0.$

Если A ⊂ C — произвольное множество, то определим

\gamma (A)=\sup\{\gamma (K):K\subset A,\,K{\text{ compact}}\}.

Пенлеве Съемные и проблема множества

Компакт K называется устранимым , если всякий раз, когда Ω — открытое множество, содержащее K , каждая функция, ограниченная и голоморфная на множестве Ω \ K, имеет аналитическое продолжение на все Ω. По теореме Римана об устранимых особенностях каждый синглтон устраним. Это побудило Пенлеве задать в 1880 году более общий вопрос: «Какие подмножества C устранимы?»

Легко видеть, что K устранимо тогда и только тогда, когда γ ( K ) = 0. Однако аналитическая емкость — это чисто комплексно-аналитическое понятие, и необходимо проделать гораздо больше работы, чтобы получить более геометрическую характеристику.

Функция Альфорса [ править ]

Для каждого компакта K ⊂ C существует единственная экстремальная функция, т.е. $f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbf {C} \setminus K)$ такой, что $\|f\|\leq 1$ , f (∞) = 0 и f′ (∞) = γ ( K ). функция называется функцией Альфорса K Эта . Его существование можно доказать, используя обычный семейный аргумент, включающий теорему Монтеля .

Аналитические способности с точки измерения зрения Хаусдорфа

Пусть dim _H обозначает хаусдорфову размерность , а H ¹ обозначим одномерную меру Хаусдорфа . Тогда Х ¹( K ) = 0 подразумевает γ ( K ) = 0 , а dim _H ( K ) > 1 гарантирует γ ( K ) > 0. Однако случай, когда dim _H ( K ) = 1 и H ¹( K ) ∈ (0, ∞] сложнее.

Положительная длина, но способность аналитическая нулевая

Учитывая частичное соответствие между одномерной мерой Хаусдорфа компактного подмножества C и его аналитической емкостью, можно предположить, что из γ ( K ) = 0 следует H ¹( K ) = 0. Однако эта гипотеза неверна. Контрпример впервые был приведен А. Г. Витушкиным , а гораздо более простой — Джоном Б. Гарнеттом в его статье 1970 года. Последний пример представляет собой линейное четырехугольное множество Кантора , построенное следующим образом:

Пусть K ₀ := [0, 1] × [0, 1] — единичный квадрат. Тогда K ₁ представляет собой объединение 4 квадратов со стороной 1/4 и эти квадраты расположены в углах K ₀ . В общем случае K _n представляет собой объединение 4 ^н квадраты (обозначаются $Q_{n}^{j}$ ) длины стороны 4 ^{− п}, каждый $Q_{n}^{j}$ находясь в углу какого-то $Q_{n-1}^{k}$ . Возьмем K за пересечение всех K _n, тогда $H^{1}(K)={\sqrt {2}}$ но γ ( K ) = 0.

Гипотеза Витушкина [ править ]

Пусть K ⊂ C — компакт. Гипотеза Витушкина утверждает, что

\gamma (K)=0\ \iff \ \int _{0}^{\pi }{\mathcal {H}}^{1}(\operatorname {proj} _{\theta }(K))\,d\theta =0

где $\operatorname {proj} _{\theta }(x,y):=x\cos \theta +y\sin \theta$ обозначает ортогональную проекцию в направлении θ. Согласно описанным выше результатам, гипотеза Витушкина верна, когда dim _H K ≠ 1.

Гай Дэвид опубликовал в 1998 году доказательство гипотезы Витушкина для случая dim _H K = 1 и H ¹( К ) < ∞. В 2002 году Ксавье Толса доказал, что аналитическая емкость счетно полуаддитивна. То есть существует абсолютная константа C > 0 такая, что если K ⊂ C — компакт и $K=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i}$ , где каждое K _i является борелевским множеством, то $\gamma (K)\leq C\sum _{i=1}^{\infty }\gamma (K_{i})$ .

Теоремы Дэвида и Толсы вместе подразумевают, что гипотеза Витушкина верна, когда K равно H. ¹- сигма-конечный .

В не H ¹-сигма-конечный случай, Пертти Маттила доказал в 1986 году. ^[2] что гипотеза ложна, но в его доказательстве не указано, какое из последствий гипотезы неверно. Последующая работа Джонса и Мюрэя ^[3] привел пример множества с нулевой длиной Фавара и положительной аналитической емкостью, явно опровергнув одно из направлений гипотезы. По состоянию на 2023 год неизвестно, верен ли другой вывод, но был достигнут некоторый прогресс в направлении положительного ответа Чанга и Толсы. ^[4]

См. также [ править ]

Емкость набора - в евклидовом пространстве мера «размера» этого набора.
Конформный радиус

Ссылки [ править ]

^ Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Ёмкость» , Энциклопедия Математики , EMS Press
^ Маттила, Пертти (1986). «Гладкие карты, нулевые множества для интегрально-геометрической меры и аналитической способности» . Анналы математики . 123 (2): 303–309. дои : 10.2307/1971273 . ISSN 0003-486X .
^ Джонс, Питер В.; Мурай, Такафуми. «Положительная аналитическая способность, но нулевая вероятность иглы Бюффона» (PDF) . Тихоокеанский математический журнал . 133 (1): 99–114.
^ Чанг, Алан; Толса, Ксавье (05.10.2020). «Аналитический потенциал и прогнозы» . Журнал Европейского математического общества . 22 (12): 4121–4159. arXiv : 1712.00594 . дои : 10.4171/JEMS/1004 . ISSN 1435-9855 .

Маттила, Пертти (1995). Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-65595-1 .
Пажо, Эрве (2002). Аналитическая способность, спрямляемость, кривизна Менгера и интеграл Коши . Конспект лекций по математике. Спрингер-Верлаг.
Дж. Гарнетт, Положительная длина, но нулевая аналитическая емкость, Proc. амер. Математика. Соц. 21 (1970), 696–699.
Дж. Дэвид, Неисправимые 1-множества имеют исчезающую аналитическую емкость, Rev. Math. Ибероам. 14 (1998) 269–479
Дудзиак, Джеймс Дж. (2010). Гипотеза Витушкина для съемных множеств . Университеттекст. Спрингер-Верлаг. ISBN 978-14419-6708-4 .
Толса, Ксавье (2014). Аналитическая способность, преобразование Коши и неоднородная теория Кальдерона – Зигмунда . Прогресс в математике. Биркхойзер Базель. ISBN 978-3-319-00595-9 .

[1] Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Ёмкость» , Энциклопедия Математики , EMS Press

[2] Маттила, Пертти (1986). «Гладкие карты, нулевые множества для интегрально-геометрической меры и аналитической способности» . Анналы математики . 123 (2): 303–309. дои : 10.2307/1971273 . ISSN 0003-486X .

[3] Джонс, Питер В.; Мурай, Такафуми. «Положительная аналитическая способность, но нулевая вероятность иглы Бюффона» (PDF) . Тихоокеанский математический журнал . 133 (1): 99–114.

[4] Чанг, Алан; Толса, Ксавье (05.10.2020). «Аналитический потенциал и прогнозы» . Журнал Европейского математического общества . 22 (12): 4121–4159. arXiv : 1712.00594 . дои : 10.4171/JEMS/1004 . ISSN 1435-9855 .

[1]

[2]

[3]

[4]